郭川東，胡 權(quán)，方麗萍，張景瑞，張 軍，李公軍

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2. 北京控制工程研究所，北京 100094)

0 引 言

隨著對(duì)高功率通信和高分辨率觀測(cè)等航天任務(wù)需求的提升，航天器的太陽(yáng)翼、天線、桁架機(jī)構(gòu)等柔性部件的尺寸已經(jīng)由十米量級(jí)向幾十米、甚至上百米量級(jí)發(fā)展。柔性部件在受外部擾動(dòng)或進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)容易產(chǎn)生振動(dòng)，進(jìn)而可能對(duì)高精度航天任務(wù)產(chǎn)生影響，因此需要對(duì)此類柔性部件進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)抑制。傳統(tǒng)的集中式控制策略采取在中心剛體上安裝執(zhí)行機(jī)構(gòu)、利用中心剛體與柔性部件的剛?cè)狁詈献饔脤?shí)現(xiàn)柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制；或在柔性部件根部安裝阻尼器，降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)本體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響。但隨著航天器尺寸增大，柔性結(jié)構(gòu)甚至成為系統(tǒng)主體，傳統(tǒng)的集中式控制策略已經(jīng)很難實(shí)現(xiàn)對(duì)此類大尺度柔性航天器的姿態(tài)控制和振動(dòng)抑制，則必須采用分布式控制策略，在航天器上分布式安裝執(zhí)行機(jī)構(gòu)和傳感器。

角動(dòng)量交換裝置由于輸出力矩精確、連續(xù)且不消耗推進(jìn)劑，被廣泛用于柔性航天器結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制。D’Eleuterio和Hughes首先提出在柔性結(jié)構(gòu)上連續(xù)分布角動(dòng)量交換裝置來(lái)實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制和形狀控制，即得到陀螺柔性體。Damaren和D’Eleute-rio最早研究了陀螺柔性體的最優(yōu)控制問題及能控性和能觀性問題。Shi和Damaren研究了在固支邊界條件的柔性板末端安裝單個(gè)CMG，基于Lyapunov方法設(shè)計(jì)了框架角的控制律，主動(dòng)增加結(jié)構(gòu)阻尼以快速衰減振動(dòng)。Hu等假設(shè)在柔性結(jié)構(gòu)上分布安裝CMG，在考慮CMG動(dòng)力學(xué)特性的前提下，建立了陀螺柔性體的動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了陀螺柔性體的姿態(tài)控制和振動(dòng)抑制。Guo等在柔性航天器上分布安裝CMG，提出了一種新的基于模態(tài)力補(bǔ)償器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制策略，抑制了撓性航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)的振動(dòng)。賈世元等基于最優(yōu)控制理論，使用遺傳算法求解了CMG在約束邊界柔性結(jié)構(gòu)上的優(yōu)化配置問題。但是，上述研究均基于較為理想的假設(shè)，并未考慮在工程中使用CMG的一些約束，例如，目前得到的CMG操縱律大都為魯棒偽逆操縱律，在應(yīng)用中會(huì)引入誤差，且求解時(shí)計(jì)算量較大，會(huì)造成控制閉環(huán)中的延遲，降低振動(dòng)抑制效果。

剪刀構(gòu)型CMG廣泛應(yīng)用于航天器姿態(tài)控制及柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制,由一對(duì)同步進(jìn)動(dòng)的CMG組成，其輸出力矩方向恒定。Yang和Chang在空間桁架上安裝一對(duì)剪刀構(gòu)型CMG，桁架一端可繞固定轉(zhuǎn)軸機(jī)動(dòng)，另一端載有貨物或航天員，通過設(shè)計(jì)雙陀螺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)同步的自適應(yīng)控制策略實(shí)現(xiàn)了桁架大范圍機(jī)動(dòng)。Zhou等針對(duì)上述系統(tǒng)，基于Lyapunov方法設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)非線性反饋控制器，通過實(shí)現(xiàn)剪刀構(gòu)型CMG同步驅(qū)動(dòng)完成桁架機(jī)動(dòng)。為了提高高超聲速滑翔飛行器的突防能力，Zhao等提出了一種采用剪式控制力矩陀螺的機(jī)動(dòng)控制方法，并設(shè)計(jì)了基于反饋線性化和線性二次型最優(yōu)算法的解耦控制器。Jin將剪刀構(gòu)型CMG安裝在柔性桁架端部，設(shè)計(jì)一種改進(jìn)的PD控制器實(shí)現(xiàn)桁架機(jī)動(dòng)，同時(shí)利用自適應(yīng)反饋非線性控制策略實(shí)現(xiàn)桁架主動(dòng)振動(dòng)抑制。目前在公開文獻(xiàn)中，尚未見到使用微型剪刀構(gòu)型CMG實(shí)現(xiàn)大型結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制方面的工作。注意到其構(gòu)型簡(jiǎn)單、操縱律易設(shè)計(jì)，本文深入研究基于該構(gòu)型CMG的大尺寸空間結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制，重點(diǎn)分析剪刀構(gòu)型CMG出現(xiàn)的一種“死區(qū)”現(xiàn)象，并設(shè)計(jì)易于工程應(yīng)用的操縱律。

本文章節(jié)安排如下：第1節(jié)將建立分布式安裝有剪刀構(gòu)型CMG的約束邊界柔性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型；第2節(jié)將基于Lyapunov方法設(shè)計(jì)剪刀構(gòu)型CMG的操縱律，以期實(shí)現(xiàn)柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制；第3節(jié)對(duì)所設(shè)計(jì)操縱律進(jìn)行分析和改進(jìn)；第4節(jié)通過數(shù)值算例驗(yàn)證改進(jìn)的剪刀構(gòu)型CMG操縱律；最后，第5節(jié)將對(duì)全文作總結(jié)。

1 系統(tǒng)模型

具體研究對(duì)象為分布式安裝有多組剪刀構(gòu)型CMG的約束邊界柔性結(jié)構(gòu)，同組兩個(gè)CMG安裝在同一個(gè)平面內(nèi)，其轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和框架轉(zhuǎn)向正方向如圖1所示。系統(tǒng)的連體坐標(biāo)系為，分布安裝的第組剪刀構(gòu)型CMG安裝平面坐標(biāo)系定義為p;每組兩個(gè)CMG完全相同，分別編號(hào)為,a和,b，CMG框架坐標(biāo)系g,a,g,b和轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系r,a,r,b原點(diǎn)均位于節(jié)點(diǎn)g。

圖1 安裝有剪刀構(gòu)型CMG的柔性結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Flexible structure with distributed V-gimbaled CMGs

1.1 剪刀構(gòu)型CMG

如圖2所示，當(dāng)剪刀構(gòu)型CMG輸出力矩時(shí)，每個(gè)CMG的框架和轉(zhuǎn)子均轉(zhuǎn)向相反、轉(zhuǎn)速相等，則兩個(gè)CMG的力矩值分別為

(1)

(2)

圖2 剪刀構(gòu)型CMG示意圖Fig.2 Sketch of V-gimbaled CMGs

容易看出，合力矩的方向垂直圖2所示安裝平面，其值有

(3)

式中：為變系數(shù)，其值有

=2cos,a

(4)

式中：,a為第組剪刀構(gòu)型CMG中第個(gè)CMG轉(zhuǎn)過的框架角，,a∈[-180°,180°)。在框架角小角度運(yùn)動(dòng)假設(shè)下，可近似認(rèn)為=2或=-2。由式(4)易得

(5)

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

在文獻(xiàn)[11]和[21]中，Hu等在考慮CMG動(dòng)力學(xué)特性以及CMG與柔性結(jié)構(gòu)之間的相互作用情形下，推導(dǎo)了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。在假設(shè)柔性結(jié)構(gòu)發(fā)生小范圍彈性變形的假設(shè)條件下，其上質(zhì)量微元d相對(duì)于的彈性變形和彈性轉(zhuǎn)角采用模態(tài)展開法描述，

=

(6)

=

(7)

式中：∈3×,∈3×分別是d的平動(dòng)模態(tài)向量和轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)向量；∈×1為柔性結(jié)構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo)，為用于描述柔性結(jié)構(gòu)彈性變形的模態(tài)階數(shù)。

由于研究對(duì)象為約束邊界柔性結(jié)構(gòu)，因此只需要考慮柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程?；谖墨I(xiàn)[11]中式(7)，消去方程組的高階非線性項(xiàng)，并保留了CMG與柔性結(jié)構(gòu)之間的相互作用，得到結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程為

(8)

式中：∈×是一個(gè)對(duì)稱矩陣，表示受CMG影響的柔性結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量矩陣；∈×和∈×為對(duì)角矩陣，分別表示柔性結(jié)構(gòu)本身的阻尼矩陣和剛度矩陣；∈×是一個(gè)反對(duì)稱矩陣，表示CMG與柔性結(jié)構(gòu)的耦合系數(shù)矩陣；是由CMG的框架轉(zhuǎn)動(dòng)所產(chǎn)生的作用于柔性結(jié)構(gòu)的廣義模態(tài)力，是CMG的力矩系數(shù)矩陣；=[,…,]，其中是第組剪刀構(gòu)型CMG的輸出力矩。

這里變量,和由以下公式給出，

(9)

(10)

(11)

假設(shè)在柔性結(jié)構(gòu)上共位安裝組剪刀構(gòu)型CMG和角速度計(jì)，選取為第組剪刀構(gòu)型CMG力矩輸出方向上的分量，由微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)角速度計(jì)測(cè)得，即有

(12)

(13)

對(duì)比式(1)與式(13)可以看出，

(14)

從式(8)可以直觀看出，當(dāng)需要抑制柔性結(jié)構(gòu)的階振動(dòng)時(shí)，需要使用的剪刀構(gòu)型CMG的數(shù)量應(yīng)滿足≥。當(dāng)需要抑制的模態(tài)階數(shù)較多時(shí)，所需要的CMG的數(shù)量也隨之增加。利用剪刀構(gòu)型CMG開展柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制，適合于長(zhǎng)桿、帆板、桁架等較為簡(jiǎn)單的柔性結(jié)構(gòu)。

2 剪刀構(gòu)型CMG操縱律設(shè)計(jì)

基于上一節(jié)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，選取Lyapunov函數(shù)，

(15)

對(duì)其求導(dǎo)有，

(16)

在第二步利用了的反對(duì)稱性。設(shè)計(jì)角速度反饋控制律為

(17)

式中：=diag(,…,d),d>0，則有

(18)

由式(17)即有，對(duì)第組剪刀構(gòu)型CMG有

(19)

將式(3)代入式(19)可得

(20)

(21)

即有>0，結(jié)合式(5)，則CMG操縱律修正為

(22)

由于兩個(gè)CMG的框架轉(zhuǎn)向相反、轉(zhuǎn)速相等，則有

(23)

至此已經(jīng)得到了在約束邊界柔性結(jié)構(gòu)上分布安裝組剪刀構(gòu)型CMG時(shí)，實(shí)現(xiàn)柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制的剪刀構(gòu)型CMG的操縱律。只需選取適當(dāng)?shù)姆答佋鲆?span id="c00s0ci" class="subscript">>0，即可保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

3 操縱律分析及其改進(jìn)

3.1 操縱律分析

以10 m長(zhǎng)的柔性桁架為仿真對(duì)象，桁架質(zhì)量為11.49 kg，基頻為1.8238 Hz。在桁架端部安裝兩組剪刀構(gòu)型CMG，如圖3所示，兩組剪刀構(gòu)型CMG輸出力矩均在桁架本體系的方向上。第一組剪刀構(gòu)型CMG安裝在桁架端部，用于演示式(22)和(23)所示操縱律,抑制桁架在方向上的振動(dòng)；第二組剪刀構(gòu)型CMG安裝在距離桁架端部0.5 m處，用于激勵(lì)方向上的振動(dòng)，單個(gè)CMG的質(zhì)量約1.25 kg、轉(zhuǎn)子角動(dòng)量為0.3 N·m·s，框架角速度最大幅值為90(°)·s。不考慮CMG內(nèi)部的摩擦和力矩“死區(qū)”等問題。掛載CMG后桁架基頻降低至1.1459 Hz。

圖3 CMG安裝示意圖Fig.3 Sketch of V-gimbaled CMGs locations

第二組剪刀構(gòu)型CMG驅(qū)動(dòng)采用正弦激勵(lì)規(guī)律，即

(24)

(25)

在仿真中，前10 s對(duì)桁架施加激勵(lì)，不施加主動(dòng)控制，此時(shí)參數(shù)選擇為=01 N·m,=116 Hz；10 s后激勵(lì)結(jié)束，采用式(22)和(23)的操縱律開始施加主動(dòng)振動(dòng)抑制，設(shè)置控制增益=800。為了避免框架軸電機(jī)長(zhǎng)期高速驅(qū)動(dòng)，設(shè)定框架軸的最高轉(zhuǎn)速為57.3(°)·s。在工程試驗(yàn)過程中，CMG按設(shè)定的操縱律工作，發(fā)現(xiàn)在試驗(yàn)最開始的一小段時(shí)間內(nèi)，CMG存在啟動(dòng)延遲。為了考察CMG在較為極端情況下的工作能力，并重現(xiàn)工程試驗(yàn)中的啟動(dòng)延遲現(xiàn)象，在操縱律分析過程中,假設(shè)初始時(shí)第一組剪刀構(gòu)型CMG工作在“零力矩”狀態(tài)，即=90°,=-90°。

桁架端部中心點(diǎn)位置如圖3所示，以桁架端部中心點(diǎn)在桁架本體坐標(biāo)系下的變形作為考察桁架變形量的依據(jù)。經(jīng)過20 s仿真，得到桁架端部中心點(diǎn)的變形情況,如圖4所示。可以看出，自第10 s振動(dòng)抑制開始后，端部中心點(diǎn)變形并沒有按期望變小，而是出現(xiàn)了異常的增大；桁架振動(dòng)抑制的效果并不明顯。

圖4 桁架端部中心點(diǎn)變形(振動(dòng)抑制效果不明顯)Fig.4 The deformation of the center point on the end of the truss (poor vibration suppression effectiveness)

第一組剪刀構(gòu)型CMG框架軸運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖5所示，可以看出，在10 s～10.3 s，短短0.3 s時(shí)間內(nèi)，框架軸運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)行了數(shù)十次切換，進(jìn)入一種類似“死區(qū)”的狀態(tài)。這種短時(shí)間內(nèi)的密集切換，在工程上難以實(shí)現(xiàn)，也是在工程試驗(yàn)過程中出現(xiàn)CMG啟動(dòng)延遲的原因。在工程試驗(yàn)過程中，這種情況持續(xù)的時(shí)間會(huì)更長(zhǎng)，嚴(yán)重影響振動(dòng)抑制的效果。

圖5 第一組CMG框架角速度(振動(dòng)抑制效果不明顯)Fig.5 The gimbal angular velocity of the first pair of CMGs used for vibration suppression (poor vibration suppression effectiveness)

為深入分析“死區(qū)”產(chǎn)生的原因，繪制10 s后第一組剪刀構(gòu)型CMG安裝位置處MEMS角速度計(jì)測(cè)量值、第一組剪刀構(gòu)型CMG中號(hào)CMG的框架角速度以及號(hào)CMG的框架角度的三維曲線，如圖6所示。圖中深色曲線(黑色虛線框圈出)為“死區(qū)”狀態(tài)下的曲線，淺色曲線(右上)為CMG正常工作時(shí)的曲線?？梢悦黠@看出，“死區(qū)”狀態(tài)出現(xiàn)在角速度計(jì)測(cè)量值為負(fù)值的時(shí)候，此時(shí)框架角在90°附近擺動(dòng)；在“死區(qū)”狀態(tài)下，當(dāng)框架角大于90°時(shí)，框架角速度為負(fù)值，此時(shí)框架角減??；當(dāng)框架角減小至90°以下時(shí)，框架角速度切換為正值，此時(shí)框架角增大?？蚣艿倪\(yùn)動(dòng)陷入“死區(qū)”循環(huán)。當(dāng)角速度計(jì)測(cè)得的值轉(zhuǎn)為正值時(shí)，框架軸運(yùn)動(dòng)才脫離“死區(qū)”，但框架軸脫離“死區(qū)”后并未取得較好的振動(dòng)抑制效果。結(jié)合式(22)可知，式(22)給出的CMG操縱律為分段函數(shù)形式，存在-90°和90°兩個(gè)分段點(diǎn)，“死區(qū)”出現(xiàn)在分段點(diǎn)附近。

圖6 第一組CMG框架軸運(yùn)動(dòng)分析Fig.6 Analysis of gimbal motion of the first pair of CMGs for vibration suppression

該仿真工況較好還原了工程試驗(yàn)中出現(xiàn)的啟動(dòng)延遲現(xiàn)象，也能解釋啟動(dòng)延遲出現(xiàn)的原因，有助于開展操縱律的更新設(shè)計(jì)。

3.2 避“死區(qū)”操縱律設(shè)計(jì)

為了使框架軸運(yùn)動(dòng)能快速轉(zhuǎn)出“死區(qū)”，對(duì)剪刀構(gòu)型CMG操縱律作出調(diào)整，設(shè)計(jì)一種避“死區(qū)”操縱律,如圖7所示。

圖7 應(yīng)用避“死區(qū)”操縱律實(shí)現(xiàn)柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制流程圖Fig.7 Flow chart of vibration suppression for flexible structures by applying “dead zone avoidance” steering law

4 仿真校驗(yàn)

圖8 桁架端部中心點(diǎn)變形Fig.8 The deformation of the center point on the end of the truss

圖9 第一組CMG框架角速度Fig.9 The gimbal angular velocity of the first pair of CMGs used for vibration suppression

框架角的運(yùn)動(dòng)曲線如圖10所示，可以看出，振動(dòng)抑制開始之后，CMG框架角快速運(yùn)動(dòng)到(-75°,75°)區(qū)間內(nèi)，即圖7中的(-90°+,90°-)區(qū)間，實(shí)現(xiàn)了持續(xù)地輸出振動(dòng)抑制力矩。

圖10 第一組CMG框架角運(yùn)動(dòng)曲線Fig.10 The gimbal angular of the first pair of CMGs used for vibration suppression

同時(shí)模擬了10 s激勵(lì)結(jié)束后不施加主動(dòng)振動(dòng)抑制的情形，得到不施加主動(dòng)振動(dòng)抑制時(shí)端部中心點(diǎn)變形情況如圖11所示，對(duì)比圖8施加主動(dòng)振動(dòng)抑制時(shí)的結(jié)果，可以看出利用剪刀構(gòu)型CMG很好地實(shí)現(xiàn)了柔性結(jié)構(gòu)的主動(dòng)振動(dòng)抑制。

圖11 無(wú)控時(shí)桁架端部中心點(diǎn)變形Fig.11 The deformation of the center point on the end of the truss without active vibration suppression

5 結(jié) 論

本文以約束邊界空間柔性結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，在結(jié)構(gòu)上分布安裝剪刀構(gòu)型CMG，通過建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，基于Lyapunov方法設(shè)計(jì)了剪刀構(gòu)型CMG的框架軸操縱律。以單部10 m長(zhǎng)的柔性桁架為仿真對(duì)象，在桁架上安裝兩組剪刀構(gòu)型CMG，一組用于激勵(lì)桁架產(chǎn)生振動(dòng)，另一組應(yīng)用所設(shè)計(jì)控制方法進(jìn)行振動(dòng)抑制仿真。在仿真中發(fā)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的操縱律存在“死區(qū)”問題，進(jìn)而改進(jìn)了所設(shè)計(jì)框架軸操縱律，設(shè)計(jì)了一種可避“死區(qū)”的操縱律。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)避“死區(qū)”操縱律可以較好實(shí)現(xiàn)桁架振動(dòng)抑制，且改善了振動(dòng)抑制的性能。

值得注意的是，在柔性結(jié)構(gòu)上安裝CMG，會(huì)增加結(jié)構(gòu)質(zhì)量、降低結(jié)構(gòu)頻率。針對(duì)這一問題，可以在兩方面開展進(jìn)一步研究：一方面，研發(fā)集成化、小型化的CMG；另一方面，賦予CMG更多功能，如利用CMG內(nèi)部的高速轉(zhuǎn)子進(jìn)行能量存儲(chǔ)，同時(shí)通過CMG框架轉(zhuǎn)動(dòng)輸出分布式控制力矩用于柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制，從而減輕系統(tǒng)中能量存儲(chǔ)系統(tǒng)的質(zhì)量，可進(jìn)一步彌補(bǔ)在柔性結(jié)構(gòu)上安裝CMG帶來(lái)的質(zhì)量增加，同時(shí)降低對(duì)CMG微型化的要求，獲得更大的可靠性。