劉國光

(廣州南方測繪科技股份有限公司，廣東廣州 510665)

1 引 言

多頻混合信號的處理方法研究一直是信號處理的重點。一些常規(guī)的信號處理方法，如奇異值分析、主成分分析等，對混疊信號處理后的輸出結果都是相互之間信號，不能夠保證輸出的所有結果信號實現(xiàn)對源信號的最佳表現(xiàn)。隨著信號處理技術的發(fā)展，衍生出如經(jīng)驗模式分解、小波分析與傅里葉變換等現(xiàn)代信號處理方法。但是這些方法對于多信號混疊的處理效果均不好，不能有效地分離出混疊信號。隨著信息學科、神經(jīng)網(wǎng)絡學科、統(tǒng)計學科等學科的發(fā)展，也涌現(xiàn)出一些信號混疊盲源分離算法。

盲源信號分離算法是通過獲取的觀測信號特性對信號進行處理的方法，并且此觀測信號的混疊方式是未知的?！懊ぴ础敝饕侵笇υ葱盘枎缀鯖]有先驗知識的條件下，通過推導獲取混合參數(shù)，從而實現(xiàn)信號的盲源分離。經(jīng)過專家學者的多年研究，已經(jīng)提出大量的盲源分離算法，比如基于最大信噪比算法、獨立分量分析算法等。目前盲源分離算法已經(jīng)應用于圖像處理、雷達、語音等多個領域，成為當前的研究熱點。然而，常規(guī)的盲源分離算法忽略了源信號可以被多次拷貝輸出的問題，認為所有的源信號只要被重構一次就可以實現(xiàn)源信號的有效分離。因此，如果真正需要實現(xiàn)源信號的有效分離，還要了解其他相關信號處理技術等。針對常規(guī)盲源分離算法的缺點，本文提出一種新的盲源分離方法。該方法針對觀測信號的多路徑誤差特征，并且利用盲源分離算法在處理多源信號中的優(yōu)勢，研究從全球導航衛(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System，GNSS)觀測信號中分離出的多路徑誤差。本文從信號處理的角度出發(fā)，為盲源分離在GNSS觀測數(shù)據(jù)處理中的應用進行了有益的探索。

2 盲源分離經(jīng)典算法

經(jīng)過多年研究，盲源分離的理論與實踐體系已經(jīng)相對完善，盲源分離方法可根據(jù)不同的分類標準分為多種類型：一是按照時間延遲將盲源分離分為瞬時混合模型與卷積混合模型，二是按照映射關系將盲源分離分為非線性和線性盲源分離，三是按照觀測通道數(shù)量將盲源分離分為欠定盲源分離、等定盲源分離和超定盲源分離[1]。

2.1 獨立分量分析

獨立分量分析(Independent Component Analysis，ICA)是假設在各個源信號之間獨立[2-4]，并且觀測信號的先驗信息很少，僅僅通過獲取的混疊信號實現(xiàn)源信號分離的一種盲源分離算法[5]。

ICA的數(shù)學模型可表達為x=AS，其中x=(x1,x2,…,xn)T表示n維向量，由混合矩陣A與原始向量S=(S1，S2，…，Sn)T進行線性混合而成。假設混合矩陣A與原始信號S都未知，通過統(tǒng)計觀測信號x的特征，對原始信號S進行最大限度的逼近或者恢復，可以采用創(chuàng)建分離矩陣W的方法，對觀測信號x進行分離變換后得到輸出信號，此輸出信號就是對源信號的最佳分解。圖1為ICA基本模型：

圖1 ICA基本模型Fig.1 ICA basic model

Y=Wx

(1)

通過ICA進行信號的盲源分離主要包含兩個部分[6-8]：一是獨立性判斷，二是優(yōu)化算法。

本文主要采用FastICA算法。FastICA算法是一種ICA固定算法，其具有收斂速度快、計算簡單等特點，常用于實際的信號處理，步驟如下：

1)對觀測數(shù)據(jù)進行中心化處理；

2)選擇具有單位范數(shù)的初始化變量；

3)更新初始化向量；

4)標準化處理。

(2)

式中：wk+1表示更新后單位向量，‖wk+1‖表示更新后向量模長。

進行上述步驟處理，就可以得到ICA算法中非分離矩陣W的行向量。在式(1)中加入分離矩陣W進行運算，就可以將原始信號s恢復。

2.2 基于最大信噪比盲源分離

基于最大信噪比(MAX-SNR)盲源分離是以信噪比函數(shù)為目標函數(shù)的全局優(yōu)化算法。源信號S與其估計信號Y的誤差e=S-Y表示噪聲信號。信噪比函數(shù)為：

(3)

(4)

(5)

計算上式可以得到分離矩陣的解。

3 廣義特征值盲源分離

利用常規(guī)的盲源分離方法進行源信號分離，如果源信號至少被重構一次，那么就認為源信號被有效分離。但是實際處理中，可能存在源信號被多次拷貝輸出的問題，并且通過常規(guī)的盲源分離方法實現(xiàn)對源信號的真正分離，還要了解相關的信號處理技術，并明確源信號的數(shù)目。本文針對常規(guī)盲源分離在處理源信號中的劣勢，提出一種新的盲源分離方法，即基于廣義特征值的盲源分離算法。

通過上文描述可知，盲源分離的本質就是通過分離矩陣將源信號進行分離。如果分離矩陣W=A-1，則可認為源信號得到最優(yōu)分解。通過盲源分離方法幾乎不能得到源信號的先驗知識。由上文知，逆變函數(shù)g可以決定盲源分離中分離矩陣的分離效果，因此本文采用有別于以往的逆變函數(shù)g，令：

(6)

式中：q表示參數(shù)。

分離得到的信號Y(t)，可表示為：

Y(t)=WX(t)

(7)

令：

g[S(t)]={g[s1(t)],g[s2(t)],…,g[(sN(t)]}T

(8)

g[S(t)]={g[x1(t)],g[x2(t)],…,g[xN(t)]}T

(9)

g[S(t)]={g[y1(t)],g[y2(t)],…,g[yN(t)]}T

(10)

由式(7)可以得到：

cov{g[X(t)]}=Acov{g[S(t)]}AT

(11)

cov{g[Y(t)]}=Wcov{g[X(t)]}WT

(12)

對于混合矩陣A，由于其是一個滿秩矩陣，結合上式可知，cov{g[X(t)]}和cov[X(t)]是實對稱正定矩陣，可以得到：

cov{g[X(t)]}w=λcov[X(t)]w

(13)

上式即為廣義特征值問題。

根據(jù)研究可以知道，式(13)的解算結果中有N個特征值，從理論上講源信號都可以被分解，因此總會存在一個行向量Wi使其滿足WiAS(t)=kisi，并且cov{g[si(t)]}/cov[si(t)]為式(1)的特征值。

綜上，基于廣義特征值進行盲源分離的主要流程為：

1)將觀測數(shù)據(jù)中心化；

2)構建新的逆變函數(shù)，計算g[X(t)]；

3)通過廣義特征值函數(shù)W=eig{g[X(t)],X(t)}，對式(13)進行求解，得到分離矩陣；

4)計算Y(t)=WX(t)。按照前文所述，WX(t)中包含了源信號中所有的可分離信號。

4 試驗驗證

4.1 試驗結果評價指標

使用統(tǒng)一的評價指標對混疊信號分離的結果進行評價，可以對不同分離算法的分離效果進行判斷。一般使用二次殘差和相關系數(shù)對盲源分離的結果進行評價。

4.1.1 二次殘差

二次殘差公式可表達為：

(14)

式中：E表示數(shù)學期望，VQM表示源信號與分離后信號的二次殘差。一般來說，殘差越小表示分離效果越好，但是通過式(14)對二次殘差進行計算時需準確估計出信號的幅值，否則計算的結果將沒有意義。因此，要對式(14)進行優(yōu)化，表達式如下：

(15)

4.1.2 相似系數(shù)

相似系數(shù)的表達式如下所示：

(16)

圖2 源信號波形Fig.2 Source signal waveform

4.2 仿真試驗

本文首先通過仿真信號對基于廣義特征值的盲源分離算法進行測試，并且同時通過MAX-SNR和ICA對仿真信號進行分離，對比三種信號處理效果。一組噪聲與三組振動信號構成了仿真源信號，式(17)為正弦信號，式(18)為方波信號，式(19)為鋸齒信號。

s1(t)=2sin(0.02πt)

(17)

s2(t)=2square(100t,50)

(18)

s3(t)=2[a，a，a，a，a，a，a，a]，a=linespace(-1，1，25)

(19)

隨機噪聲為一正態(tài)分布s4(t)N(0,0.05)，通過軟件隨機生成一混合矩陣A，利用混合矩陣與仿真源信號生成觀測信號。其中混合矩陣：

(20)

圖3為混合后的信號。利用三種方法對本文采用的仿真信號進行處理，圖4、圖5、圖6分別是利用ICA、MAX-SNR及廣義特征值分離得到的結果。從圖中可以看出，基于廣義特征值處理的結果最好，經(jīng)算法進行分離后，信號的恢復效果都很好。通過計算信號分離前后之間的二次殘差和相似系數(shù)，對分離效果進行評價，結果如表1和表2所示。

圖3 混合后的信號Fig.3 The mixed signals

圖4 經(jīng)ICA分解后的信號Fig.4 The signals decomposed by ICA

圖5 經(jīng)MAX-SNR分離后的信號Fig.5 The signals separated by MAX-SNR

圖6 經(jīng)本文提出算法分離后的信號Fig.6 The signals separated by the algorithm proposed in this paper

從表1和表2可以得出，三種盲源分離方法都可以對源信號進行有效分離，但是本文提出的算法分離源信號得到的效果比經(jīng)ICA和MAX-SNR分離得到的效果好，該方法得到分離后的信號與源信號的相似系數(shù)較MAX-SNR分解的相似系數(shù)分別增加了8.0%、8.5%、10.7%，較ICA分解的相似系數(shù)分別增加了6.1%、5.9%、4.6%。

表1 相似系數(shù)值對比Tab.1 ComparisonofsimilaritycoefficientvaluesMAX-SNRICA廣義特征值S10.92150.94030.9981S20.91340.93570.9911S30.89870.95160.9953

在二次殘差的指標中，當二次殘差值不大于-23dB時，則可認為算法進行信號分離得到的效果較好。廣義特征值分離后的三種信號與源信號之間的殘差較MAX-SNR分解的殘差分別減少了28.7%、27.4%、29.8%，較ICA分解的殘差分別減少了11.0%、7.9%、4.4%。結果表明，廣義特征值分離算法較其他兩種盲源分離算法在對源信號進行分離時有更好的效果。

表2 二次殘差值對比Tab.2 ComparisonofsecondaryresidualsMAX-SNR/dBICA/dB廣義特征值/dBS1-24.114-27.957-31.031S2-23.796-28.104-30.312S3-23.096-28.713-29.986

4.3 GNSS觀測數(shù)據(jù)處理

為了得到廣義特征值在GNSS變形監(jiān)測數(shù)據(jù)中的分離效果，在仿真信號處理的基礎上，在觀測得到的GNSS監(jiān)測數(shù)據(jù)中，截取第前200個歷元多路徑誤差視為一路源信號，如圖7所示，組成五路源信號。

圖7 源信號Fig.7 The source signals

同樣利用軟件生成一混合矩陣，如式(21)所示，與源信號組成觀測信號，如圖8所示。

(21)

圖8為混合信號。同樣利用三種盲源分離方法對多路徑誤差源信號進行分離。圖9、圖10、圖11分別是利用ICA、MAX-SNR及基于廣義特征值分離得到的結果。從圖中可以看出，廣義特征值盲源分離算法分離效果最好，MAX-SNR分離算法分離的效果最差。為了對三種分離方法分離的效果進行更加客觀的評價，分別計算信號分離效果的兩種評價指標，結果如表3和表4所示。

圖8 混合信號Fig.8 The mixed signals

圖9 經(jīng)ICA分離后的信號Fig.9 The signals separated by the ICA

圖10 經(jīng)MAX-SNR分解后的信號Fig.10 The signals decomposed by MAX-SNR

圖11 本文提出算法分解后的信號Fig.11 The signals decomposed by the algorithm proposed in this paper

通過表3的相似系數(shù)可以看出，基于廣義特征值分離信號的效果最好，本文提出的算法分離后的信號與源信號的相似系數(shù)較MAX-SNR分解的相似系數(shù)依次提高了1.9%、3.0%、3.4%、2.8%，較ICA分解的相似系數(shù)增加了1.0%、2.0%、2.4%、2.8%。在二次殘差這一評價指標中，利用三種方法分離觀測信號后計算得到的二次殘差都小于-23dB。

廣義特征值分離后的信號與源信號之間的殘差較MAX-SNR分解的殘差分別減少了21.8%、19.5%、18.4%、19.3%，較ICA分解的殘差分別減少了15.5%、11.0%、11.4%、11.6%。

通過表格對比描述可知，在增加GNSS多路徑誤差后，利用本文提出的廣義特征值盲源分離仍然可以得到很好的效果，對于GNSS變形監(jiān)測誤差模型建立有很高的參考價值。

表3 相似系數(shù)對比Tab.3 Comparisonofsimilaritycoefficient信號MAX-SNR/dBICA/dB廣義特征值/dBS10.98120.99011.0000S20.96940.97930.9989S30.96130.97050.9939S40.97050.96980.9974

表4 二次殘差對比Tab.4 ComparisonofSecondaryResiduals信號MAX-SNR/dBICA/dB廣義特征值/dBS1-24.796-26.147-30.211S2-24.428-26.296-29.193S3-24.589-26.144-29.113S4-24.223-25.897-28.896

5 結束語

本文介紹了盲源分離算法的數(shù)學模型以及當前盲源分離算法的不足，并針對傳統(tǒng)盲源分離算法的不足，提出了一種新的盲源分析方法。主要研究成果與展望如下：

1)建立逆變函數(shù)對信號進行有效的分離。通過仿真信號驗證廣義特征盲源分離的有效性，將分離結果與MAX-SNR和ICA分離的結果進行對比，表明該方法分離的效果最好。

2)在仿真試驗的基礎上增加GNSS觀測數(shù)據(jù)多路徑誤差作為源信號組成多路源信號，結果顯示利用本文提出的分離方法能很好地分離源信號，且較另外兩種方法分離的效果更好。

3)與MAX-SNR和ICA相比，本文提出的基于廣義特征值盲源分離算法的分離效果更好。但是尚未解決盲源分離算法中排序與幅值不確定問題，仍然需要對算法進行改進，并尋找更貼合實際環(huán)境的分離算法。

4)下一步將重點研究信號個數(shù)未知及個數(shù)動態(tài)變化的情況下如何進行盲源分離，也就是對源信號個數(shù)動態(tài)識別的研究，同時進一步研究復雜環(huán)境下的盲源分離算法。