王 方，吳 偉，李 超

（西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，西安 710065）

0 引言

齒輪傳動(dòng)是通過齒輪副來實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力傳遞的裝置，在現(xiàn)代機(jī)械傳動(dòng)中被廣泛應(yīng)用[1-2]。在系統(tǒng)運(yùn)行過程中，由于間隙[3]、時(shí)變嚙合剛度[4]和齒輪傳動(dòng)誤差[5-6]等非線性因素的存在，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)精度將受到很大的影響，所以對(duì)齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究顯得尤為重要。王三民等[7]建立了含齒面摩擦、時(shí)變嚙合剛度和傳動(dòng)誤差因素的非線性動(dòng)力學(xué)模型，并采用數(shù)值積分方法求得系統(tǒng)的周期響應(yīng)和混沌響應(yīng)。程歐等[8]構(gòu)建了多自由度的多間隙齒輪系統(tǒng)振動(dòng)模型，通過數(shù)值方法對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行求解，分析了不同激勵(lì)頻率下系統(tǒng)的混沌特性。肖偉中、茍向鋒等[9-10]通過考慮嚙合剛度、復(fù)雜交變載荷、設(shè)計(jì)和制造誤差等的因素，構(gòu)建了在復(fù)雜激勵(lì)下的三自由度斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型并通過數(shù)值積分法對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行求解，繼而在此基礎(chǔ)上分析了齒輪參數(shù)的改變對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

以上文獻(xiàn)中，學(xué)者為了計(jì)算方便，只考慮靜態(tài)傳遞誤差的一階諧波分量，而忽略高次諧波分量。而根據(jù)實(shí)驗(yàn)證明，齒輪輪齒的誤差激勵(lì)與齒輪噪聲和振動(dòng)密切相關(guān)，高次諧波分量不能被忽略[11]。本文將使用Romax軟件對(duì)斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行建模，通過靜力學(xué)分析得到含多次諧波分量的靜態(tài)傳遞誤差。建立了計(jì)及剛度激勵(lì)、齒側(cè)間隙和靜態(tài)傳遞誤差等非線性因素的斜齒輪系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，將求得的含多諧波分量的靜態(tài)傳遞誤差帶入系統(tǒng)的狀態(tài)方程，基于數(shù)值積分的方法對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行求解，在此基礎(chǔ)上分析了阻尼比、負(fù)載和間隙對(duì)斜齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1 斜齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 建立斜齒輪系統(tǒng)的力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

在多自由度振動(dòng)系統(tǒng)中，僅考慮斜齒輪系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，不會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生大的誤差，其仍滿足工程需要[12]。采用集中質(zhì)量法可建立如圖1所示的單自由度斜齒輪系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)型模型。其中θ1、θ2分別為主從動(dòng)齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移；R1、R2分別是主從動(dòng)齒輪的基圓半徑；T1、T2分別是作用在主從動(dòng)齒輪上的外載荷扭矩；I1、I2分別是主從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；e(t)為齒輪副的傳動(dòng)誤差；K(t)為時(shí)變嚙合剛度。

圖1 齒輪副動(dòng)力學(xué)模型

斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)基本參數(shù)如表1所示。

表1 斜齒輪基本參數(shù)

根據(jù)牛頓定律，建立單自由度斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：將式（2）代入式（1）可得:

由于嚙合剛度系數(shù)、傳動(dòng)誤差系數(shù)和阻尼的數(shù)量級(jí)相差較大，會(huì)對(duì)方程的求解帶來不便，因此需要對(duì)方程進(jìn)行無綱量化處理。定義無量綱時(shí)間τ=wet，無量綱位移無量綱激勵(lì)頻率w=wn/we，其中we為齒輪的固有頻率，求解公式為：經(jīng)過無綱量化處理過的微分方程如下：

1.2 齒輪傳遞誤差

靜態(tài)傳遞誤差是齒輪系統(tǒng)發(fā)生噪聲與振動(dòng)的激勵(lì)源之一。本文運(yùn)用Romax軟件對(duì)斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行建模。其中，軸是傳動(dòng)系統(tǒng)中的重要零部件，其在工作過程中，會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)或者彎曲變形，嚴(yán)重時(shí)會(huì)影響傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)行的平穩(wěn)性，因此要對(duì)軸進(jìn)行可靠性校核。本文所用軸的材料是45鋼，許用彎曲應(yīng)力為60 MPa。在輸入軸端施加80 N·m的轉(zhuǎn)矩，軸的轉(zhuǎn)速為3 000 r∕min。

通過對(duì)軸進(jìn)行靜力學(xué)分析，得到輸入輸出軸的合成應(yīng)力如圖2所示。由圖可知，在安裝齒輪的位置，輸入軸和輸出軸所受的合成應(yīng)力最大，其所受最大的合成彎曲應(yīng)力分別為σca1=32，σca2=18，可以看出，輸入軸和輸出軸的最大彎曲應(yīng)力都小于軸的彎曲許用應(yīng)力，滿足軸的強(qiáng)度要求準(zhǔn)則。

圖2 軸的靜力學(xué)分析

通過對(duì)模型進(jìn)行靜力學(xué)分析得到斜齒輪系統(tǒng)的靜態(tài)傳遞誤差，曲線如圖3所示?？紤]斜齒輪嚙合傳動(dòng)過程中的傳遞誤差是周期性的，為了便于分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，因此利用Matlab將靜態(tài)誤差曲線擬合成傅里葉級(jí)數(shù)的形式以便計(jì)算分析，其中所得齒輪副嚙合誤差展開系數(shù)如表2所示。

圖3 傳遞誤差

表2 齒輪副嚙合誤差系數(shù)

1.3 齒輪時(shí)變嚙合剛度

本文假設(shè)沿接觸線上的載荷分布均勻，此時(shí)，嚙合線長(zhǎng)度的變化和嚙合剛度的變化成正比[13]，單個(gè)齒對(duì)的時(shí)變嚙合剛度的表達(dá)式為：

式中：l(t)為嚙合線接觸長(zhǎng)度；Kl為轉(zhuǎn)換系數(shù)，Kl=Km/L；Km為平均嚙合剛度；L為平均嚙合線長(zhǎng)度[14]；l(t)為嚙合線接觸長(zhǎng)度。

在齒輪工作時(shí)，一般有多對(duì)輪齒參與嚙合，鄰輪齒的嚙合點(diǎn)相差一個(gè)端面基節(jié)，得到多對(duì)齒嚙合剛度曲線如圖4所示。將同一時(shí)刻同位置上的嚙合剛度進(jìn)行疊加，即可獲得斜齒輪的時(shí)變嚙合剛度。

圖4 不同齒對(duì)嚙合剛度

由于嚙合剛度是周期性變化的，可將嚙合剛度用傅里葉級(jí)數(shù)的形式進(jìn)行描述。其傅里葉展開曲線如圖5所示，由圖可看出，前5階傅里葉展開曲線與原剛度曲線基本貼合，精度滿足一般工作要求。展開系數(shù)如表3所示。

圖5 傅里葉展開曲線

表3 齒輪時(shí)變嚙合剛度系數(shù)

1.4 齒側(cè)間隙

齒輪工作時(shí)，側(cè)隙能夠防止齒輪因摩擦或過熱而產(chǎn)生卡死，但同時(shí)它也會(huì)造成齒間沖擊，嚴(yán)重影響了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的平穩(wěn)性。側(cè)隙[15]在動(dòng)力學(xué)研究中屬于強(qiáng)非線性因素，在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)研究時(shí)不能被忽略，其函數(shù)表達(dá)式為：

式中：b為單側(cè)齒側(cè)間隙，它是以嚙合線為基準(zhǔn)進(jìn)行測(cè)量的。

2 斜齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析

將微分方程（5）轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程為：

狀態(tài)方程中含有齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度和傳遞誤差等非線性因素，其求解比較困難。對(duì)于非線性方程的求解方法，常用的有解析法和數(shù)值法。由于數(shù)值方法的計(jì)算精度高且適用范圍廣，本文使用數(shù)值方法[16]對(duì)方程進(jìn)行求解。

令w=0.85，F(xiàn)=5.211 3，b=4.5，ξ=0.13，將具有一階諧波分量的靜態(tài)傳遞誤差和5階諧波分量的靜態(tài)傳遞誤差分別帶入系統(tǒng)的狀態(tài)方程，并利用變步長(zhǎng)Rung-Kutta數(shù)值積分方法對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行求解，得到系統(tǒng)在兩種情況下的加速度響應(yīng)如圖6所示。由圖可看出，與只考慮一階諧波分量的靜態(tài)傳遞誤差所得出的系統(tǒng)加速度響應(yīng)圖相比，具有多階諧波分量的靜態(tài)傳遞誤差所得出的加速度幅值較大，且波形變化較為復(fù)雜。在斜齒輪逐漸嚙合并傳動(dòng)過程中，存在著單齒對(duì)嚙合到多齒對(duì)嚙合的過渡，此時(shí)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生加速度突變現(xiàn)象，如圖所示存在尖點(diǎn)，其是斜齒輪傳動(dòng)過程中形成噪聲和沖擊振動(dòng)的首要原因。所以不能忽略靜態(tài)傳遞誤差的高次諧波分量。

圖6 加速度響應(yīng)

將含有5階諧波分量的靜態(tài)傳遞誤差代入狀態(tài)方程中并進(jìn)行求解，得到了該響應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

由圖7（a）可知，系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間歷程是周期性的，相比于非周期，其有利于降低系統(tǒng)的振動(dòng)、減少系統(tǒng)的噪音，使系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)，進(jìn)而提高斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的使用壽命。

根據(jù)圖7（b）可知，斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的相平面圖為一閉合曲線，說明系統(tǒng)是周期響應(yīng)，其所得結(jié)果與時(shí)間歷程圖一致。

在如圖7（c）所示的頻譜圖中，由于時(shí)變嚙合剛度、誤差激勵(lì)和間隙非線性影響因素的存在，因此系統(tǒng)含有多頻響應(yīng)成分。

2.1 阻尼比對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響

保持齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)其他參數(shù)不變，在ξ∈( )0,0.5的范圍內(nèi)，系統(tǒng)隨阻尼比的全局分岔圖如圖8所示，由圖可見，隨著阻尼比的增大，齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)經(jīng)歷了從混沌、多周期運(yùn)動(dòng)到單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在阻尼比ξ＜0.04階段，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，運(yùn)動(dòng)非常不平穩(wěn)，且會(huì)受到較大的振動(dòng)和沖擊；當(dāng)阻尼比ξ=0.04時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入多周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，混沌狀態(tài)減弱，系統(tǒng)的振動(dòng)和沖擊減??；當(dāng)ξ=0.09時(shí)，系統(tǒng)開始平穩(wěn)運(yùn)行。

圖8 系統(tǒng)隨阻尼比變化的分岔圖

在該過程中，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)相圖如圖9所示，從圖中可以看出，阻尼比的增大有利于弱化系統(tǒng)的非線。從系統(tǒng)傅里葉頻譜（圖10）中可以得知，由于阻尼比的增加，系統(tǒng)響應(yīng)幅值明顯減小，因此，阻尼比在一定程度上可以抑制響應(yīng)幅值。

圖9 系統(tǒng)相圖

圖10 系統(tǒng)FFT頻譜圖

2.2 負(fù)載對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響

保持齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)其他參數(shù)不變，負(fù)載F分別取3、5和9時(shí)，得到系統(tǒng)的時(shí)域圖和頻譜圖，從時(shí)域圖11可以看出，隨著負(fù)載的增大，無量綱位移增大并有整體上移的趨勢(shì)。從頻譜圖12可以看出，隨著負(fù)載的增大，系統(tǒng)振動(dòng)幅值明顯增大。所以，齒輪所處的載荷狀態(tài)對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響較大。

圖11 系統(tǒng)時(shí)域圖

圖12 系統(tǒng)FFT頻譜圖

2.3 間隙對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響

保持齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)其它值不變，當(dāng)間隙b分別取10、20和30時(shí)，得到系統(tǒng)的時(shí)域圖如圖13所示。從圖中可以看出，隨著間隙的增大，系統(tǒng)的無量綱位移顯著增大，且具有上移趨勢(shì)。所以，減小間隙有利于系統(tǒng)平穩(wěn)運(yùn)行。

圖13 系統(tǒng)時(shí)域圖

3 結(jié)束語

本文運(yùn)用Romax軟件對(duì)斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行建模，通過對(duì)模型進(jìn)行靜力學(xué)分析得到斜齒輪系統(tǒng)的含多諧波分量的靜態(tài)傳遞誤差，建立了計(jì)及齒側(cè)間隙、剛度激勵(lì)和靜態(tài)傳遞誤差的斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型，將含一階諧波分量和多階諧波分量的靜態(tài)傳遞誤差分別帶入到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，基于變步長(zhǎng)Rung-Kutta數(shù)值積分方法對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值求解，對(duì)比所得到的加速度相應(yīng)圖可知，靜態(tài)傳遞誤差的高諧波分量對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)有較大的影響。在考慮多諧波分量靜態(tài)傳遞誤差的基礎(chǔ)上分析了阻尼比、載荷和側(cè)隙對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，結(jié)果如下。

（1）阻尼比的增大，有利于弱化齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性，并能在一定程度上抑制響應(yīng)幅值，有利于系統(tǒng)的平穩(wěn)運(yùn)行。

（2）在齒輪運(yùn)行過程中，載荷的狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性有很大的影響。隨著載荷的增大，無量綱位移增大并有整體上移的趨勢(shì)，并且響應(yīng)幅值明顯增大。

（3）隨著側(cè)隙的增大，無綱量位移增大。減小側(cè)隙能夠在一定程度上減小系統(tǒng)的振動(dòng)。