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        非結(jié)構(gòu)化與結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分在地下水?dāng)?shù)值模擬中對比分析

        2022-05-10 09:10:02張鵬偉費宇紅郝奇琛李亞松朱玉晨孟素花郭春艷
        科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新 2022年14期
        關(guān)鍵詞:剖分結(jié)構(gòu)化邊界

        張鵬偉 費宇紅* 郝奇琛 李亞松 朱玉晨 孟素花 郭春艷

        (1、中國地質(zhì)科學(xué)院水文地質(zhì)環(huán)境地質(zhì)研究所,河北 石家莊 050061 2、福建省水循環(huán)與生態(tài)地質(zhì)過程重點實驗室,福建 廈門 361001)

        地下水是重要的自然資源,作為許多地方工業(yè)、農(nóng)業(yè)和居民生活主要水源或唯一供水水源,其水量與水質(zhì)變化備受社會各界關(guān)注。地下水?dāng)?shù)值模擬是研究地下水流場變化、溶質(zhì)運移和熱量運移的重要方法,目前求解地下水模型的數(shù)值方法包括有限差分法(FDM)、有限元法 (FEM)、邊界元法 (BEM) 和有限分析法(FAM)。MODFLOW 作為有限差分地下水流數(shù)值模型的代表,是目前水資源利用、環(huán)境保護等科研和生產(chǎn)領(lǐng)域最為普及的計算程序??臻g離散化是構(gòu)建地下水?dāng)?shù)值模型的重要步驟,MODFLOW 為其提供了結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格與非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格兩種剖分方式,為深入理解非結(jié)構(gòu)化版本(MODFLOW-USG) 與 傳 統(tǒng) 結(jié) 構(gòu) 化 版 本 ( 包 括MODFLOW-2000,-2005,-NWT,-LGR) 的區(qū)別和特點,本文針對以上兩種網(wǎng)格剖分方式從求解方法、連接方式以及單元格幾何形狀等方面進行分析對比。

        1 求解方法

        MODFLOW-USG 基于控制體積有限差分法(Control Volume Finite-difference, CVFD)進行非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分,該方法綜合有限差分法和有限元法的優(yōu)點,采用差分法進行離散,又采用不規(guī)則的網(wǎng)格形狀處理模型邊界和網(wǎng)格疏密的問題,從而保證了流場維度的靈活性[1]。對于單元n 與每一個與之相鄰的單元m,控制體積有限差分方程的一般形式為[2]:

        式中:Cnm為單元n 與相鄰單元m 之間的系數(shù);hm和hn分別為m 單元和n 單元的水頭;HCOFn是所有與單元n 水頭hn相關(guān)的系數(shù)項的總和;RHSn為所有常數(shù)項和已知項,也稱平衡方程右側(cè)項。

        式中:anm是單元n 與單元m 公共面在垂直于流向方向上的投影面積;knm為單元n 與單元m 之間的滲透系數(shù);Lnm、Lmn為單元n 和單元m 中心到公共面的垂直距離;Vn為單元n 的體積;SSn為單元的儲水率;?t 為時間步長;t-1 為上一時間步長。(圖1)

        圖1 非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格空間離散示意圖

        傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分所采用的有限差分方程同樣是基于質(zhì)量守恒和水量平衡方程構(gòu)建,對于單元(i,j,k)與相鄰單元(i,j-1,k),二者間的流量計算方程如下[3]:

        式中:hi,j,k是單元(i,j,k)的水頭;qi,j-1/2,k是兩相鄰單元間的流量;Δci和Δvk分別為單元的寬和高;Δrj-1/2為兩單元中心間距。對于單元(i,j,k)有限差分的一般計算方程為:

        式中:KR、KC、KV 分別為沿j、i、k 方向的滲透系數(shù);QSi,j,k為各類源匯項;SSi,j,k為單元儲水率。(圖2)

        圖2 結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格空間離散示意圖

        2 連接方式

        結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分是指每個內(nèi)部單元格具有相同數(shù)量的毗鄰單元,除了在邊界處的單元以外,每個單元通常固定連接到6 個主方向上的相鄰單元(圖2)。這種連接方式使其具有網(wǎng)格生成速度快、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡單的優(yōu)點,同時方便數(shù)據(jù)和相關(guān)參數(shù)的準(zhǔn)備,便于賦值,最重要的是計算穩(wěn)定性好并且收斂速度快。然而在實際模擬過程中,結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分存在明顯的局限性:在刻畫不規(guī)則邊界時,需要將研究區(qū)以外的單元設(shè)置為不活動單元,且研究區(qū)邊界往往容易形成鋸齒形邊界(圖3 (b));若采用網(wǎng)格加密的方式細化邊界或重點區(qū)域,加密區(qū)域行和列會擴展至模型域的邊緣,從而產(chǎn)生許多非必要的計算單元,大大影響了模型的計算效率并且容易造成模型不收斂的問題。

        圖3 結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分方式

        非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格則是指對于所有單元來說,網(wǎng)格單元與相鄰單元的連接數(shù)不是固定值,每一個單元可以與任意數(shù)量的網(wǎng)格相鄰。如圖4 所示,一個單元與周圍單元的連通性取決于公共邊(面)的數(shù)量,而每個單元的不盡相同,這就導(dǎo)致所列的方程組是非結(jié)構(gòu)化的。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格允許定義不規(guī)則形狀的模型域,在模型區(qū)域之外,不需要設(shè)置不活動單元。

        圖4 非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分方式

        3 單元格幾何形狀

        結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分通常對模型進行正交矩形剖分,但以單元幾何形狀區(qū)分結(jié)構(gòu)化與非結(jié)構(gòu)剖分是常見的錯誤認(rèn)知,需要注意的是規(guī)則三角形或六邊形網(wǎng)格同樣是結(jié)構(gòu)化的,關(guān)鍵在于其每個單元具有相同數(shù)量的毗鄰單元。對于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分,模型層必須在整個模型領(lǐng)域中保持連續(xù),所有模型層中的單元數(shù)必須相同,這意味著需要插入完整的模型層,且必須在弱透水層尖滅區(qū)域設(shè)置最小厚度。結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格單元編號根據(jù)網(wǎng)格的行、列、層屬性編號。

        如圖4 所示,非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分允許單獨或組合使用嵌套網(wǎng)格、三角形、矩形或其他多邊形形狀的幾何圖形以適當(dāng)?shù)仉x散區(qū)域,從而有效提高河流和井等對象的模型分辨率。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格單元體必須是凸柱狀體,且柱體側(cè)面垂直于水平底面,但各層無需在整個模型區(qū)域保持連續(xù),模型層厚度可設(shè)置為零。各層可獨立離散化,比如對淺層河流處細化剖分,深層保持粗化網(wǎng)格。為方便預(yù)處理和后處理,MODFLOW-USG 保留了分層的概念,但單元格編號不顯示分層信息,單元從上層開始編號,然后依次按網(wǎng)格層級順序編號至最底層單元。

        對于計算精度而言,標(biāo)準(zhǔn)的CVFD 方程要求連接相鄰單元中心點的連線垂直于公共面,并且連線與公共面的交點應(yīng)處于公共面的中心[4]。但嵌套網(wǎng)格、四叉樹網(wǎng)格以及具有非正多邊形網(wǎng)格可能會違背此要求,且偏離CVFD 法的要求越大,地下水流數(shù)值解的精度損失也就越大;然而增加細化網(wǎng)格的數(shù)量,提高模型分辨率又會提高模型精度,降低誤差,二者之間的關(guān)系很難量化。有不少學(xué)者已通過理論推導(dǎo)以及模擬實驗的方式已經(jīng)證明,分辨率越高,模型對水位模擬的精度越高,并且相比較于細結(jié)構(gòu)化的網(wǎng)格剖分,其計算時長也會大大降低[5-6]。

        4 結(jié)論

        總結(jié)來說,結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分具有操作簡便、生成速度快、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點,但在研究重點區(qū)域加密、模擬不規(guī)則研究區(qū)邊界以及模擬不連續(xù)弱透水層或地層尖滅等方面具有一定局限性。

        非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分允許刻畫不規(guī)則邊界,支持局部加密,計算效率及計算精度更高,穩(wěn)定性更強。

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