王 燦，李曉鵬，宣可凡，蔣一飛，紀(jì)景純，賈仁浩，劉建立*

壓縮感知理論在地學(xué)空間數(shù)據(jù)重構(gòu)中的應(yīng)用進(jìn)展①

王 燦1,2，李曉鵬1，宣可凡1,2，蔣一飛1,2，紀(jì)景純1,2，賈仁浩1,2，劉建立1*

(1 中國科學(xué)院南京土壤研究所，南京 210008；2 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

空間數(shù)據(jù)重構(gòu)是根據(jù)離散、稀疏的點(diǎn)位數(shù)據(jù)構(gòu)建介質(zhì)屬性完整空間分布的過程，地學(xué)領(lǐng)域中通常采用基于地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)的方法。壓縮感知是21世紀(jì)信號處理領(lǐng)域的重大理論突破，地學(xué)領(lǐng)域的學(xué)者將其作為一種空間數(shù)據(jù)重構(gòu)的新方法，在流體運(yùn)動模型的靜態(tài)參數(shù)反演和土力學(xué)性質(zhì)重構(gòu)中取得了良好效果。本文在簡述壓縮感知數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，闡述了基于該理論的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)方法在地學(xué)領(lǐng)域的研究進(jìn)展，分析了該方法在土壤特性空間數(shù)據(jù)重構(gòu)中的可行性，并提出了幾點(diǎn)潛在的研究方向。

壓縮感知；空間數(shù)據(jù)；土壤特性

巖石和土壤都是多重因素交互作用下的產(chǎn)物，具有明顯的空間變異特征[1]。充分掌握其空間分布及變化情況是工程設(shè)計、土地資源管理等生產(chǎn)實(shí)踐活動實(shí)施精準(zhǔn)決策的前提。由于完整空間數(shù)據(jù)的測量難以實(shí)現(xiàn)，學(xué)者們將測量數(shù)據(jù)與數(shù)學(xué)理論模型相結(jié)合，提出了多種空間數(shù)據(jù)重構(gòu)方法。

地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(geostatistics)是地學(xué)領(lǐng)域主流的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)方法之一。該方法在二階平穩(wěn)假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用樣本的空間位置信息計算半方差函數(shù)，通過克里格法得到預(yù)測點(diǎn)的無偏估計，能夠有效避免數(shù)據(jù)強(qiáng)行擬合多項(xiàng)式產(chǎn)生的邊緣效應(yīng)[2]。然而，實(shí)際的地學(xué)特性通常不滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，而且半方差函數(shù)模型的選擇和鄰域樣本數(shù)量的定義都具有主觀性。半方差函數(shù)的質(zhì)量受到實(shí)測數(shù)據(jù)量及數(shù)據(jù)采集規(guī)則的影響[3]，有限的樣本數(shù)量會降低半方差函數(shù)中相關(guān)參數(shù)的準(zhǔn)確性，進(jìn)而影響重構(gòu)的精度和有效性[4]。作為表達(dá)空間結(jié)構(gòu)的工具，半方差函數(shù)僅能把握空間上兩點(diǎn)之間的相關(guān)性，而無法表征復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)和幾何形態(tài)的地質(zhì)特征[5]。此外，盡管克里格法提供了方差作為預(yù)測點(diǎn)誤差和不確定性的度量指標(biāo)，但由于它與數(shù)據(jù)值無關(guān)，且與估計誤差的相關(guān)性很差，因此在實(shí)際中難以應(yīng)用[6]。多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(multiple-point simulation)是在地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)上提出的一種隨機(jī)模擬方法，該方法以馬爾科夫隨機(jī)場(Markov random fields)為支撐，使用“訓(xùn)練圖像”代替半方差函數(shù)重構(gòu)空間數(shù)據(jù)，可以看作是地質(zhì)學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)方法?！坝?xùn)練圖像”能夠有效描述多點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)性和相關(guān)性，克服了傳統(tǒng)地統(tǒng)計學(xué)在復(fù)雜結(jié)構(gòu)特征表征方面的不足，但模擬過程中隨機(jī)性強(qiáng)，難以控制其模擬效果[7-8]。

為了克服傳統(tǒng)方法的不足，探索一種對樣本采集要求較低且兼顧數(shù)據(jù)空間相關(guān)性的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)方法成為地學(xué)領(lǐng)域研究的熱門方向之一。壓縮感知(compressive sensing)[9-12]是21世紀(jì)信號處理領(lǐng)域的重大突破，該理論證明：只要信號在原始域或某種變換域中能夠被稀疏表達(dá)，就可以用一個與變換基不相關(guān)的觀測矩陣將變換所得高維信號投影到一個低維空間上，然后通過求解優(yōu)化問題即可從這些少量的投影中以高精度重構(gòu)出原信號[13]。在壓縮感知理論的諸多應(yīng)用中，基于單像素的圖像恢復(fù)為空間數(shù)據(jù)重構(gòu)提供了新思路。

目前，基于壓縮感知的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)方法已經(jīng)被應(yīng)用于流體運(yùn)動模型的靜態(tài)參數(shù)反演和土力學(xué)性質(zhì)重構(gòu)的相關(guān)研究，并取得了一定的研究成果，然而針對污染物濃度、水鹽含量以及養(yǎng)分狀況等土壤特性的相關(guān)研究尚未展開。本文將在簡要介紹壓縮感知數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，闡述該方法在地學(xué)領(lǐng)域的研究進(jìn)展，分析該方法在土壤特性空間數(shù)據(jù)重構(gòu)中的可行性，并提出幾點(diǎn)潛在的研究方向。

1 壓縮感知數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)

1.1 信號采集模型

(1)

1.2 限制條件

1.2.2 信號非相干性 整合式(1)、式(2)，得到下式：

(3)

1.3 信號重構(gòu)

在信號滿足稀疏性和RIP條件的前提下，原本難以解決的欠定方程組求解被轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題[20]，可以將其作為線性規(guī)劃問題使用BP算法、OMP算法[21]等諸多方法求解。

除滿足上述兩個要求外，測量矩陣的維數(shù)需要滿足式(10)[22]：

式中：>0為某個固定常數(shù)。

2 空間數(shù)據(jù)重構(gòu)應(yīng)用及展望

2.1 流體運(yùn)動模型的靜態(tài)參數(shù)反演

反演問題是石油工程、水文地質(zhì)等領(lǐng)域建立地下環(huán)境流體驅(qū)替行為預(yù)測數(shù)學(xué)模型的重要組成部分，主要包含模型參數(shù)反演、初始條件反演、邊界條件反演、源或匯反演及混合反演5類，其中靜態(tài)模型參數(shù)(儲層或含水層水力特性)的反演是主要研究方向[23]。由于未知參數(shù)的數(shù)量遠(yuǎn)大于已知的觀測數(shù)據(jù)，這一反演過程是不適定的(Ill-posedness)，由此導(dǎo)致反演結(jié)果的不穩(wěn)定性和非唯一性[24]。

2.1.1 反演問題的參數(shù)化與正則化 為減輕不適定性的影響，參數(shù)化(parameterization)和正則化(regularization)被引入反演問題。參數(shù)化的目的是減少未知參數(shù)的數(shù)量，主要有空間域參數(shù)化和變換域參數(shù)化兩種形式?？臻g域參數(shù)化以分區(qū)(zonation)為代表，將合并類似區(qū)域并為其賦值作為參數(shù)化手段，具有較大的局限性[25]。變換域參數(shù)化是近年來參數(shù)反演研究的新趨勢之一，其本質(zhì)是數(shù)據(jù)的壓縮。在空間相關(guān)性的前提下，該方法通過特殊的變換函數(shù)將空間域參數(shù)投影至變換域，實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)的降維表達(dá)，從而有效降低反演過程中的不適定性。參數(shù)化變換形式主要有基于協(xié)方差的正交分解以及特殊函數(shù)兩種，前者主要包括截斷奇異值分解(TSVD)、主成分分析(PCA)和Karhunen-Loeve變換(KLT)[26-27]，后者主要包括離散余弦變換(DCT)和離散小波變換(DWT)[28-29]，其中基于特殊函數(shù)的變換更加高效且魯棒性更強(qiáng)。正則化以先驗(yàn)?zāi)Ｐ?、靜態(tài)數(shù)據(jù)或參數(shù)平滑度等要素對不適定問題的解施加限制，從而穩(wěn)定不適定問題的解，并約束解在合理?xiàng)l件下再現(xiàn)觀測數(shù)據(jù)[30]。Tikhonov正則化是反演中常用的方法，通過L2范數(shù)對解施加約束。此外，在壓縮感知理論提出之前，以全變分(total variation)為代表的L1范數(shù)約束主要被應(yīng)用于邊緣檢測問題和分段平滑特性的重建[31]。

2.1.2 基于壓縮感知的反演框架 壓縮感知的出現(xiàn)，為參數(shù)化和正則化的結(jié)合提供了理論基礎(chǔ)。Jafarpour等[32]將基于參數(shù)化和正則化的地質(zhì)參數(shù)反演問題表達(dá)為：

2.1.3 壓縮感知框架下的參數(shù)化方法研究 參數(shù)化方法是壓縮感知框架下的主要研究內(nèi)容之一。在使用參數(shù)化方法進(jìn)行反演時，傳統(tǒng)方法利用先驗(yàn)信息構(gòu)建固定的基向量空間，而壓縮感知框架下的參數(shù)化則是由算法從較大的低頻基向量空間中構(gòu)建出與觀測數(shù)據(jù)相適應(yīng)的動態(tài)子空間。DCT和DWT是壓縮感知框架下兩種主流的參數(shù)化方法，Jafarpour等[33]首先利用DCT驗(yàn)證了壓縮感知框架在動態(tài)數(shù)據(jù)集成反演問題中的可行性，隨后將DWT與融合卡曼濾波(ensemble Kalman filter)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了DWT條件下的反演[29]。Calderón等[34]發(fā)現(xiàn)，DCT比DWT更加符合壓縮感知理論中的RIP條件，從而能夠獲得更優(yōu)的反演結(jié)果。但是，另有研究發(fā)現(xiàn)，基于結(jié)構(gòu)化壓縮感知理論， DWT域參數(shù)的群稀疏結(jié)構(gòu)與標(biāo)準(zhǔn)稀疏正則化相比具有更強(qiáng)的約束性，能夠獲得更加準(zhǔn)確的反演結(jié)果[35-37]。此外，由于不適定反演無法考慮表示復(fù)雜結(jié)構(gòu)的高頻基向量，因此DCT和DWT均存在無法捕捉參數(shù)場復(fù)雜結(jié)構(gòu)的問題。Khaninezhad等[38-39]通過字典學(xué)習(xí)(dictionary learning)構(gòu)造地質(zhì)字典，解決了這一問題；并用實(shí)例展示了基于稀疏字典的參數(shù)正則化方法在儲層性質(zhì)估計方面相比于TSVD參數(shù)化反演的優(yōu)越性[40-41]。

2.1.4 壓縮感知框架下的反演算法研究 在反演算法方面，模型參數(shù)反演算法的研究主要包含：基于壓縮感知本身進(jìn)展的算法研究和與傳統(tǒng)方法結(jié)合的研究。除結(jié)構(gòu)化壓縮感知外，學(xué)者們對加權(quán)壓縮感知[42]、貝葉斯壓縮感知[43-44]等理論在不同參數(shù)反演場景下的適用性展開了研究。加權(quán)壓縮感知的思想在參數(shù)正則化方法提出時就被納入反演過程，而直到最近Calderon等[45]的研究才發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)是對于反演過程中樣本數(shù)量要求的降低。不確定性量化是參數(shù)反演研究的一個新趨勢，通常在貝葉斯壓縮感知框架下對先驗(yàn)信息和觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行概率處理，進(jìn)而獲取反演結(jié)果及其統(tǒng)計分布[46]。Li和Jafarpour[47]通過假設(shè)變換域參數(shù)服從普拉斯分布，通過相關(guān)向量機(jī)(relevance vector machine)算法實(shí)現(xiàn)了壓縮感知框架下的貝葉斯反演及不確定性量化[48]，這種基于稀疏貝葉斯估計的思想促進(jìn)了參數(shù)反演不確定性量化的進(jìn)一步發(fā)展[49]。此外，壓縮感知與傳統(tǒng)反演方法的結(jié)合正在成為一個新的研究熱點(diǎn)，壓縮感知與EnKF的結(jié)合解決了傳統(tǒng)的EnKF框架無法整合參數(shù)空間結(jié)構(gòu)先驗(yàn)信息及無法恢復(fù)地質(zhì)溝道結(jié)構(gòu)的不足[50-51]；地質(zhì)字典與隨機(jī)最大似然法結(jié)合形成了一種計算復(fù)雜度較低且量化不確定性的新方法[52]。

圖1總結(jié)了流體運(yùn)動模型靜態(tài)參數(shù)反演中的壓縮感知反演框架，該框架是傳統(tǒng)參數(shù)化方法與正則化方法的融合，主要包含參數(shù)化方法、反演算法等相互關(guān)聯(lián)的研究內(nèi)容。實(shí)踐表明，該框架能有效提高反演速度和反演精度，其核心思想“稀疏重構(gòu)”也為傳統(tǒng)參數(shù)化和正則化反演方法提供了新的發(fā)展思路。

2.2 土力學(xué)性質(zhì)的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)及模擬

土力學(xué)性質(zhì)的空間分布和變化情況是巖土工程設(shè)計與分析的重要參數(shù)。在工程實(shí)踐中，由于樣本采集的局限性，通常將有限的樣本數(shù)據(jù)與經(jīng)驗(yàn)判斷或統(tǒng)計假設(shè)相結(jié)合，對土力學(xué)性質(zhì)的空間變化情況做出推斷，這使得推斷結(jié)果有著極大的不確定性。

圖1 基于壓縮感知的流體運(yùn)動模型靜態(tài)參數(shù)反演框架

在流體運(yùn)動模型參數(shù)反演的基礎(chǔ)上，壓縮感知作為一種客觀、合理的土力學(xué)性質(zhì)空間數(shù)據(jù)重構(gòu)方法被Wang和 Zhao[53]引入巖土工程領(lǐng)域。盡管該方法在數(shù)據(jù)重構(gòu)的過程中是完全客觀的，但有限樣本自身在統(tǒng)計上的不確定性無法消除，這會進(jìn)一步傳播并影響工程的設(shè)計和分析。因此，擁有不確定性量化能力的貝葉斯壓縮感知在該領(lǐng)域得到了充分的研究。與石油工程、地質(zhì)水文等領(lǐng)域針對參數(shù)化方法、重構(gòu)算法展開的研究不同，壓縮感知巖土工程領(lǐng)域的研究內(nèi)容主要集中于不同維數(shù)的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)和模擬兩個方面。

2.2.1 土力學(xué)性質(zhì)的空間數(shù)據(jù)重構(gòu) 在空間數(shù)據(jù)重構(gòu)方面，土力學(xué)性質(zhì)隨深度的變化(一維空間)是最基本的研究對象，可以將其看作根據(jù)測量分辨率和重構(gòu)深度劃分的一維信號。在DWT和DCT條件下，基于貝葉斯壓縮感知的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)方法能夠在有限數(shù)據(jù)的情況下重構(gòu)出具有原始數(shù)據(jù)變化特征的平滑曲線，并且其重構(gòu)精度高于普通克里格插值得到的數(shù)據(jù)[54-55]。此外，由貝葉斯壓縮感知得到的統(tǒng)計不確定性量化指標(biāo)——標(biāo)準(zhǔn)差，可以作為計算置信區(qū)間的基本參數(shù)，進(jìn)而得到某個置信水平下的取值范圍，為土力學(xué)性質(zhì)的空間變化提供更加客觀估計[56]。在一維空間的基礎(chǔ)上，Zhao等[57-58]提出了基于貝葉斯壓縮感知的二維和三維空間的地理數(shù)據(jù)重構(gòu)方法，并在實(shí)例驗(yàn)證中取得了理想的效果；在高空間分辨率的情況下，地理數(shù)據(jù)表現(xiàn)出很強(qiáng)的空間相關(guān)性，能夠有效保證基于壓縮感知方法在不計算協(xié)方差或選取訓(xùn)練圖像的條件下，較為準(zhǔn)確地重構(gòu)空間數(shù)據(jù)。此外，該方法無需假設(shè)空間數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，從而使基于稀疏數(shù)據(jù)的垂直土壤分區(qū)得以實(shí)現(xiàn)[59]。

2.2.2 土力學(xué)性質(zhì)的空間數(shù)據(jù)模擬 土力學(xué)性質(zhì)的空間數(shù)據(jù)模擬是在隨機(jī)場理論的基礎(chǔ)上展開的，基于壓縮感知的空間數(shù)據(jù)模擬經(jīng)歷了由低維到高維、由簡單到復(fù)雜的研究過程。在局部平均細(xì)分法[60]、協(xié)方差矩陣分解[61]、Karhunen–Loève (KL)展開[62]等諸多類型的隨機(jī)場生成方法中，KL展開能夠與貝葉斯壓縮感知結(jié)合，形成一種更加高效的BCS-KL隨機(jī)場生成方法。對于一維隨機(jī)場，依靠貝葉斯壓縮感知中表示不確定性的協(xié)方差矩陣，該方法可以跳過傳統(tǒng)方法中的參數(shù)輸入，由稀疏測量數(shù)據(jù)直接生成具有空間自相關(guān)性的隨機(jī)場樣本[63]。而又因?yàn)锽CS-KL在生成隨機(jī)場樣本前未對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行去趨勢處理，因此生成樣本可以反映土力學(xué)性質(zhì)真實(shí)的空間變化情況[64]。若使用貝葉斯壓縮感知框架下的多任務(wù)壓縮感知(multitask compressive sensing)替代其一般形式，則可以完成互相關(guān)隨機(jī)場的模擬[65]。

在高維隨機(jī)場的模擬中，基于貝葉斯壓縮感知的“無參數(shù)”模擬方法表現(xiàn)出了更加明顯的優(yōu)越性。由BCS-KL改進(jìn)得到的2D BCS-KL方法說明了這一點(diǎn)：在有限數(shù)據(jù)和空間結(jié)構(gòu)參數(shù)未知的條件下，2D BCS-KL能夠模擬出具有良好空間結(jié)構(gòu)的樣本，無論其原始分布是各向同性還是各向異性，而傳統(tǒng)方法則需要通過大量樣本數(shù)據(jù)取得相應(yīng)的空間結(jié)構(gòu)參數(shù)作為隨機(jī)場的生成參數(shù)[66]。從模擬過程看，BCS-KL是在確定稀疏向量的解的基礎(chǔ)上，根據(jù)解的不確定性進(jìn)行的模擬；而與之相對應(yīng)的則是直接獲得不確定的解，根據(jù)不同的解重構(gòu)出隨機(jī)場樣本，馬爾科夫鏈蒙特卡洛(MCMC)模擬可以實(shí)現(xiàn)這一過程，這種方法在高維非靜態(tài)、非高斯的隨機(jī)場模擬中得到驗(yàn)證[67-68]。

目前，在巖土工程領(lǐng)域中已經(jīng)形成了以貝葉斯壓縮感知框架為核心的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)和模擬的雙重體系(圖2)。基于該框架的重構(gòu)和模擬方法在過程中無需估計相應(yīng)的統(tǒng)計或空間結(jié)構(gòu)參數(shù)，就能夠從有限的空間樣本中重構(gòu)出與實(shí)際數(shù)據(jù)相近的空間結(jié)構(gòu)。并且，這類方法不包含空間數(shù)據(jù)的平穩(wěn)假設(shè)，因此其適用范圍更廣、實(shí)用性更強(qiáng)。

2.3 土壤特性空間數(shù)據(jù)重構(gòu)研究展望

壓縮感知起源于信號處理領(lǐng)域，近年來被引入諸多研究領(lǐng)域，逐漸形成各領(lǐng)域與信號處理領(lǐng)域交叉融合的新趨勢。在地學(xué)領(lǐng)域中，已經(jīng)形成了以壓縮感知為核心的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)及模擬框架。該框架下，流體運(yùn)動模型靜態(tài)參數(shù)反演和土力學(xué)性質(zhì)重構(gòu)、模擬的效率及精度明顯提升，對于稀疏樣本的適應(yīng)性明顯增強(qiáng)。這主要依賴于壓縮感知框架基于變換域的空間結(jié)構(gòu)信息獲取方式：具有空間相關(guān)性的空間域特征參數(shù)被投影至變換域后，其空間結(jié)構(gòu)信息集中于少量變換域參數(shù)，這些參數(shù)信息隱藏于每個空間域樣本中，當(dāng)空間樣本在變換域相互獨(dú)立時，可以通過空間樣本獲取變換域參數(shù)，從而得到空間結(jié)構(gòu)信息。這種方式為稀疏樣本的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)提供了有效保證，與傳統(tǒng)地統(tǒng)計學(xué)基于大量空間樣本的空間域獲取方式有著明顯不同[69]。

圖2 基于壓縮感知的土力學(xué)性質(zhì)空間數(shù)據(jù)重構(gòu)及模擬框架

土壤作為一種地質(zhì)介質(zhì)，其特性不僅包括土力學(xué)參數(shù)，也包括影響土壤治理措施制定和精準(zhǔn)農(nóng)業(yè)決策管理的污染物濃度、水鹽含量以及養(yǎng)分狀況等[70-72]。對于后者，目前常用的地統(tǒng)計學(xué)方法和機(jī)器學(xué)習(xí)方法以一定數(shù)量空間樣本為基礎(chǔ)建立數(shù)學(xué)模型，需要花費(fèi)較高的成本進(jìn)行數(shù)據(jù)采集[73-74]?；趬嚎s感知的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)框架為上述土壤特性的空間數(shù)據(jù)獲取提供了新的思路。以較低的數(shù)據(jù)采集成本獲取相對可靠的土壤特性空間分布數(shù)據(jù)，對土壤修復(fù)、改良及農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等實(shí)踐活動具有重要意義。因此，需要從土壤學(xué)、環(huán)境科學(xué)等角度出發(fā)，對基于壓縮感知的數(shù)據(jù)重構(gòu)框架展開更加深入、全面的研究。結(jié)合該框架在地學(xué)領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀，本文提出以下幾點(diǎn)潛在的研究方向：

1)研究尺度、精度以及樣本數(shù)量之間的關(guān)系。尺度和精度是空間數(shù)據(jù)研究中兩個相互關(guān)聯(lián)的重要因素，在某一尺度下，精度的劃分決定未知參數(shù)的數(shù)量，未知參數(shù)估計的準(zhǔn)確性與樣本數(shù)量密切相關(guān)。若劃分精度過高，則會因變換域參數(shù)數(shù)量的增加而無法完成準(zhǔn)確估計；反之，則會因?yàn)榭臻g域的子空間數(shù)量過少而忽略部分土壤特性的分布特征。因此，針對某一土壤特性，定量研究三者之間的關(guān)系，實(shí)行科學(xué)合理的精度劃分，是土壤特性空間數(shù)據(jù)重構(gòu)的重要基礎(chǔ)。

2)研究構(gòu)建變換域參數(shù)約束的方法。小尺度、高精度是土力學(xué)性質(zhì)研究對象的主要特點(diǎn)，該特點(diǎn)使測量數(shù)據(jù)能夠充分代表某一子空間范圍內(nèi)的土力學(xué)性質(zhì)以及變換域的空間結(jié)構(gòu)信息。因此在重構(gòu)過程中，只需將基向量搜索空間控制在低頻區(qū)域，而無需施加額外約束。而污染物濃度、養(yǎng)分狀況等土壤特性則不同，其研究尺度遠(yuǎn)大于土力學(xué)性質(zhì)的研究尺度。大尺度下樣本點(diǎn)無法充分代表子空間的土壤性質(zhì)，這會削弱土壤特性空間相關(guān)性的表達(dá)，同時降低變換域參數(shù)估計的準(zhǔn)確性。這一問題可以通過施加變換域參數(shù)的約束加以解決[53]。

3)研究基于壓縮感知的混合方法。從現(xiàn)有研究中可以發(fā)現(xiàn)，壓縮感知作為空間數(shù)據(jù)重構(gòu)方法并非完全獨(dú)立。當(dāng)它與多點(diǎn)地統(tǒng)計學(xué)[32]、徑向基函數(shù)[75]等現(xiàn)有方法結(jié)合，能夠發(fā)揮出良好的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)效果；而當(dāng)它與隨機(jī)場理論結(jié)合時，則成為一種靈活、有效的隨機(jī)場生成工具[63]。因此，在進(jìn)行關(guān)于土壤特性的相關(guān)研究時，探索現(xiàn)有插值方法與壓縮感知的結(jié)合形式，或許是提高數(shù)據(jù)重構(gòu)效果的有效手段。

4)關(guān)于壓縮感知本身的研究。變換矩陣與求解算法是壓縮感知理論研究中的兩個主要方面[76]。稀疏字典變換矩陣研究中的一個主要方向，目前基于K-SVD的“地質(zhì)字典”被用于復(fù)雜地下特征的反演。而更加高效的字典生成方法則有待進(jìn)一步探索。在面對復(fù)雜土壤特性分布時，使用更加高效的字典生成方法，構(gòu)造“土壤字典”，對于提高稀疏表達(dá)效率和數(shù)據(jù)重構(gòu)效果具有重要意義。此外，根據(jù)不同的數(shù)據(jù)重構(gòu)目標(biāo)，從不斷優(yōu)化的重構(gòu)算法中篩選出適用的算法，也是一個值得探索的方向。

3 結(jié)語

基于壓縮感知的空間數(shù)據(jù)重構(gòu)方法充分利用了地學(xué)特征的空間相關(guān)性，具有弱化樣本采集規(guī)則以及控制結(jié)果隨機(jī)性的雙重優(yōu)點(diǎn)，在流體運(yùn)動模型的靜態(tài)參數(shù)反演和土力學(xué)性質(zhì)重構(gòu)中得到了有效驗(yàn)證。對于不同的土壤特性，探索壓縮感知在空間數(shù)據(jù)重構(gòu)中的適用性，形成完整的理論體系，可以提高土壤修復(fù)、改良及農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等實(shí)踐活動的數(shù)據(jù)采集效率，降低數(shù)據(jù)采集成本，為措施制定和相關(guān)決策提供堅(jiān)實(shí)可靠的數(shù)據(jù)支撐。

[1] 譚麗麗, 潘英華, 谷曉巖, 等. 土壤理化性質(zhì)空間變異性研究進(jìn)展[J]. 魯東大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2016, 32(4): 372–378.

[2] 張仁鐸. 空間變異理論及應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2005.

[3] 李亮亮, 依艷麗, 凌國鑫, 等. 地統(tǒng)計學(xué)在土壤空間變異研究中的應(yīng)用[J]. 土壤通報, 2005, 36(2): 265–268.

[4] Emmanuel G, Deutsch C V. Teacher’s aide variogram interpretation and modeling[J]. Mathematical Geology, 2001, 33(4): 507–534.

[5] 王海洋. 基于多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)的貝葉斯疊前反演方法研究[D]. 北京: 中國石油大學(xué)(北京), 2018.

[6] Jin L. A review of spatial interpolation methods for environmental scientists[J]. Record Geoscience Australia, 2008.

[7] Malone B P, Jha S K, Minasny B, et al. Comparing regression-based digital soil mapping and multiple-point geostatistics for the spatial extrapolation of soil data[J]. Geoderma, 2016, 262: 243–253.

[8] 高世臣, 田苗, 孫振, 等. 利用馬爾科夫鏈模型對多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計建模影響因素分析及優(yōu)化[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識, 2016, 46(1): 202–211.

[9] Donoho D L. Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4): 1289–1306.

[10] Candes E J, Romberg J, Tao T. Robust uncertainty principles: Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(2): 489–509.

[11] Candès E J, Romberg J K, Tao T. Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 2006, 59(8): 1207–1223.

[12] Donoho D L. High-dimensional centrally symmetric polytopes with neighborliness proportional to dimension[J]. Discrete & Computational Geometry, 2006, 35(4): 617–652.

[13] Rani M, Dhok S B, Deshmukh R B. A systematic review of compressive sensing: Concepts, implementations and applications[J]. IEEE Access, 2018, 6: 4875–4894.

[14] Baraniuk R. A lecture on compressive sensing[J]. Signal Processing, 2007, 24(4): 1–9.

[15] Candes E J, Wakin M B. An introduction to compressive sampling[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2008, 25(2): 21–30.

[16] Baraniuk R, Davenport M, DeVore R, et al. A simple proof of the restricted isometry property for random matrices[J]. Constructive Approximation, 2008, 28(3): 253–263.

[17] 石光明, 劉丹華, 高大化, 等. 壓縮感知理論及其研究進(jìn)展[J]. 電子學(xué)報, 2009, 37(5): 1070–1081.

[18] Candes E J, Tao T. Near-optimal signal recovery from random projections: Universal encoding strategies? [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(12): 5406–5425.

[19] Chen S S, Donoho D L, Saunders M A. Atomic decomposition by basis pursuit[J]. SIAM Review, 2001, 43(1): 129–159.

[20] 焦李成, 楊淑媛, 劉芳, 等. 壓縮感知回顧與展望[J]. 電子學(xué)報, 2011, 39(7): 1651–1662.

[21] Pati Y C, Rezaiifar R, Krishnaprasad P S. Orthogonal matching pursuit: Recursive function approximation with applications to wavelet decomposition[C]//Proceedings of 27th Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. November 1-3, 1993, Pacific Grove, CA, USA. IEEE, 1993: 40–44.

[22] Candès E, Romberg J. Sparsity and incoherence in compressive sampling[J]. Inverse Problems, 2007, 23(3): 969–985.

[23] Zhou H Y, Gómez-Hernández J J, Li L P. Inverse methods in hydrogeology: Evolution and recent trends[J]. Advances in Water Resources, 2014, 63: 22–37.

[24] Mishra P K, Kuhlman K L. Advances in Hydrogeology[M]. New York, NY: Springer New York, 2013.

[25] Jacquard P. Permeability distribution from field pressure data[J]. Society of Petroleum Engineers Journal, 1965, 5(4): 281–294.

[26] Gavalas G R, Shah P C, Seinfeld J H. Reservoir history matching by Bayesian estimation[J]. Society of Petroleum Engineers Journal, 1976, 16(6): 337–350.

[27] Reynolds A C, He N Q, Chu L F, et al. Reparameterization techniques for generating reservoir descriptions conditioned to variograms and well-test pressure data[J]. SPE Journal, 1996, 1(4): 413–426.

[28] Lu P B, Horne R N. A multiresolution approach to reservoir parameter estimation using wavelet analysis[C]//All Days. October 1-4, 2000. Dallas, Texas. SPE, 2000.

[29] Jafarpour B. Wavelet reconstruction of geologic facies from nonlinear dynamic flow measurements[J]. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 2011, 49(5): 1520–1535.

[30] Constable S C, Parker R L, Constable C G. Occam’s inversion: A practical algorithm for generating smooth models from electromagnetic sounding data[J]. GEOPHYSICS, 1987, 52(3): 289–300.

[31] Yu M C, Dougherty D E. Modified total variation methods for three-dimensional electrical resistance tomography inverse problems[J]. Water Resources Research, 2000, 36(7): 1653–1664.

[32] Jafarpour B, Goyal V K, McLaughlin D B, et al. Transform-domain sparsity regularization for inverse problems in geosciences[J]. GEOPHYSICS, 2009, 74(5): R69–R83.

[33] Jafarpour B, Goyal V K, McLaughlin D B, et al. Compressed history matching: Exploiting transform-domain sparsity for regularization of nonlinear dynamic data integration problems[J]. Mathematical Geosciences, 2010, 42(1): 1–27.

[34] Calderón H, Silva J F, Ortiz J M, et al. Reconstruction of channelized geological facies based on RIPless compressed sensing[J]. Computers & Geosciences, 2015, 77: 54–65.

[35] Duarte M F, Eldar Y C. Structured compressed sensing: From theory to applications[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(9): 4053–4085.

[36] Bach F, Jenatton R, Mairal J, et al. Structured sparsity through convex optimization[J]. Statistical Science, 2012, 27(4): 450–468.

[37] Golmohammadi A, Khaninezhad M R M, Jafarpour B. Group-sparsity regularization for ill-posed subsurface flow inverse problems[J]. Water Resources Research, 2015, 51(10): 8607–8626.

[38] Khaninezhad M M, Jafarpour B, Li L L. Sparse geologic dictionaries for subsurface flow model calibration: Part I. Inversion formulation[J]. Advances in Water Resources, 2012, 39: 106–121.

[39] Khaninezhad M M, Jafarpour B, Li L L. Sparse geologic dictionaries for subsurface flow model calibration: Part II. Robustness to uncertainty[J]. Advances in Water Resources, 2012, 39: 122–136.

[40] Khaninezhad M R, Jafarpour B. Sparse geologic dictionaries for field-scale history matching application[C]//SPE Reservoir Simulation Symposium. Houston, Texas, USA. Society of Petroleum Engineers, 2015.

[41] Khaninezhad M R M, Jafarpour B. Field-scale history matching with sparse geologic dictionaries[J]. Journal of Petroleum Science and Engineering, 2018, 170: 967–991.

[42] Candès E J, Wakin M B, Boyd S P. Enhancing sparsity by reweighted ? _1 minimization[J]. Journal of Fourier Analysis and Applications, 2008, 14(5/6): 877–905.

[43] He L H, Carin L. Exploiting structure in wavelet-based Bayesian compressive sensing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(9): 3488–3497.

[44] Ji S H, Dunson D, Carin L. Multitask compressive sensing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(1): 92–106.

[45] Calderon H, Santiba?ez F, Silva J F, et al. Geological facies recovery based on weighted L1-regularization[J]. Mathematical Geosciences, 2020, 52(5): 593–617.

[46] Ulrych T J, Sacchi M D, Woodbury A. A Bayes tour of inversion: A tutorial[J]. GEOPHYSICS, 2001, 66(1): 55–69.

[47] Li L L, Jafarpour B. A sparse Bayesian framework for conditioning uncertain geologic models to nonlinear flow measurements[J]. Advances in Water Resources, 2010, 33(9): 1024–1042.

[48] Tipping M. Sparse Bayesian learning and the relevance vector machine[J]. Journal of Machine Learning Research, 2001, 1: 211–244.

[49] Lee J, Kitanidis P K. Bayesian inversion with total variation prior for discrete geologic structure identification[J]. Water Resources Research, 2013, 49(11): 7658–7669.

[50] Sana F, Katterbauer K, Al-Naffouri T Y, et al. Orthogonal matching pursuit for enhanced recovery of sparse geological structures with the ensemble Kalman filter[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Applied Earth Observations and Remote Sensing, 2016, 9(4): 1710–1724.

[51] Sana F, Katterbauer K, Al-Naffouri T, et al. Enhanced recovery of subsurface geological structures using compressed sensing and the Ensemble Kalman filter[C]//2015 IEEE International Geoscience and Remote Sensing Symposium. July 26-31, 2015, Milan, Italy. IEEE, 2015: 3107–3110.

[52] Khaninezhad M M, Jafarpour B. Sparse Randomized Maximum Likelihood (SpRML) for subsurface flow model calibration and uncertainty quantification[J]. Advances in Water Resources, 2014, 69: 23–37.

[53] Wang Y, Zhao T Y. Interpretation of soil property profile from limited measurement data: A compressive sampling perspective[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2016, 53(9): 1547–1559.

[54] Wang Y, Zhao T. Statistical interpretation of soil property profiles from sparse data using Bayesian compressive sampling[J]. Géotechnique, 2017, 67(6): 523–536.

[55] Wang Y, Akeju O V, Zhao T Y. Interpolation of spatially varying but sparsely measured geo-data: A comparative study[J]. Engineering Geology, 2017, 231: 200–217.

[56] Zhao T Y, Montoya-Noguera S, Phoon K K, et al. Interpolating spatially varying soil property values from sparse data for facilitating characteristic value selection[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2018, 55(2): 171–181.

[57] Zhao T Y, Hu Y, Wang Y. Statistical interpretation of spatially varying 2D geo-data from sparse measurements using Bayesian compressive sampling[J]. Engineering Geology, 2018, 246: 162–175.

[58] Zhao T Y, Wang Y. Statistical interpolation of spatially varying but sparsely measured 3D geo-data using compressive sensing and variational Bayesian inference[J]. Mathematical Geosciences, 2021, 53(6): 1171–1199.

[59] Wang Y, Hu Y, Zhao T Y. Cone penetration test (CPT)-based subsurface soil classification and zonation in two-dimensional vertical cross section using Bayesian compressive sampling[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2020, 57(7): 947–958.

[60] Fenton G A, Vanmarcke E H. Simulation of random fields via local average subdivision[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1990, 116(8): 1733–1749.

[61] Zhu H, Zhang L M, Xiao T, et al. Generation of multivariate cross-correlated geotechnical random fields[J]. Computers and Geotechnics, 2017, 86: 95–107.

[62] Huang S P, Quek S T, Phoon K K. Convergence study of the truncated Karhunen–Loeve expansion for simulation of stochastic processes[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2001, 52(9): 1029–1043.

[63] Wang Y, Zhao T Y, Phoon K K. Direct simulation of random field samples from sparsely measured geotechnical data with consideration of uncertainty in interpretation[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2018, 55(6): 862–880.

[64] Wang Y, Zhao T Y, Hu Y, et al. Simulation of random fields with trend from sparse measurements without detrending[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2019, 145(2): 04018130.

[65] Zhao T Y, Wang Y. Simulation of cross-correlated random field samples from sparse measurements using Bayesian compressive sensing[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2018, 112: 384–400.

[66] Hu Y, Zhao T Y, Wang Y, et al. Direct simulation of two-dimensional isotropic or anisotropic random field from sparse measurement using Bayesian compressive sampling[J]. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, 2019, 33(8/9): 1477–1496.

[67] Zhao T Y, Wang Y. Non-parametric simulation of non-stationary non-Gaussian 3D random field samples directly from sparse measurements using signal decomposition and Markov Chain Monte Carlo (MCMC) simulation[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2020, 203: 107087.

[68] Zhao T Y, Xu L, Wang Y. Fast non-parametric simulation of 2D multi-layer cone penetration test (CPT) data without pre-stratification using Markov Chain Monte Carlo simulation[J]. Engineering Geology, 2020, 273: 105670.

[69] Heuvelink G B M, Webster R. Modelling soil variation: Past, present, and future[J]. Geoderma, 2001, 100(3/4): 269–301.

[70] 李毅, 門旗, 羅英. 土壤水分空間變異性對灌溉決策的影響研究[J]. 干旱地區(qū)農(nóng)業(yè)研究, 2000, 18(2): 80–85, 90.

[71] 姜麗娜, 符建榮, 范浩定. 水網(wǎng)平原稻田土壤養(yǎng)分空間變異特性研究[J]. 中國水稻科學(xué), 2005, 19(2): 153–159.

[72] Camilli A, Cugnasca C E, Saraiva A M, et al. From wireless sensors to field mapping: Anatomy of an application for precision agriculture[J]. Computers and Electronics in Agriculture, 2007, 58(1): 25–36.

[73] Heung B, Ho H C, Zhang J, et al. An overview and comparison of machine-learning techniques for classification purposes in digital soil mapping[J]. Geoderma, 2016, 265: 62–77.

[74] Morellos A, Pantazi X E, Moshou D, et al. Machine learning based prediction of soil total nitrogen, organic carbon and moisture content by using VIS-NIR spectroscopy[J]. Biosystems Engineering, 2016, 152: 104–116.

[75] Ryu, S. et al. Spatial Interpolation of Gauge Measured Rainfall Using Compressed Sensing. Asia-Pacific J. Atmos. Sci. 57, 331–345 (2021).

[76] Shi G M, Liu D H, Gao D H, et al. Advances in theory and application of compressed sensing[J]. Acta Electronica Sinica, 2009, 37(5): 1070–1081.

Progression of Compressive Sensing Applied in Geoscience Spatial Data Reconstruction

WANG Can1,2, LI Xiaopeng1, XUAN Kefan1,2, JIANG Yifei1,2, JI Jingchun1,2, JIA Renhao1,2, LIU Jianli1 *

(1 Institute of Soil Science, Chinese Academy of Sciences, Nanjing 210008, China; 2 University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Spatial data reconstruction is a process of constructing complete spatial distribution of media attributes based on discrete and sparse point data. Methods based on geostatistics are commonly used in the field of Geosciences. Compressive sensing is a major theoretical breakthrough in the field of signal processing in the 21st century, and has been regarded as a new method of spatial data reconstruction by scholars in the field of Geosciences. This method has achieved good results in static parameter inversion of flow models and the reconstruction of soil mechanical properties. This paper briefly describes mathematical theory of compressive sensing, expounds the research progress of spatial data reconstruction method based on this theory in Geoscience, analyzes the feasibility of this method in spatial data reconstruction of soil characteristics, and puts forward some potential research directions.

Compressive sensing; Spatial data; Soil properties

S11+1

A

10.13758/j.cnki.tr.2022.02.003

王燦, 李曉鵬, 宣可凡, 等. 壓縮感知理論在地學(xué)空間數(shù)據(jù)重構(gòu)中的應(yīng)用進(jìn)展. 土壤, 2022, 54(2): 232–239.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(42177302、41771265、41877021)資助。

(jlliu@issas.ac.cn)

王燦(1994—)，男，江蘇鎮(zhèn)江人，博士研究生，研究方向?yàn)檗r(nóng)田信息獲取與監(jiān)測技術(shù)。E-mail：wangcan@issas.ac.cn