許躍躍，王赫瑩，郭忠峰，趙文增

螺旋錐齒輪是一種齒面節(jié)線為曲線的特殊構(gòu)型的錐齒輪，螺旋錐齒輪有著不同標(biāo)準(zhǔn)的分類，通常按照其齒面節(jié)線形式的不同可以分為三類：圓弧齒錐齒輪、延伸外擺線齒錐齒輪和準(zhǔn)漸開(kāi)線齒錐齒輪。其中圓弧齒錐齒輪在世界上應(yīng)用最廣泛?；↓X錐齒輪在設(shè)計(jì)上具有更大的重合度，在傳動(dòng)平穩(wěn)性、可靠性及承載能力等方面比傳統(tǒng)直齒錐齒輪具有更大的優(yōu)勢(shì)。

弧齒錐齒輪在一定程度上已經(jīng)取代直齒錐齒輪，廣泛應(yīng)用在汽車輪船、礦山機(jī)械、精密儀器儀表等領(lǐng)域，現(xiàn)階段弧齒錐齒輪正向高速、重載、高精度方向發(fā)展，相信在機(jī)械領(lǐng)域中會(huì)擁有更加廣闊的應(yīng)用前景?；↓X錐齒輪最早由美國(guó)格里森公司提出，以齒輪嚙合理論為基礎(chǔ)[1～3]，經(jīng)過(guò)多年發(fā)展已經(jīng)形成一套完整的格里森齒輪設(shè)計(jì)理論與方法。目前，主流的設(shè)計(jì)方法依然采用格里森公司的設(shè)計(jì)理論，但由于弧齒錐齒輪的齒廓曲線是標(biāo)準(zhǔn)的球面漸開(kāi)線，無(wú)法展成平面，以齒輪嚙合原理為基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)方法存在原理性誤差，需要不斷校正修改才能達(dá)到設(shè)計(jì)精度，由此使弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)工作變得非常繁瑣且效率低下。對(duì)此，本文基于球面漸開(kāi)線的形成原理，對(duì)弧齒錐齒輪的三維建模提出新的思路與設(shè)計(jì)方法。

1 球面漸開(kāi)線的形成

基圓錐OAB 與大圓平面Q 相切且基圓錐的頂點(diǎn)與大圓平面的圓心重合，基圓錐母線與大圓平面Q 的半徑R 等長(zhǎng)，基圓錐在保持上述條件下與大圓平面作無(wú)相對(duì)滑動(dòng)的純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖1）。由此可知，基圓錐底圓上一點(diǎn)P 與圓錐頂點(diǎn)O 的距離始終保持為大圓半徑長(zhǎng)R，基圓錐與圓平面Q在作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，P 點(diǎn)在此過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)軌跡PP′是以點(diǎn)O 為球心以O(shè)P 長(zhǎng)為半徑的球面曲線，通常稱為球面漸開(kāi)線[4]，動(dòng)點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)的軌跡方程可表示為：

圖1 球面漸開(kāi)線的形成

式中：δb—基圓錐角（rad）；δp—球面漸開(kāi)線上P點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的錐角（rad）。

2 球面漸開(kāi)線數(shù)學(xué)模型的求解

將基圓錐倒放并以之為參考建立三維直角坐標(biāo)系，圓錐頂點(diǎn)作為坐標(biāo)系原點(diǎn)O，將OO′作為Z 軸（O′為基圓錐底圓圓心），大圓平面與基圓錐側(cè)面相切并沿之作純滾動(dòng)（見(jiàn)圖2）。在初始時(shí)，大圓平面與坐標(biāo)系XOY 面垂直（即點(diǎn)Mp與Mo重合時(shí)），兩平面的交線即發(fā)生面與基圓錐的切線OMp。大圓平面上Mo點(diǎn)軌跡展開(kāi)為球面漸開(kāi)線MoMp，點(diǎn)M、Mp在XOY 平面的投影點(diǎn)為M1、Mp1，連接OM1和OMp1，根據(jù)漸開(kāi)線性質(zhì)可知弧長(zhǎng)MMo=MMp。過(guò)點(diǎn)Mp作OM 的垂線，垂足為N，三角形ONMp為直角三角形，過(guò)點(diǎn)Mp1作OM1的垂線，垂足為N1，連接NN1。

圖2 球面漸開(kāi)線數(shù)學(xué)模型

經(jīng)推導(dǎo)，Mp點(diǎn)的空間坐標(biāo)方程為[2]：

式中：R—基圓錐錐距（mm）；ω—矢徑OMp與Z軸之間的夾角（rad）；σ—矢徑OMp在XOY平面內(nèi)的投影OMp1與X 軸的夾角（rad）。

3 齒輪端面齒廓與齒形線的形成

根據(jù)弧齒錐齒輪的設(shè)計(jì)理論，弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)的首要工作是確定以下設(shè)計(jì)參數(shù)并構(gòu)建相應(yīng)關(guān)系表達(dá)式：

3.1 大小端雙側(cè)齒廓的建立

根據(jù)弧齒錐齒輪錐基本設(shè)計(jì)理論可以得到其分度圓齒厚角為：

以從弧齒錐齒輪副的動(dòng)輪為研究對(duì)象（故齒數(shù)為Z2）。由式（1） 球面漸開(kāi)線軌跡方程可得分度圓處的偏角beta、齒頂圓處的偏角beta_a 及齒根圓處的偏角beta_f 分別為：

分度圓處偏角

可求得基圓齒厚角JYCHJ、頂圓齒厚角DYCHJ 和根圓齒厚角GYCHJ：

（1） 大端雙側(cè)齒廓曲線方程

前文中已經(jīng)將齒廓曲線上任一點(diǎn)的球坐標(biāo)參數(shù)關(guān)系式表示出來(lái)，現(xiàn)將球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系方程，其中大端一側(cè)齒廓曲線方程為：

3.2 大小端面齒根與齒頂圓弧方程

（1） 大端齒頂圓弧

大端齒頂圓弧可以看作從齒頂圓中截取某一段圓弧，具體過(guò)程為保持矢徑在球坐標(biāo)系中與Z 軸的夾角不變（夾角為頂錐角），然后矢徑從某一點(diǎn)開(kāi)始繞著Z 軸旋轉(zhuǎn)一定角度后矢徑端點(diǎn)所劃過(guò)的圓弧，方程可表示為：

小端齒頂、齒根圓弧的創(chuàng)建與大端大致相同，

在建立小端兩側(cè)齒廓與齒頂、齒根圓弧曲線方程時(shí)，與大端有所不同：

①小端矢徑為內(nèi)錐距R1。

②小端矢徑與X 軸初始夾角為齒輪小端與大端之間的偏角Q12。

3.3 齒形曲線的形成

齒形曲線的繪制是設(shè)計(jì)弧齒錐齒輪的關(guān)鍵。首先需要確定刀盤中心位置，根據(jù)刀盤中心位置能夠確定齒形線終點(diǎn)相對(duì)于起始點(diǎn)的偏角大小，確定好偏角大小就能夠建立齒形線方程。由文獻(xiàn)[6～7]可推導(dǎo)出：

4 基于UG/Open GRIP 的建模模塊

圖3 單齒輪廓曲線

UG/Open GRIP 是用于UG 二次開(kāi)發(fā)的軟件工具，UG/Open GRIP 語(yǔ)言創(chuàng)建類似FORTRAN 的程序，與Unigraphics 系統(tǒng)集成，運(yùn)用GRIP 程序能夠完成各種交互操作。例如，完成實(shí)體建模、工程制圖、加工制造等任務(wù)。GRIP 語(yǔ)言有自己的語(yǔ)法結(jié)構(gòu)、程序結(jié)構(gòu)、內(nèi)部函數(shù)，同時(shí)它也是其他通用語(yǔ)言程序相互調(diào)用的接口。通過(guò)運(yùn)用GRIP 語(yǔ)句構(gòu)造相應(yīng)的點(diǎn)、線、面從而將齒形齒廓曲線的生成、齒面的創(chuàng)建及單齒和全齒實(shí)體模型生成過(guò)程統(tǒng)一起來(lái)，實(shí)現(xiàn)弧齒錐齒輪的全參數(shù)化建模功能。利用GRIP 人機(jī)交互界面改變齒輪的相應(yīng)設(shè)計(jì)參數(shù)就能夠獲得所需的弧齒錐齒輪[8]，由此簡(jiǎn)化弧齒錐齒輪三維模型的設(shè)計(jì)過(guò)程。

4.1 創(chuàng)建UG 可執(zhí)行程序文件

GRIP 程序文件編寫完成之后需要經(jīng)過(guò)編譯鏈接才能夠被UG 運(yùn)行。

首先創(chuàng)建文本文檔（.txt） 并將其保存為.grs 格式文件，然后根據(jù)弧齒錐齒輪球面漸開(kāi)線數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)編寫程序；打開(kāi)UG/OPEN GRIP 界面（見(jiàn)圖4），將編寫完成的.grs 文件編譯生成.gri 目標(biāo)文件；點(diǎn)擊LINK 對(duì)目標(biāo)文件進(jìn)行連接生成.grx 文件。此時(shí)程序便可被UG 執(zhí)行。

圖4 程序文件編譯器

4.2 程序的調(diào)用與界面的生成

運(yùn)行UG，在UG 菜單種點(diǎn)擊“文件”-“執(zhí)行”-Grip，生成弧齒錐齒輪參數(shù)化建模界面（見(jiàn)圖5）。

圖5 弧齒錐齒輪參數(shù)化建模界面

4.3 創(chuàng)建齒輪實(shí)體模型

在參數(shù)化建模界面分別輸入主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的設(shè)計(jì)參數(shù)，創(chuàng)建出齒輪實(shí)體模型（見(jiàn)圖6～圖7）。

圖6 主動(dòng)輪

圖7 從動(dòng)輪

5 結(jié) 語(yǔ)

本文以球面漸開(kāi)線形成原理為基礎(chǔ)，創(chuàng)建弧齒錐齒輪齒形齒廓曲線方程，利用UG 二次開(kāi)發(fā)工具UG/OPERN GRIP 創(chuàng)建參數(shù)化建模模塊。通過(guò)修改齒數(shù)、壓力角、螺旋角、模數(shù)等參數(shù)可以生成新的球面漸開(kāi)線弧齒錐齒輪三維模型，實(shí)現(xiàn)弧齒錐齒輪建模任務(wù)的尺寸驅(qū)動(dòng)功能，提高弧齒錐齒輪的建模效率，為其他復(fù)雜模型的設(shè)計(jì)工作提供參考。