劉 磊，劉 勇，陳 明，謝劍鋒，馬傳令

(北京航天飛行控制中心航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點實驗室，北京 100094)

0 引 言

2020年11月24日中國成功發(fā)射嫦娥五號(CE-5)月球探測器，并于12月17日成功回收CE-5返回器，實現(xiàn)了1976年蘇聯(lián)月球采樣任務(wù)后人類再次獲取月壤樣品，同時標(biāo)志著中國“繞落回”月球探測工程任務(wù)圓滿結(jié)束，并成為美俄之后成功實施月球采樣返回的國家。CE-5探測器采樣返回時由返回器和軌道器組成，在探測器到達地球附近預(yù)定高度后，返回器和軌道器分離，返回器返回著陸場，軌道器則經(jīng)過控制后進入地心大橢圓軌道。在軌道器狀態(tài)良好的情況下，可以開展拓展飛行任務(wù)以實現(xiàn)對任務(wù)資源的最大利用，尤其為后續(xù)月球和深空探測任務(wù)探索關(guān)鍵技術(shù)和積累任務(wù)經(jīng)驗。

類似于中國月球探測再入返回飛行試驗任務(wù)(嫦娥5T1)，受探測器狀態(tài)和能力約束，CE-5軌道器拓展任務(wù)飛行范圍選擇日地和地月空間較為適宜。進一步，考慮到日地和地月平動點對深空探測任務(wù)具有重要應(yīng)用價值，如日地L1點是對太陽和宇宙射線以及地磁場研究的絕佳位置，地月平動點可為地月空間尤其是月球附近的航天器提供穩(wěn)定的導(dǎo)航和中繼通信等任務(wù)支持，以及可作為未來月球自動采樣返回和深空探測任務(wù)的轉(zhuǎn)移中樞。因此，文章選擇日地和地月平動點作為CE-5拓展任務(wù)的飛行目標(biāo)，研究利用軌道器開展平動點拓展任務(wù)，設(shè)計相應(yīng)的平動點軌道及其轉(zhuǎn)移軌道，提出多個飛行控制方案供任務(wù)總體選擇決策，其中包括應(yīng)用廣泛的日地Lissajous軌道、尚未開發(fā)應(yīng)用的地月Lyapunov軌道、美國“深空門戶”空間站擬采用的地月NRHO軌道等。

1 軌道動力學(xué)模型

CE-5平動點拓展任務(wù)設(shè)計采用兩種軌道動力學(xué)模型：圓型限制性三體問題(CR3BP)模型和精確力模型。

1.1 CR3BP模型

設(shè)探測器質(zhì)量為，兩個大天體的質(zhì)量分別為和，且有?<。以和的共同質(zhì)心為原點,繞的運動平面為慣性坐標(biāo)系的平面，相對于運動的近拱點方向為軸指向，建立慣性坐標(biāo)系-和會合坐標(biāo)系-，如圖1所示。

圖1 CR3BP的慣性坐標(biāo)系和會合坐標(biāo)系Fig.1 Inertial and synodic coordinate system of CR3BP

選擇質(zhì)量單位為+，長度單位為繞運動的半長軸，時間單位為運動角速度的倒數(shù)，記=≤12，下文中地月系取0.01215，日地系取3×10，則探測器在-中的運動方程為

(1)

其中

(2)

在CR3BP下，三體系統(tǒng)存在3個共線平動點和2個三角平動點，且由式(1)可推導(dǎo)得到共線平動點附近線性運動的周期解為

(3)

式中:和分別是平動點軌道在和方向的運動幅值;和分別為和方向的相位角，二者相等時即Halo軌道;和分別為和方向的運動頻率，與參數(shù)一起由三體系統(tǒng)確定。

1.2 精確力模型

CR3BP模型與真實力學(xué)環(huán)境存在一定偏差，因此需要采用含攝動因素的精確力模型修正設(shè)計軌道。與近地航天器相比，平動點軌道的精確力模型僅需考慮大天體引力和太陽輻射壓等主要攝動因素即可滿足任務(wù)設(shè)計需求。

1)大天體引力

軌道計算時一般選擇較大的天體作為中心天體，建立慣性坐標(biāo)系和動力學(xué)方程，如太陽系內(nèi)選擇太陽作為中心天體，太陽或太陽系質(zhì)心作為慣性坐標(biāo)系原點，地月系內(nèi)則選擇地球作為中心天體，地心作為慣性坐標(biāo)系原點。

設(shè)全部大天體總數(shù)為，中心天體編號為1，其余天體編號為(=2,…,)，平動點探測器相對于中心天體和其余天體的位置矢量分別為和，則平動點探測器相對于中心天體的加速度為

(4)

2)太陽輻射壓

對于太陽系內(nèi)的平動點軌道，太陽輻射壓是除大天體引力外最大的攝動力，也是導(dǎo)致平動點軌道自然漂移的最大攝動因素。

對于形狀簡單的探測器，太陽輻射壓產(chǎn)生的加速度為

(5)

其中，為探測器表面反射系數(shù);為垂直于輻射方向的探測器截面積;為探測器質(zhì)量;AU=149597870 km,為AU處的光壓通量;為光速;為從太陽到探測器的位置矢量;為陰影系數(shù)，平動點軌道設(shè)計時忽略陰影影響。軌道設(shè)計階段,取1.2，取299792.458 km/s，取1。實際任務(wù)中，利用精確跟蹤測量數(shù)據(jù)進一步精確估計和等參數(shù)。

對于形狀復(fù)雜的探測器，可以將航天器表面分解處理的方法，相應(yīng)計算較復(fù)雜，對于平動點軌道設(shè)計而言，式(5)即可滿足一般需求。

此外，平動點軌道研究有時也采用雙圓限制性四體問題模型，如日地月和探測器組成的雙圓限制性四體問題,即考慮日地月質(zhì)點引力、地月和日地月分別繞各自共同質(zhì)心做圓周運動，其動力學(xué)精度介于上述兩種力模型之間，綜合計算精度和效率，本文未采用該模型。

2 拓展任務(wù)軌道設(shè)計

在利用月球探測器開展平動點拓展任務(wù)方面，2011年6月中國成功實施了嫦娥二號日地平動點拓展任務(wù)，實現(xiàn)了中國首次平動點飛行，探測器于2012年4月離開平動點飛越探測4179小行星，在國際上首次獲取該小行星的近距離光學(xué)圖像。2014年10月，中國成功實施嫦娥5T1地月平動點拓展飛行，實現(xiàn)了繼美國ARTEMIS任務(wù)后唯一的地月平動點驗證飛行任務(wù)，尤其為2018年嫦娥四號的鵲橋地月平動點中繼通信衛(wèi)星奠定了堅實技術(shù)基礎(chǔ)，這些任務(wù)為CE-5平動點拓展任務(wù)軌道設(shè)計提供了有益參考和借鑒。

與返回器分離以后，CE-5軌道器進入地心大橢圓軌道，因此，拓展任務(wù)的軌道類型主要為日地或地月平動點軌道和沿地心大橢圓前往平動點的轉(zhuǎn)移軌道。

2.1 平動點軌道設(shè)計

平動點附近的動力學(xué)混沌特性明顯，L1/L2點附近的典型軌道類型有Lissajous軌道和周期性的Lyapunov軌道、Halo軌道、垂直周期軌道、軸向周期軌道等。

平動點軌道設(shè)計方法包括解析方法和數(shù)值方法，前者采用如林茲泰德-龐加萊方法構(gòu)造高階解析解，作為實際軌道的近似解，后者采用如微分修正方法或多級微分修正方法等數(shù)值方法逼近實際軌道。相比較而言，前者需要理論推導(dǎo)和構(gòu)建高階解析公式，難以對光壓攝動等非保守力建模，后者則難以獲取狀態(tài)連續(xù)的多圈軌道。由于CE-5拓展任務(wù)的目標(biāo)平動點軌道選擇Lissajous軌道、Lyapunov和NRHO軌道，且設(shè)計階段僅需獲取1～2圈精確的平動點軌道即可，因而采用數(shù)值法設(shè)計平動點軌道。

設(shè)平動點軌道在初始時刻和終端時刻的狀態(tài)依次為和

(6)

(7)

修正和飛行時間，使得達到期望值，即

(8)

式中:(,)為平動點軌道由至的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

平動點軌道設(shè)計時，一般使用CR3BP模型下的平動點軌道解作為初值，甚至直接使用線性解,即式(3)，然后在精確力模型下積分軌道，采取多次穿越平面的方式,利用式(8)修正初始狀態(tài)，最終獲取1～2圈精確的平動點軌道。

2.2 平動點轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計

目前平動點軌道的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計主要基于不變流形方法，以達到節(jié)省能量的目的。不過，該方法需要計算平動點軌道流形，整體計算量較大。同時，由于拓展任務(wù)的初始軌道受主任務(wù)約束，運動狀態(tài)可調(diào)整范圍較小，若按照流形轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計思路，則修正計算難度較大。為此，基于嫦娥二號和嫦娥5T1平動點拓展任務(wù)設(shè)計經(jīng)驗，采取收斂性良好且計算量較小的平動點軌道直接轉(zhuǎn)移與入軌方法，即修正軌道器的初始速度使之飛往目標(biāo)平動點，同時得到相應(yīng)的目標(biāo)平動點軌道。

對于飛行時間較長的平動點轉(zhuǎn)移軌道，直接利用微分改進方法有時難以收斂?；蛘?，由于初始軌道歷元和運動狀態(tài)限制，無法通過僅調(diào)整初始速度實現(xiàn)自然轉(zhuǎn)移并進入目標(biāo)平動點軌道，此時必須增加軌道機動才可實現(xiàn)轉(zhuǎn)移，以地月平動點軌道轉(zhuǎn)移為例，如圖2所示。

圖2中，探測器離開地球前往日地平動點，一般可通過調(diào)整初始速度實現(xiàn)由日地平動點附近轉(zhuǎn)移至地月平動點附近。若初始軌道歷元和軌道參數(shù)偏差較大，僅調(diào)整初始速度可能無法實現(xiàn)轉(zhuǎn)移，或者到達地月平動點軌道時需要很大的控制量才可進入平動點軌道，此時需要在轉(zhuǎn)移過程中施加軌道機動，以確保探測器可以轉(zhuǎn)移并進入地月平動點軌道，且總速度增量滿足約束。

圖2 施加中途軌道機動的平動點轉(zhuǎn)移軌道Fig.2 Transfer trajectory with a mid-course maneuver to a libration point orbit

由此，平動點轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計的關(guān)鍵在于多個軌道機動時刻的選擇問題，即選擇合適的軌道機動時刻使得總轉(zhuǎn)移能量最小，如圖2中(,Δ)、(,Δ)和(,Δ)依次為初始轉(zhuǎn)移軌道修正、中途軌道機動、平動點軌道機動的時刻和速度增量，即在給定時間約束范圍內(nèi)采用最優(yōu)化方法求解使總速度增量Δ最優(yōu)

(9)

3 拓展任務(wù)軌道設(shè)計結(jié)果

以與返回器分離后的CE-5軌道器軌道作為初始狀態(tài)，設(shè)計平動點拓展任務(wù)，目標(biāo)平動點軌道分別為日地Lissajous軌道、地月Lyapunov軌道和地月NRHO軌道。

3.1 日地Lissajous軌道

CE-5軌道器與返回器分離后，近地點高度較低，為了不影響返回器安全和挽救軌道器，需在分離后盡快施加規(guī)避機動抬升軌道器近地點高度。以近地點高度抬升至135 km為例，軌道器將進入周期約17.8天的地心大橢圓軌道，如圖3中軌道“GDQ”所示。

進一步分析軌道器初始狀態(tài)可知，若控制其逃逸地月空間則直接飛往日地L1點，因而選擇日地L1點Lissajous軌道作為目標(biāo)軌道。基于2.2節(jié)平動點轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計方法，采用精確力模型設(shè)計軌道器前往日地L1點的轉(zhuǎn)移軌道，同時得到相應(yīng)Lissajous軌道，如圖3中軌道“SEL-1”所示，其中考慮地面測控需求，在近地點后10 h施加軌道機動，即圖中▲所示，下文各圖中的軌道機動位置均用此符號標(biāo)記。

圖3 CE-5軌道器日地Lissajous軌道拓展方案Fig.3 Scheme of Sun-Earth Lissajous orbit for the extended mission of CE-5 orbiter

作為對比給出軌道器近地點高度抬升至160 km，前往日地L1點的轉(zhuǎn)移軌道及其Lissajous軌道，如圖3中軌道“SEL-2”所示，圖中日地Lissajous軌道繞日地L1點飛行1～2圈，可以根據(jù)實際任務(wù)需求延長飛行時間，平動點環(huán)繞飛行期間的軌道維持能量每年可優(yōu)于10 m/s。

CE-5軌道器日地Lissajous軌道方案參數(shù)見表1，其中SEL-1的“軌道機動時機”為2次，依次為規(guī)避機動和近地點后10 h，SEL-2僅利用規(guī)避機動，事實上SEL-1也可以僅利用規(guī)避機動轉(zhuǎn)移至日地L1點并進入Lissajous軌道，其速度增量即表中第三行給出的103 m/s。表1中的轉(zhuǎn)移飛行時間為軌道器從近地點轉(zhuǎn)移至日地L1點附近的平面所需時間。

2001年發(fā)射的日地L1點任務(wù)Genesis，在國際上首次采用了基于不變流形理論設(shè)計的低能量轉(zhuǎn)移軌道，由地球發(fā)射至進入Halo軌道的轉(zhuǎn)移時間約83天，表1中兩個方案的飛行時間和轉(zhuǎn)移軌道均與之接近，由此可見相應(yīng)轉(zhuǎn)移能量接近最優(yōu)。

表1 CE-5軌道器日地Lissajous軌道方案參數(shù)Table 1 Scheme parameters of Sun-Earth Lissajous orbit for CE-5 orbiter

日地Lissajous拓展方案既可以實現(xiàn)對日地L1點的探測飛行，又可以為后續(xù)任務(wù)的規(guī)劃、決策和實施提供時間緩沖，例如后續(xù)根據(jù)任務(wù)狀態(tài)進一步開展日地L2點探測、地月空間探測、返回再入地球、地外天體探測等。

3.2 地月Lyapunov軌道

Lyapunov軌道是平動點動力學(xué)研究和任務(wù)設(shè)計的基礎(chǔ)，目前尚未應(yīng)用于實際任務(wù)，因此設(shè)計CE-5軌道器開展地月Lyapunov軌道驗證飛行。

以前述近地點高度抬升至135 km的軌道作為初始軌道，設(shè)計軌道器前往地月Lyapunov軌道的飛行任務(wù)。借助月球近旁轉(zhuǎn)向的方式，首先控制軌道器飛經(jīng)1.5圈地心大橢圓軌道后與月球交會，期間包括規(guī)避機動控制和遠地點軌道機動，飛行軌跡如圖4(a)所示。然后，在近月點施加減速控制，軌道器前往地月L2點并自然進入Lyapunov軌道，在L2點繞飛半圈后進行軌道機動，軌道器將沿近似流形轉(zhuǎn)移軌道逐漸離開地月L2點Lyapunov軌道，向地月L1點轉(zhuǎn)移，期間將繞月球飛行1圈，截至環(huán)繞月球半圈的飛行軌跡如圖4(b)所示。軌道器環(huán)繞月球1圈后轉(zhuǎn)移至地月L1點并自然進入Lyapunov軌道，飛行軌跡如圖4(c)所示。

圖4 CE-5軌道器地月Lyapunov軌道拓展方案Fig.4 Scheme of Earth-Moon Lyapunov orbit for the extended mission of CE-5 orbiter

CE-5軌道器地月Lyapunov軌道方案的飛行參數(shù)見表2。

表2 CE-5軌道器地月Lyapunov軌道方案參數(shù)Table 2 Scheme parameters of Earth-Moon Lyapunov orbit for CE-5 orbiter

該方案中地月Lyapunov軌道繞L1/L2點飛行1～2圈，可以根據(jù)實際任務(wù)需求延長飛行時間，平動點環(huán)繞飛行期間的軌道維持能量每年可以優(yōu)于15 m/s。在地月Lyapunov軌道飛行后可以規(guī)劃再拓展任務(wù)，如撞擊月球終結(jié)使命、轉(zhuǎn)移至地月和日地平動點開展探測、逃逸地月空間進入深空等。

該方案中由地球轉(zhuǎn)移至近月點的飛行時間約10天，在近月點施加速度增量約259 m/s的控制后軌道器進入地月L2點Lyapunov軌道。文獻[29]給出了前往地月L2點Lyapunov軌道的類似轉(zhuǎn)移方式，根據(jù)目標(biāo)軌道幅值不同所需的速度增量約220～540 m/s，但是僅考慮了CR3BP力模型。

3.3 地月NRHO軌道

NRHO軌道是距離月球較近的Halo軌道，是未來月球和深空探測空間站布設(shè)的首選軌道，目前美國“深空門戶”空間站即采用NRHO軌道。

以近地點高度抬升至135 km的軌道作為初始軌道，設(shè)計軌道器前往地月NRHO軌道的拓展任務(wù)?？紤]能量和飛行時間要求，給出2個軌道方案，其一為結(jié)合日地L1點探測飛行的地月NRHO軌道轉(zhuǎn)移方案，即軌道器由近地點直接飛向日地L1點Lissajous軌道，進而轉(zhuǎn)移返回地月系，進入地月NRHO軌道；其二為軌道器由近地點直接經(jīng)深空機動返回地月系，然后進入地月NRHO軌道，二者對應(yīng)的轉(zhuǎn)移軌道和NRHO軌道分別如圖5中的NRHO1和NRHO2所示。

圖5 CE-5軌道器地月NRHO軌道拓展方案Fig.5 Scheme of Earth-Moon NRHO orbit for the extended mission of CE-5 orbiter

Folta計算了日地L2擬Halo軌道向地月L2點NRHO軌道的轉(zhuǎn)移軌道，所需速度增量約128.5 m/s，轉(zhuǎn)移時間約142天。與之相比，NRHO1方案由日地L1點轉(zhuǎn)移至NRHO的總速度增量約288 m/s，但是轉(zhuǎn)移時間僅85天;NRHO2方案由深空機動至NRHO的總速度增量約263 m/s，但是飛行時間僅為34.4天。因此，雖然本方案的能量消耗相對較大，但是卻大大降低了作為空間任務(wù)尤其是拓展任務(wù)重要因素的飛行時間。

CE-5軌道器地月NRHO軌道方案的飛行參數(shù)見表3。

表3 CE-5軌道器地月NRHO軌道方案參數(shù)Table 3 Scheme parameters of Earth-Moon NRHO orbit for CE-5 orbiter

由表3可見，2個方案的NRHO軌道較為接近，其中轉(zhuǎn)移飛行時間和能量可以根據(jù)實際任務(wù)需要做進一步優(yōu)化。由于NRHO軌道的穩(wěn)定性較好，可以在該軌道上做長期驗證飛行，每年的軌道維持能量可以優(yōu)于10 m/s，同時由于NRHO軌道的近月點較低，拓展任務(wù)結(jié)束后以較小能量即可實現(xiàn)撞月以終結(jié)使命，也可以較小能量返回地球或者前往深空。

4 結(jié) 論

文章研究了利用嫦娥五號軌道器的平動點拓展任務(wù)飛行方案，設(shè)計了包括日地Lissajous軌道、地月Lyapunov軌道和NRHO軌道在內(nèi)的平動點軌道及其轉(zhuǎn)移軌道，研究結(jié)果表明文中軌道動力學(xué)模型和軌道設(shè)計方法可以滿足拓展任務(wù)設(shè)計需求，各方案所需速度增量不超過400 m/s，最小為103 m/s，轉(zhuǎn)移至目標(biāo)平動點軌道的飛行時間不超過90天，最短為70天。此外，若在軌道器規(guī)避機動時考慮后續(xù)拓展飛行，可有效節(jié)省軌道控制所需能量，因此實際任務(wù)設(shè)計時應(yīng)綜合考慮拓展任務(wù)需求，以實現(xiàn)任務(wù)資源的整體最優(yōu)利用。