譚龍彪，肖金鳳

（南華大學(xué)電氣工程學(xué)院，湖南衡陽 421200）

0 引言

隨著工業(yè)和社會的發(fā)展，卷繞行業(yè)已經(jīng)和我們的生活息息相關(guān)，如各類用紙、包裝薄膜、膠布等[1]。工業(yè)產(chǎn)生中，復(fù)卷機(jī)往往是最后一道環(huán)節(jié)，已經(jīng)生產(chǎn)好的原產(chǎn)品還得經(jīng)過復(fù)卷機(jī)的一次或多次復(fù)卷，才能達(dá)到出廠的要求。而放卷過程又是復(fù)卷機(jī)工作的第一個程序，一般有兩種方式，一個是被動放卷，放卷軸被牽引輥帶動放卷，這種方式需要采取穩(wěn)定的制動方式，而且不方便控制，放卷輥的轉(zhuǎn)速容易與牽引輥的轉(zhuǎn)速不一樣，控制不好就容易使得卷材松動或者斷裂；另一種是主動放卷，由電動機(jī)拖動放卷軸轉(zhuǎn)動，主動放出卷材，這個方式需要根據(jù)卷徑的逐漸變小控制電機(jī)轉(zhuǎn)動的角速度，穩(wěn)定線速度不變，使卷材上的張力穩(wěn)定[2]。

在現(xiàn)代工業(yè)自動化行業(yè)中，經(jīng)典PID控制器應(yīng)用的十分廣泛和成熟，具有結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強(qiáng)和可靠性高等優(yōu)點[3]，在研究復(fù)卷機(jī)放卷張力控制系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)，該控制系統(tǒng)應(yīng)用的也是PID控制器，而PID控制性能好壞取決于其KP、KI、KD三個參數(shù)的設(shè)定值。在工程中廣泛采用工程整定法確定參數(shù)值，即依靠工程經(jīng)驗，直接進(jìn)行控制系統(tǒng)的工程運(yùn)行，并逐漸調(diào)整PID控制器3個參數(shù)的設(shè)定值，該方法操作簡單、易掌握，但比較耗時。經(jīng)過學(xué)習(xí)群智能算法和最優(yōu)控制理論，想到通過建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[4]，利用粒子群算法來對控制系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)整定，這樣就不需要進(jìn)行太多的工程試驗，大大節(jié)約調(diào)試參數(shù)的時間。

隨著智能PID控制器的發(fā)展，越來越多的智能算法被研究應(yīng)用于控制系統(tǒng)中[5]。粒子群算法就是其中之一，是一種基于群體智能的尋優(yōu)計算方法，該算法是模擬鳥群覓食行為而提出來的群智能算法，鳥群中的個體通過積累經(jīng)驗和與群體交流改變自己覓食的位置和速度，最后尋找到最佳覓食位置，具有收斂速度快、粒子具有記憶性、調(diào)整參數(shù)少和計算過程簡單等優(yōu)點[6]，廣泛應(yīng)用于最優(yōu)化問題的求解。但是基于粒子群算法的原理和特性，也就使得該算法在搜索計算過程中，容易陷入局部最優(yōu)，為了避免這種情況，提出通過引入遺傳算法中交叉和變異計算過程，進(jìn)一步保證粒子群中粒子的多樣性，能在更多的區(qū)域內(nèi)搜索計算，增強(qiáng)粒子群算法的全局收斂能力。

1 改進(jìn)粒子群算法

1.1 粒子群算法

粒子群算法（PSO）是一種演化計算工具，由Eberhart和Kennedy于1995年提出[7]，通過模擬鳥群運(yùn)動過程中群體移動和個體移動之間協(xié)調(diào)關(guān)系，尋找鳥群最終落腳點得到最優(yōu)值。將優(yōu)化問題的潛在解抽象為搜索空間中沒有體積和質(zhì)量的鳥[8]——粒子，每個粒子都有各自的速度矢量和位置矢量，粒子通過不斷運(yùn)動和適配函數(shù)計算的適配值更新其位置和速度，并更新得到個體的最優(yōu)位置，將粒子群中每個粒子的個體最優(yōu)位置進(jìn)行比較可得到群體最優(yōu)[9]，也就是優(yōu)化問題的最優(yōu)值。群體中的每個粒子會根據(jù)自己的最優(yōu)位置和整個群體的最優(yōu)位置更新自己速度矢量的方向，并以更新后的速度進(jìn)行移動，如式（1）：

式中：vij(k)為第k次迭代計算時第i個粒子在第j維上的速度；xij(k)為第k次迭代計算時第i個粒子在第j維上的位置；Ct、C2為學(xué)習(xí)因子，用于調(diào)節(jié)個體位置認(rèn)知和群體位置認(rèn)識的程度；rt、r2為獨立的區(qū)間為[0，1]的隨機(jī)數(shù)。

ω為慣性權(quán)重，不僅能讓粒子保持前次的運(yùn)動慣性，還能驅(qū)使粒子擴(kuò)展搜索空間；ω值越大，全局搜索能力越強(qiáng)，反之會趨于局部搜索，其取值范圍通常在[0.9，1.2]之間，而一般會采用跟隨迭代次數(shù)的增多而對慣性權(quán)重進(jìn)行線性遞減，增強(qiáng)算法后期局部搜索精確性，如式（2）所示：

式中：k為迭代次數(shù)。

1.2 改進(jìn)粒子群算法

有學(xué)者研究粒子群算法理論發(fā)現(xiàn)其存在早熟現(xiàn)象，即算法會在沒有搜索到群體最優(yōu)解的情況下收斂到某個體最優(yōu)解，為了避免這種現(xiàn)象，本文提出用遺傳算法改進(jìn)粒子群算法，即引入基因的交叉和變異過程來增加群體中個體的多樣性，并且加入淘汰機(jī)制，隨機(jī)引入新的粒子，增強(qiáng)粒子的全局搜索能力。

遺傳選擇過程，模擬自然法則“物競天擇，適者生存”，適應(yīng)值好的粒子得以保存下來，而適應(yīng)值差的粒子將會被淘汰掉，并重新引入新的粒子維持粒子群的總數(shù)量；交叉過程，根據(jù)交叉概率PC，讓粒子位置與粒子位置之間不同維度上的值進(jìn)行算術(shù)加權(quán)計算，讓粒子在不局限于當(dāng)前最優(yōu)位置的條件下改變當(dāng)前位置，進(jìn)行重新搜索；變異過程，根據(jù)變異概率Pm，決定粒子是否要對其位置在部分維度上的值進(jìn)行重新初始化。

引入遺傳算法可以保持和提高粒子群位置的多樣性，避免算法在迭代過程中陷入局部最優(yōu)。

1.3 適應(yīng)度函數(shù)

收卷張力控制系統(tǒng)是為了穩(wěn)定控制材料上的張力，因此其控制具有快速性、穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性且抗擾能力強(qiáng)，再結(jié)合性能指標(biāo)，如上升時間、峰值時間、最大超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間等，選擇時間乘絕對誤差誤差積分準(zhǔn)則ITAE作為目標(biāo)函數(shù)[10]，考慮到控制量可能會過大，應(yīng)用含控制量項都得ITAE函數(shù)，且為了避免超調(diào)量，也將超調(diào)量作為ITAE中的一項：

當(dāng)ey(t)＜0時：

式 中：wt、w2、w3、w4為 權(quán) 值，且w4≥wt，取 值 為wt=0.999，w2=0.001，w3=2.0，w4=100；e(t)為誤差；u(t)為控制量；ts為上升時間；ey(t)=y(t)-y(t-1)，y(t)為被控對象輸出。

1.4 算法流程

綜合上述改進(jìn)思想，改進(jìn)后的粒子群算法步驟為：

（1）隨機(jī)初始化粒子群：粒子群的個體數(shù)量N和維度D、最大迭代次數(shù)G是由具體的尋優(yōu)問題決定的；慣性權(quán)重ω需要確定線性取值范圍，學(xué)習(xí)因子C1、C2一般可取值為2，交叉概率PC、變異概率Pm也得確定，粒子的速度vi(a1,a2,…,aD)和位置xi(b1,b2,…,bD)通過隨機(jī)數(shù)進(jìn)行初始化，還得規(guī)定最大速度vmax；

（2）根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計算每個粒子的適應(yīng)值，比較得出個體最優(yōu)位置Pi和當(dāng)前群體最優(yōu)位置Pgi；

（3）先對慣性權(quán)重ω計算當(dāng)前迭代次數(shù)時的值，再根據(jù)粒子群算法公式更新每個粒子的速度和位置；

（4）再次計算粒子個體的適應(yīng)值，將新計算出來的每個粒子的適應(yīng)值與其經(jīng)歷過的最好位置比較，如當(dāng)前位置的適應(yīng)值好，則更新當(dāng)前位置為個體的最優(yōu)位置；

（5）比較當(dāng)前所有個體的最優(yōu)位置Pi和當(dāng)前群體最優(yōu)位置Pgi，如有適應(yīng)值較好的，則對其進(jìn)行更新；

（6）對所有粒子的適應(yīng)值進(jìn)行排序，通過遺傳選擇、交叉和變異操作，并保持個體最優(yōu)位置Pi和當(dāng)前群體最優(yōu)位置Pgi不變；

（7）若達(dá)到了最大迭代次數(shù)，則停止算法計算過程，輸出群體最優(yōu)位置Pgi，作為尋優(yōu)問題的最優(yōu)解，否則返回步驟（3）繼續(xù)進(jìn)行迭代計算。

利用遺傳算法改進(jìn)的粒子群算法的流程如圖1所示。

圖1 改進(jìn)粒子群算法步驟

2 放卷張力控制

2.1 放卷張力分析

為了建立穩(wěn)定的放卷端張力控制系統(tǒng)，首先建立放卷端穩(wěn)定運(yùn)行過程的運(yùn)動模型如圖2所示。圖中速度V2是牽引輥的線速度，受牽引電機(jī)的影響，牽引輥的存在可以將復(fù)卷機(jī)張力控制系統(tǒng)解耦合為放卷張力控制系統(tǒng)和收卷張力控制系統(tǒng)。速度V1是放卷軸上卷材的線速度，ω是放卷輥的角速度，隨著放卷過程運(yùn)行，卷徑會逐漸變小，為了維持線速度V1的穩(wěn)定，需要控制調(diào)速電機(jī)增大放卷輥角速度ω。通過簡要分析可知張力控制系統(tǒng)的主要受到線速度V1和卷徑的影響，為了討論兩者之間的詳細(xì)關(guān)系，分析放卷輥的受力和運(yùn)動狀態(tài)，根據(jù)動態(tài)轉(zhuǎn)矩平衡原理建立方程如下：

圖2 放卷張力運(yùn)動模型

式中：Mf為動態(tài)滑動摩擦力矩；Me為電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩可以是拖動轉(zhuǎn)矩，也可以為制動轉(zhuǎn)矩；F張為卷材上的張力；r為放卷輥的實時卷徑。

J是放卷輥的轉(zhuǎn)動慣量：

式中：Jt為放卷輥上卷材總的轉(zhuǎn)動慣量，隨時間的變化而變化，具有時變性；J0為收卷輥軸芯的轉(zhuǎn)動慣量，與收卷輥質(zhì)量有關(guān)，是個常量。

為了進(jìn)一步計算分析放卷張力運(yùn)動狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型，設(shè)定卷材的寬度為b，密度為ρ，厚度系數(shù)為k，質(zhì)量為時變量m，放卷輥的半徑為r0，則根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量計算公式和卷材的質(zhì)量成面分布可得：

因此放卷輥的總轉(zhuǎn)動慣量為：

又因為角速度和線速度之間有V=ω·r，則有：

將式（8）（9）（10）代入式（5）中有：

整理得：

由式（12）可以分析得，放卷的張力控制系統(tǒng)受放卷輥的線速度、放卷輥卷徑、動態(tài)滑動摩擦力矩和電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩的影響，不過放卷輥實時卷徑影響的是線速度，因此還是主要考慮放卷輥線速度對張力的影響。

經(jīng)過分析可知，復(fù)卷機(jī)的放卷張力控制系統(tǒng)是非線性、時變性的系統(tǒng)，為了對張力控制系統(tǒng)能夠有科學(xué)、穩(wěn)定的控制效果，針對放卷過程采用帶張力傳感器的PID閉環(huán)張力速度控制，并且提出利用遺傳算法改進(jìn)的粒子群算法整定PID控制器的參數(shù)。

2.2 放卷張力控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

本文采用的是通過變頻器控制電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩，來控制放卷軸上轉(zhuǎn)速，整個張力控制系統(tǒng)中需要控制的設(shè)備為變頻器和收卷電機(jī)，為了簡化計算，將變頻器和收卷電機(jī)都設(shè)定為慣性環(huán)節(jié)[11]。收卷電機(jī)使用的是型號YVF2-112M-4的三相異步變頻調(diào)速電動機(jī)，傳遞函數(shù)簡化為：

式中：Km為電動機(jī)傳遞函數(shù)的前向增益；Tm為電動機(jī)傳遞函數(shù)的慣性時間常數(shù)。

變頻器使用的是型號HD50-T的高性能矢量控制驅(qū)動器，使用放卷控制模式，其傳遞函數(shù)Gb與式（13）形式一樣，參數(shù)不同，通過查手冊可計算得控制系統(tǒng)中被控對象的傳遞函數(shù)為：

3 實驗仿真分析

在工業(yè)控制中，經(jīng)典PID控制器是最常用的，也是應(yīng)用最廣泛的。PID控制器是由比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)通過線性組合輸出控制量，然后對被控對象進(jìn)行控制，其輸入信號e(t)是給定信號i(t)和反饋信號之間的偏差，輸出信號u(t)是控制量，兩者的關(guān)系為式（15）：

式中：Kp為比例系數(shù)；Ti為積分時間常數(shù)；Td為微分時間常數(shù)。

這3個參數(shù)的值會直接影響PID控制器的控制效果，一般情況下，都是采用經(jīng)驗法來選擇Kp、Ti和Td的值，再根據(jù)仿真慢慢的調(diào)試參數(shù)的大小，這種方法十分花費(fèi)時間和精力，本文將采取基于遺傳算法改進(jìn)的粒子群算法來優(yōu)化整定PID控制器的參數(shù)，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

建立的控制系統(tǒng)為放卷張力控制系統(tǒng)，輸入信號為給定的張力值F0，反饋信號是通過張力檢測輥反饋的實際輸出到卷材上的張力F，PID控制器輸出的控制量，是控制變頻器驅(qū)動調(diào)速電機(jī)的轉(zhuǎn)速。

采用MATLAB軟件平臺，通過編寫腳本文件進(jìn)行仿真，實現(xiàn)利用改進(jìn)的粒子群算法整定PID控制器的參數(shù)，改進(jìn)的粒子群算法中初始化確定的參數(shù)：粒子群大小為40，粒子的維度為3，學(xué)習(xí)因子C1=C2=2，慣性權(quán)重ω取值區(qū)間為[0.8，1.2]，最大迭代次數(shù)為1 000，交叉概率Pc=0.8，變異概率Pm∈[0,0.1]也是采取線性遞減的策略。

分別用改進(jìn)的粒子群算法（GAPSO）和普通粒子群算法對該控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真，結(jié)果如表1、表2所示。

表1 GAPSO整定PID參數(shù)Tab.1 GAPSOtuning PID parameters

表2 PSO整定PID參數(shù)Tab.2 PSOtuning PIDparameters

GAPSO仿真群體最佳適應(yīng)值迭代變化如圖4所示，PSO仿真群體最佳適應(yīng)值迭代變化如圖5所示。

圖4 GAPSO-PID仿真

圖5 PSO-PID仿真

通過對圖4和圖5的分析可知，GAPSO和PSO兩種算法在尋優(yōu)方面都的能力差不多，但是再觀察GAPSO和PSO在無擾動，擾動出現(xiàn)一瞬間和擾動一直存在的情況下對PID控制仿真如圖6～9所示。

圖6 GAPSO-PID無擾動仿真

圖7 PSO-PID無擾動仿真

圖8 GAPSO-PID擾動一直存在仿真

圖9 PSO-PID擾動一直存在仿真

對仿真圖的分析，從響應(yīng)時間、調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量等性能指標(biāo)對比，GAPSO的仿真結(jié)果，上升時間tr≈10.4，沒有產(chǎn)生峰值時間和超調(diào)量，在上升過程中只有小幅度的震蕩，達(dá)到穩(wěn)定輸出時間ts=17.8，擾動調(diào)節(jié)時間td=20；PSO的仿真結(jié)果，上升時間tr≈8.7，峰值時間tp≈12.7，平均超調(diào)量σ=54%，達(dá)到穩(wěn)定輸出時間ts≈40，擾動調(diào)節(jié)時間td=20。GAPSO優(yōu)化整定參數(shù)控制效果，在響應(yīng)速度上要稍微慢一點，但是沒有產(chǎn)生超調(diào)量，對機(jī)電不會產(chǎn)生過大的影響，而且輸出達(dá)到穩(wěn)定的速度快，GAPSO-PID具有較好的穩(wěn)定性和快速性。

4 結(jié)束語

本文通過建立復(fù)卷機(jī)放卷端張力控制運(yùn)動數(shù)學(xué)模型，分析其主要受到放卷輥上卷材的線速度和卷徑的影響，設(shè)計采用閉環(huán)速度張力PID控制方法，構(gòu)建穩(wěn)定的張力控制系統(tǒng)。

針對PID控制器參數(shù)用經(jīng)驗法太耗時的缺點，提出用改進(jìn)粒子群算整定PID控制器參數(shù)，利用MATLAB軟件對復(fù)卷機(jī)放卷端張力PID控制進(jìn)行仿真，并將GAPSO和PSO分別對PID控制器進(jìn)行整定參數(shù)仿真。對比發(fā)現(xiàn)，GAPSO整定的參數(shù)在PID控制性能指標(biāo)調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量，達(dá)到輸出穩(wěn)定時間都優(yōu)越于PSO整定的參數(shù)