趙國俊

(南京工程學院數理學院, 江蘇 南京 211167)

設H為希爾伯特空間,其上的有界線性算子的全體記為B(H)(構成Banach代數). 對于給定的算子A、B、C∈B(H),考慮算子方程(Sylvester方程):

AX-XB=C

(1)

其中滿足方程的未知算子X稱為該算子方程的解.

算子方程(1)通常稱為Sylvester-Rosenblum方程,它起源于矩陣方程及微分方程的相關研究. 自20世紀50年代取得了突破性進展之后,該方程受到了廣泛而深入的研究[1-4].另一方面,經典的函數空間如Lebesgue空間、Hardy空間以及這些空間上的有界線性算子如乘法算子、Toeplitz算子等也得到了許多學者的關注[5-7].

本文將算子方程與函數空間上的特殊算子兩者相結合,研究由函數空間L2(T)上的乘法算子以及Hardy空間H2(T)上的Toeplitz算子所構成的算子方程的解,借助于算子譜的性質刻畫了方程存在唯一解的充分條件. 在探究Toeplitz算子的性質基礎上,得到了唯一解相關的充要條件,并給出了唯一解的具體形式.

1 預備知識

復平面C上的開單位圓盤記為D,單位圓周記為T=?D.L2(T)為關于T上規(guī)范化測度μ的Lebesgue空間. 設H(D)為D上解析函數的全體,此范數下,其子集H2=H2(T)為Hilbert空間(或記為H2(D)),內積定義為:

設φ∈L∞(T),L2(T)上的乘法算子定義為Mφf=φf,?f∈L2(T).H2(T)上的Toeplitz算子定義為Tφf=P(φf),?f∈H2(T).這里P為L2(T)到H2(T)的投影算子,函數φ一般稱為相應算子的符號.

引理1[5]：

1)σ(Mφ)=R(φ),這里σ(·)表示算子的譜,R(·)表示函數的本性值域；

引理2[6]：

B(H)上的左乘算子LA與右乘算子RB分別定義為(對于任意的X∈B(H))LA(X)=AX,RB(X)=XB.廣義導數(算子)ΔA,B=LA-RB,即ΔA,B(X)=AX-XB.算子方程(1)可表示為ΔA,B(X)=C.

引理3[2,4]:σ(ΔA,B)=σ(A)-σ(B)={λ-μ:λ∈σ(A),μ∈σ(B)}.

2 主要結果及證明

引理4：設H=L2(T)且φ、ψ∈L∞(T).若R(φ)∩R(ψ)=?,則B(H)上的算子方程MφX-XMψ=C有唯一解.

證明：方程即ΔMφ,Mψ(X)=C. 由引理1知,σ(Mφ)=R(φ). 據引理3有σ(ΔMφ,Mψ)=σ(Mφ)-σ(Mψ)=R(φ)-R(ψ). 由于R(φ)∩R(ψ)=?,知0?R(φ)-R(ψ),故0?σ(ΔMφ,Mψ),從而ΔMφ,Mψ可逆. 因此,方程MφX-XMψ=C有唯一解.

注記1：利用文獻[4]中關于譜刻畫更精細的定理,結合乘法算子的譜的特點,可以進一步證明：R(φ)∩R(ψ)=??方程MφX-XMψ=C有(唯一)解.

證明：

1) 必要性,若X=Mf為原方程的解,利用乘法算子的交換性,可知C=MφMf-MfMψ=M(φ-ψ)f為乘法算子;

注意到z、ω的任意性,可知結論成立.

顯然，當n=1時,即引理2的2).

引理5：設φ1、φ2、ψ1、ψ2∈L∞(T),則Tφ1Tψ1+Tφ2Tψ2=Th的充要條件是φ1、φ2、ψ1、ψ2滿足下列任一條件：

定理3：在引理6的條件下,當C=Th是Toeplitz算子時,方程的唯一解X也是Toeplitz算子的充要條件為符號h具有形式：h=(φ-ψ)g,g∈L∞(T),并且下列3個條件中至少1條成立：

1)g=c為常數；

證明：

①g=c.當g=c(常數)時,取f=g=c,則TφTf-TfTψ=Tcφ-Tcψ=Tc(φ-ψ)=Th.

③g具有形式g=r(Φ++Ψ-)+a0,為了討論方便,記Φ+=P(φ)-φ(0),Φ-=(I-P)(φ)+φ(0),Ψ+=P(ψ),Ψ-=(I-P)(ψ).顯然φ=Φ-+Φ+,ψ=Ψ-+Ψ+. 取f=g,故

TφTf-TfTψ=TφTg-TgTψ=

TφTr(Φ++Ψ-)+a0-Tr(Φ++Ψ-)+a0Tψ=

(TφTr(Φ++Ψ-)+TφTa0)-(Tr(Φ++Ψ-)Tψ+Ta0Tψ)=

(TφTr(Φ++Ψ-)-Tr(Φ++Ψ-)Tψ)+T(φ-ψ)a0=

(TφTrΦ++TφTrΨ-)-(TrΦ+Tψ+TrΨ-Tψ)+T(φ-ψ)a0=

TφTrΨ--TrΦ+Tψ+TrφΦ+-TrΨ-ψ+T(φ-ψ)a0=

TΦ-+Φ+TrΨ--TrΦ+TΨ-+Ψ++TrφΦ+-TrΨ-ψ+T(φ-ψ)a0=

(TΦ-+TΦ+)TrΨ--TrΦ+(TΨ-+TΨ+)+TrφΦ+-

TrΨ-ψ+T(φ-ψ)a0=

TΦ+TrΨ--TrΦ+TΨ-+TΦ-rΨ--TrΦ+Ψ++TrφΦ+-

TrΨ-ψ+T(φ-ψ)a0=

rTΦ+TΨ--rTΦ+TΨ-+TΦ-rΨ--rΦ+Ψ++rφΦ+-rΨ-ψ+(φ-ψ)a0=

TΦ-rΨ--rΦ+Ψ++rφΦ+-rΨ-ψ+(φ-ψ)a0=

T(r(Φ++Ψ-)+a0)(φ-ψ)=Tg(φ-ψ)=Th

故結論成立.

2) 必要性,若X=Tf為方程的解,即TφTf-TfTψ=Th,變形得TφTf+TfT-ψ=Th.由引理5可知,φ1=φ,ψ1=f,φ2=f,ψ2=(-ψ)滿足引理中的條件.

由引理5條件1),直接驗證可得定理3中的條件1)與條件2)(四種情形).

由引理5條件2)的結論,注意到φ=Φ-+Φ+,ψ=Ψ-+Ψ+,代入可得方程組：

化簡得:

故結論成立.

注記3:注意定理3條件3)中,當Φ+=0或者Ψ-=0時并不能包含前面兩種情形,此時僅僅是條件1)與條件2)的一部分特例.