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        基于GeoGeb ra軟件圓柱形螺旋線的可視化

        2022-05-07 10:35:14胡桐慶謝恩東
        物理通報(bào) 2022年4期
        關(guān)鍵詞:等距螺旋線圓筒

        胡桐慶 劉 丹 謝恩東

        (安慶市第一中學(xué) 安徽 安慶 246003)

        數(shù)學(xué)中螺旋線的種類較多,在物理學(xué)中出現(xiàn)較多的是圓柱形螺旋線,物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)與沿軸線勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)軌跡就是等距螺旋線,生活中彈簧是較常見的等距螺旋線,利用GeoGeb ra軟件可以很好地演示圓柱形等距螺旋線[1].

        1 等距螺旋線的得到

        由于等距螺旋線是三維曲線,可在GeoGeb ra的3D視圖中完成,等距螺旋線很難用單一的方程來表示,但可以結(jié)合其參數(shù)方程和“曲線”指令來繪制.在指令欄輸入:曲線(2t,3cos(2πt),3sin(2πt),t,0,6),得到曲線a就是等距螺旋線,如圖1所示,從指令中不難發(fā)現(xiàn)曲線a是以速度2 m·s-1沿x軸勻速運(yùn)動(dòng)與垂直x軸半徑為3 m、周期為1 s的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)在時(shí)間0~6 s內(nèi)的軌跡.

        圖1 等距螺旋線

        2 彈簧類問題

        彈簧的形狀就是等距螺旋線,彈簧在物理學(xué)中很常見.

        (1)彈簧振子

        彈簧振子的運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),彈簧振子構(gòu)造也很簡(jiǎn)單,由輕彈簧和小球組成.

        ①描點(diǎn)A,其位置設(shè)置為:(5+2sin(t),0,0),其中t為時(shí)間,用滑動(dòng)條表示,A的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),以A為球心繪出小球表示振子.

        ②指令欄輸入:曲線(x(A)/20k,0.1cos(2πk),0.1sin(2πk),k,0,20),得到的彈簧一端隨A點(diǎn)位置變化而變化.

        ③指令欄輸入:向量((5,0,0.3),(x(A),0,0.3)),得到向量u可表示位移x的動(dòng)態(tài)變化,指令欄輸入:向量((x(A),0,0.5),(x(A),0,0.5)-0.6u),得到向量v可表示加速度a的動(dòng)態(tài)變化,效果如圖2所示,啟動(dòng)滑動(dòng)條t的動(dòng)畫功能就可看到彈簧振子振動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程.

        圖2 彈簧振子

        (2)物體沿光滑彈簧下滑

        【例1】如圖3所示,一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)的光滑鋼絲繞成一高度為H的彈簧(不計(jì)形變),此彈簧豎直放置.有一中間有孔的小球由構(gòu)成彈簧的鋼絲穿過并從彈簧的最高點(diǎn)A釋放,小球沿彈簧下滑,求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間小球到達(dá)彈簧的最低點(diǎn)B.

        圖3 例1題圖

        解析:彈簧可以認(rèn)為分布在圓柱面上,小球沿光滑彈簧下滑時(shí)機(jī)械能守恒,可以假想在不改變彈簧上各處傾角的條件下將彈簧拉直成一條直線,小球沿此直線下滑的時(shí)間與題中要求的時(shí)間相等.

        小球沿直線下滑的加速度

        由幾何知識(shí)可得

        由位移公式可知

        解得

        制作方法如下.

        (1)指令欄輸入:曲線(2cos(0.5k︿2),2sin(0.5k︿2),8-0.125k︿2,k,0,8),得到曲線表示題中光滑彈簧.

        (2)指令欄輸入:(2cos(0.5t︿2),2sin(0.5t︿2),8-0.125t︿2),得到點(diǎn)C可以表示物體位置,如圖4所示,啟動(dòng)滑動(dòng)條t的動(dòng)畫功能就可看到物體的下滑過程,顯示C點(diǎn)軌跡還能得到運(yùn)動(dòng)的頻閃圖,如圖5所示,物體的位置能反映物體的加速過程.

        圖4 物體沿光滑彈簧下滑

        圖5 物體下滑頻閃圖

        3 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

        當(dāng)帶電粒子的速度方向與磁感線成一定夾角時(shí),可將粒子速度沿磁場(chǎng)方向和垂直磁場(chǎng)方向正交分解,粒子的運(yùn)動(dòng)可分解為沿磁場(chǎng)方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直磁場(chǎng)平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng),其軌跡是一條等距螺旋線.

        【例2】從電子槍打出的電子流并不完全沿直線運(yùn)動(dòng),而是有微小角度的散射,為了使顯示器圖像清晰,需要通過電子透鏡對(duì)電子流進(jìn)行聚焦處理,正好在屏幕上匯聚形成一個(gè)亮點(diǎn).如圖6(a)所示,密繞線圈的玻璃管是一種利用磁場(chǎng)進(jìn)行匯聚的電子透鏡,又稱為磁場(chǎng)透鏡.如圖6(b)所示為其內(nèi)部原理圖,玻璃管的管長(zhǎng)為L(zhǎng),管內(nèi)直徑為D,管內(nèi)存在沿軸線方向向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng).電子流中的電子在與軸線成微小角度θ的頂角范圍內(nèi)從軸線左端的O點(diǎn)射入磁場(chǎng),電子速率均為v0,調(diào)節(jié)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小,可以使電子重新匯聚到軸線右端與熒光屏的交點(diǎn)P.已知電子的電荷量為e,質(zhì)量為m,當(dāng)角度θ非常小時(shí)滿足cosθ=1,sinθ=θ,若要使電子流中的電子均能匯聚到P點(diǎn),下列說法正確的是( )

        圖6 例2題圖

        A.磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足B=(n為合適的整數(shù))

        B.磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足B=(n為合適的整數(shù))

        答案:A,C.

        解析:電子的軌跡為螺旋線,沿磁場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),垂直磁場(chǎng)方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng),周期為,兩分運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等即

        其中n為環(huán)繞周數(shù),如圖7~9所示,又題中

        圖7 粒子軌跡(n=1)

        圖8 粒子軌跡(n=2)

        圖9 粒子軌跡(n=5)

        結(jié)合式(1)、(2)可得

        勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑

        由圖10可知

        圖10 半徑大小關(guān)系

        又題中

        由式(3)~(5)可得

        制作方法:

        (1)密繞線圈也是等距螺旋線,其指令為:曲線(k,1.5sin(20πk),1.5cos(20πk),k,0,10).

        (2)得到粒子軌跡的指令為:曲線(t,0.5sin(0.2nπt),0.5-0.5cos(0.2nπt),t,0,10),其中n為滑動(dòng)條,表示題中環(huán)繞周數(shù),以上指令只能得到一條軌跡a,要獲得多條軌跡可用“序列”和“旋轉(zhuǎn)”兩指令,其表達(dá)式為:序列(旋轉(zhuǎn)(a,-k*45°,x軸),k,1,7,1).

        4 等距螺旋面

        在Geo Geb ra軟件中可以通過旋轉(zhuǎn)曲面的方法將等距螺旋線旋轉(zhuǎn)成等距螺旋面.

        【例3】在街頭的理發(fā)店門口,常可以看到這樣一個(gè)標(biāo)志:一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒,外表有紅藍(lán)相間螺旋斜條紋,我們感覺條紋在沿豎直方向運(yùn)動(dòng),但條紋實(shí)際在豎直方向并沒有升降,這是由圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)而使我們的眼睛產(chǎn)生的錯(cuò)覺.如圖11所示,假設(shè)圓筒上的條紋是圍繞著圓筒、連續(xù)的一條寬帶,同種顏色相鄰兩條紋在沿圓筒軸線方向的距離(即螺距)為L(zhǎng)=10 cm,圓筒沿逆時(shí)針方向(從俯視方向看),以2 r/s的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動(dòng),我們感覺到升降方向和速度大小分別為( )

        A.向上 10 cm/s

        B.向上 20 cm/s

        C.向下 10 cm/s

        D.向下 20 cm/s

        答案:B.

        解析:由圓筒沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)知我們感覺到條紋在沿豎直方向向上運(yùn)動(dòng),圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈,用時(shí)0.5 s,感覺到條紋沿豎直方向向上運(yùn)動(dòng)L,因此向上運(yùn)動(dòng)的速度為20 cm/s.

        制作方法如下.

        (1)指令欄輸入:曲線(cos(πk+α),sin(πk+α),8-2k,k,0,4),得到曲線a,表達(dá)式中α為表示角度的滑動(dòng)條,啟動(dòng)α的動(dòng)畫功能可看到曲線a的旋轉(zhuǎn).

        (2)指令欄輸入:曲面(a,90°,z軸),得到曲面b為等距螺旋面,曲面b可隨曲線a旋轉(zhuǎn).

        (3)指令欄輸入:旋轉(zhuǎn)(b,π,z軸),得到同樣可隨曲線a旋轉(zhuǎn)的曲面b′表示另一寬條紋.

        (4)利用圓柱體工具按以上尺寸畫圓柱體(半徑取0.99)以表示圓筒,如圖12所示.

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