黃照翔，頡潭成,2*，徐彥偉,2，王亞鋒

（1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，洛陽 471003；2.智能數(shù)控裝備河南省工程實(shí)驗(yàn)室，洛陽 471003）

0 引言

四足機(jī)器人具有良好的運(yùn)動(dòng)性能和環(huán)境適應(yīng)性，在復(fù)雜多變的路況能穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，被廣泛應(yīng)用于軍事、救援、環(huán)境探測等領(lǐng)域[1]，因此對四足機(jī)器人步態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，足端軌跡規(guī)劃的研究成為當(dāng)今眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)，而足端軌跡規(guī)劃的好壞直接影響了四足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性，機(jī)構(gòu)的使用壽命等。目前應(yīng)用比較廣泛的足端軌跡規(guī)劃函數(shù)有多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)軌跡、橢圓運(yùn)動(dòng)函數(shù)、擺線運(yùn)動(dòng)函數(shù)等[2]，為了足端軌跡能更好的適應(yīng)環(huán)境變化，很多研究者都會(huì)對這些函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。例如，日本學(xué)者Yoshihiro SAKAKIBARA[3]等人對正弦函數(shù)存在的缺點(diǎn)進(jìn)行改進(jìn)，提出了在前進(jìn)方向和豎直方向上的加速度采用正弦函數(shù)的方法；韓國漢陽大學(xué)的Kyeong YongKim[4]等人把橢圓運(yùn)動(dòng)規(guī)律作為足端運(yùn)動(dòng)的軌跡，并且可以通過改變橢圓的短軸，長軸以及中心點(diǎn)的位置來改變橢圓的形狀使足端軌跡適應(yīng)不同的環(huán)境；北京理工大學(xué)的王立鵬提出了一種零沖擊軌跡規(guī)劃方法[5]，該方法采用復(fù)合擺線的方式對足端進(jìn)行軌跡規(guī)劃，保證了足端位移函數(shù)和速度函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性，使足端在落地時(shí)的速度和加速度為零；山東大學(xué)提出了一種多項(xiàng)式足端運(yùn)動(dòng)軌跡[6]，在擺動(dòng)相和支撐相都采用三次多項(xiàng)式作為軌跡函數(shù)；上海交通大學(xué)的何東青對修正擺線足端軌跡進(jìn)行了改進(jìn)[7]，將足端擺動(dòng)相的運(yùn)動(dòng)軌跡劃分三個(gè)階段抬腿、跨步、落足，為了使跨步階段的速度恒定，將該階段的加速度設(shè)為零，同時(shí)保證抬腿和跨步兩個(gè)階段的加速度為正弦函數(shù)。為了使四足機(jī)器人在行走過程中足端運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)，本文將運(yùn)用改進(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律與疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律復(fù)合的方法對四足機(jī)器人的足端進(jìn)行軌跡規(guī)劃，并在建立的四足機(jī)器人動(dòng)態(tài)模型中分析其有效性和可行性。

1 足端軌跡規(guī)劃

對四足機(jī)器人的足端軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃，首先要明白四足機(jī)器人步態(tài)行走的過程，即四足機(jī)器人各腿之間在擺動(dòng)相和支撐相來回切換的一個(gè)行進(jìn)過程。支撐相和擺動(dòng)相是描述單腿運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)狀態(tài)[8]，支撐相是指四足機(jī)器人的單腿足端與地面相接觸，承載著機(jī)器人的負(fù)載，并且通過關(guān)節(jié)相位變化推動(dòng)機(jī)器人的重心在前進(jìn)方向移動(dòng)。擺動(dòng)相是指單腿足端從開始離開地面邁腿后落地的一個(gè)狀態(tài)，而擺動(dòng)相決定著機(jī)器人在單個(gè)步態(tài)時(shí)抬腿的高度和步距的大小。在擺動(dòng)相和支撐相來回切換時(shí)，處于擺動(dòng)相的足端在落地時(shí)會(huì)與地面產(chǎn)生一定的沖擊造成機(jī)體的振動(dòng)，所以對足端進(jìn)行軌跡規(guī)劃主要是對擺動(dòng)相進(jìn)行無沖擊的軌跡規(guī)劃設(shè)計(jì)[9]。對支撐相進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)我們應(yīng)盡量使機(jī)身與地面保持水平，避免軀干起伏，為了同時(shí)能夠保證足端與地面之間沒有相對滑動(dòng)的趨勢，將足端軌跡采用勻速直線運(yùn)動(dòng)[10]，從而完成機(jī)體的向前移動(dòng)。四足機(jī)器人單腿在一個(gè)步態(tài)周期內(nèi)的足端軌跡規(guī)劃運(yùn)動(dòng)過程如圖1所示。

圖1 單腿足端軌跡運(yùn)動(dòng)過程圖

1.1 改進(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律規(guī)劃

改進(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律是一種組合型運(yùn)動(dòng)規(guī)律，就是幾種不同運(yùn)動(dòng)規(guī)律組合在一起而設(shè)計(jì)出的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，組合時(shí)不同的曲線在拼接處必須保持連續(xù)，即拼接處的位移，速度，加速度要相同。改進(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律是在等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)上，為了保證等速運(yùn)動(dòng)的同時(shí)速度又不會(huì)產(chǎn)生突變，將正弦運(yùn)動(dòng)規(guī)律與等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律組合而成。這種方法通常是在等速運(yùn)動(dòng)曲線的1/4周期和3/4周期處拼接半個(gè)周期的正弦加速度運(yùn)動(dòng)曲線，這樣可以使兩個(gè)曲線在拼接處的加速度為零，防止速度和位移產(chǎn)生突變，這種組合方式是一種無剛性和柔性沖擊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?；诖宋覀兛梢缘贸龈倪M(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律的位移曲線；

有邊界條件t=0時(shí)S=0且t=T時(shí)S=S0，可以求得待定系數(shù)A的值：

式中t∈[0，T]，T為運(yùn)動(dòng)周期，為運(yùn)動(dòng)行程，有式(1)～式(3)可以得出改進(jìn)型等加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律的位移曲線圖，如圖2所示。速度曲線圖，如圖3所示。加速度曲線圖，如圖4所示。

圖2 位移曲線圖

圖3 速度曲線圖

圖4 加速度曲線圖

1.2 疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律規(guī)劃

疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律是將兩條不同周期的擺線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行疊加形成的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，疊加形成的擺線與擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律相比速度曲線中間段為等速，運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)，加減速的運(yùn)動(dòng)效率更高，并且沒有剛性和柔性沖擊。擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的位移曲線為S0(t)，則位移如式(4)所示：

設(shè)兩條相加的擺線位移曲線為：S1(t)，S2(t)。

疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律位移曲線為S(t)則：

式(7)中t∈[0，T]，T為運(yùn)動(dòng)周期，a，b為兩條疊加擺線的系數(shù)，有式(7)可得疊加后的擺線位移曲線圖，如圖5所示；速度曲線圖，如圖6所示；加速度曲線圖，如圖7所示。

圖5 疊加擺線位移曲線圖

圖6 疊加擺線速度曲線圖

圖7 疊加擺線速度曲線圖

1.3 復(fù)合運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃

四足機(jī)器人的行走軌跡由單腿足端擺動(dòng)相軌跡和支撐相軌跡組成，對足端軌跡實(shí)現(xiàn)規(guī)劃我們首先要確定軌跡的起始點(diǎn)，最高點(diǎn)，落足點(diǎn)的信息，然后運(yùn)用復(fù)合運(yùn)動(dòng)合成軌跡。為了使機(jī)器人行走穩(wěn)定在水平方向上使用改進(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，運(yùn)動(dòng)周期為T，在豎直方向上的抬腿階段和落地階段使用疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，運(yùn)動(dòng)周期分別為T/2。由改進(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律和疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律復(fù)合形成足端擺動(dòng)相的運(yùn)動(dòng)軌跡，以勻速直線運(yùn)動(dòng)作為足端支撐相運(yùn)動(dòng)軌跡，足端軌跡如圖8所示。

圖8 足端軌跡位移曲線圖

2 動(dòng)態(tài)仿真

為了驗(yàn)證本文足端軌跡規(guī)劃方法的可行性，在MATLAB軟件的Simulink中建立四足機(jī)器人的動(dòng)態(tài)仿真模型。四足機(jī)器人模型實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)行走目前主要依賴于運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系的實(shí)現(xiàn)[11]，其次是機(jī)器人足端與地面接觸力的模型設(shè)計(jì)。所以首先要建立單腿的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，通過幾何解析法推導(dǎo)正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，然后將規(guī)劃好的足端軌跡坐標(biāo)函數(shù)通過逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得出每個(gè)位置坐標(biāo)點(diǎn)對應(yīng)的髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度變量，將這些關(guān)節(jié)角度變量作為仿真模型的驅(qū)動(dòng)變量實(shí)現(xiàn)足端軌跡行走，軌跡仿真模塊如圖9所示。足端與地面接觸力模型的建立采用External Force and Torque模塊，該模塊代表一個(gè)外部機(jī)構(gòu)施加在剛體上的一般力和力矩，而地面對足端的接觸力是一種阻尼力其大小與足端位移速度以及阻尼系數(shù)相關(guān)，足端與地面接觸力模型如圖10所示。

圖9 軌跡模塊仿真圖

圖10 足端與地面接觸力模型仿真圖

在動(dòng)態(tài)模型建立的基礎(chǔ)上，以四足機(jī)器人的Trot步態(tài)為例，分別對改進(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律與疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律復(fù)合形成的足端運(yùn)動(dòng)軌跡和復(fù)合擺線足端運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行仿真，對比分析這兩種足端軌跡在直角坐標(biāo)空間和關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)特性，動(dòng)態(tài)仿真模型如圖11所示。

圖11 四足機(jī)器人動(dòng)態(tài)仿真圖

2.1 直角坐標(biāo)空間足端軌跡運(yùn)動(dòng)仿真

由仿真得到四足機(jī)器人在直角坐標(biāo)空間下的運(yùn)動(dòng)曲線，在基于改進(jìn)型等加速運(yùn)動(dòng)與疊加擺線運(yùn)動(dòng)復(fù)合而成的軌跡規(guī)劃方法下，其足端速度，加速度曲線，如圖12(a)、圖13(a)所示。在基于復(fù)合擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的軌跡規(guī)劃方法下，其足端速度，加速度，如圖12(b)、圖13(b)所示。

圖12 速度曲線

圖13 加速度曲線

2.2 關(guān)節(jié)坐標(biāo)空間足端軌跡運(yùn)動(dòng)仿真

通過仿真得到四足機(jī)器人在關(guān)節(jié)坐標(biāo)空間的運(yùn)動(dòng)曲線，在基于改進(jìn)型等加速運(yùn)動(dòng)與疊加擺線運(yùn)動(dòng)復(fù)合而成的軌跡規(guī)劃方法下，其髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的角度變化曲線如圖14(a)所示，角速度曲線如圖15(a)所示，角加速度曲線如圖16(a)所示。在基于復(fù)合擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的軌跡規(guī)劃方法下，其髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的角度變化曲線如圖14(b)所示，角速度曲線如圖15(b)所示，角加速度曲線如圖16(b)所示。

圖14 關(guān)節(jié)角位移曲線圖

圖15 關(guān)節(jié)角速度曲線圖

圖16 關(guān)節(jié)角加速度曲線圖

3 對比分析

由圖12足端速度曲線可知，兩種復(fù)合運(yùn)動(dòng)軌跡的速度曲線都相對平滑，自然，沒有尖點(diǎn)出現(xiàn)。而改進(jìn)型等加速運(yùn)動(dòng)與疊加擺線運(yùn)動(dòng)復(fù)合形成的速度曲線與復(fù)合擺線形成的速度曲線相比，其速度峰值有所降低，速度變化的波動(dòng)范圍有所下降，而且在水平方向和豎直方向上都有較長的勻速運(yùn)動(dòng)階段，在前進(jìn)和抬腿方向運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)。由圖13足端加速度曲線可知，兩條復(fù)合運(yùn)動(dòng)軌跡的加速度曲線在峰值上并無明顯的變化，但改進(jìn)型等加速運(yùn)動(dòng)與疊加擺線運(yùn)動(dòng)復(fù)合形成的加速度曲線與復(fù)合擺線形成的加速度曲線相比，其加減速時(shí)間明顯縮短，加減速過程更快，運(yùn)動(dòng)效率較高。有表一可得，復(fù)合運(yùn)動(dòng)軌跡在水平方向和豎直方向的速度峰值均減少了30%左右。總體來說基于改進(jìn)型等加速運(yùn)動(dòng)與疊加擺線運(yùn)動(dòng)復(fù)合形成的足端軌跡在水平與豎直方向都能長時(shí)間保持勻速，而且速度峰值有所降低，加減速效率更高，運(yùn)行較平穩(wěn)。

由圖14關(guān)節(jié)角位移曲線可知，兩種軌跡規(guī)劃方法下的角位移都相對平滑、自然，無劇烈波動(dòng)現(xiàn)象，關(guān)節(jié)角位移峰值無明顯差別。由圖15關(guān)節(jié)角速度曲線得，改進(jìn)型等加速運(yùn)動(dòng)與疊加擺線運(yùn)動(dòng)復(fù)合形成的角速度運(yùn)動(dòng)曲線與復(fù)合擺線的角速度運(yùn)動(dòng)曲線相比，峰值得到降低，而且峰值處變化比較平緩，無突變現(xiàn)象。由圖16關(guān)節(jié)角加速度曲線得，兩種軌跡的膝關(guān)節(jié)角加速度曲線走勢基本一樣，但改進(jìn)型等加速運(yùn)動(dòng)與疊加擺線運(yùn)動(dòng)復(fù)合形成的髖關(guān)節(jié)角加速度運(yùn)動(dòng)曲線與復(fù)合擺線的髖關(guān)節(jié)角加速度運(yùn)動(dòng)曲線相比，減速過程中角加速度峰值較大，減速過程較快。有表二可得，復(fù)合運(yùn)動(dòng)角速度降低13%左右，角加速度增加43%左右?？偟膩碚f基于改進(jìn)型等加速運(yùn)動(dòng)與疊加擺線運(yùn)動(dòng)復(fù)合形成的軌跡與復(fù)合擺線軌跡規(guī)劃相比，在關(guān)節(jié)空間，其角速度曲線變化平穩(wěn)，加減速過程加快。

表1 直角坐標(biāo)空間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對比

表2 關(guān)節(jié)坐標(biāo)空間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對比

4 結(jié)語

本文利用改進(jìn)型等加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律與疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律復(fù)合運(yùn)動(dòng)對四足機(jī)器人足端軌跡進(jìn)行規(guī)劃，并在MATLAB的Simulink中建立四足機(jī)器人的動(dòng)態(tài)仿真模型，分析四足機(jī)器人足端在直角坐標(biāo)空間的軌跡曲線，以及膝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)下的角度變化曲線。研究結(jié)果表明：1）改進(jìn)型等加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律與疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律復(fù)合形成的足端軌跡曲線在豎直方向與水平方向都有一段勻速運(yùn)動(dòng)階段，而且落地速度為零，使得整體運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)。2）膝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)的角度，角速度，角加速度變化曲線都相對光滑、連續(xù)、無尖點(diǎn)出現(xiàn)減小了運(yùn)動(dòng)過程中的振動(dòng)。