胡桐慶 劉 丹 謝恩東

（安慶市第一中學(xué) 安徽 安慶 246003）

數(shù)學(xué)中螺旋線的種類較多，在物理學(xué)中出現(xiàn)較多的是圓柱形螺旋線，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)與沿軸線勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)軌跡就是等距螺旋線，生活中彈簧是較常見(jiàn)的等距螺旋線，利用GeoGeb ra軟件可以很好地演示圓柱形等距螺旋線［1］.

1 等距螺旋線的得到

由于等距螺旋線是三維曲線，可在GeoGeb ra的3D視圖中完成，等距螺旋線很難用單一的方程來(lái)表示，但可以結(jié)合其參數(shù)方程和“曲線”指令來(lái)繪制.在指令欄輸入：曲線（2t，3cos（2πt），3sin（2πt），t，0，6），得到曲線a就是等距螺旋線，如圖1所示，從指令中不難發(fā)現(xiàn)曲線a是以速度2 m·s-1沿x軸勻速運(yùn)動(dòng)與垂直x軸半徑為3 m、周期為1 s的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)在時(shí)間0～6 s內(nèi)的軌跡.

圖1 等距螺旋線

2 彈簧類問(wèn)題

彈簧的形狀就是等距螺旋線，彈簧在物理學(xué)中很常見(jiàn).

（1）彈簧振子

彈簧振子的運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，彈簧振子構(gòu)造也很簡(jiǎn)單，由輕彈簧和小球組成.

①描點(diǎn)A，其位置設(shè)置為：（5+2sin（t），0，0），其中t為時(shí)間，用滑動(dòng)條表示，A的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，以A為球心繪出小球表示振子.

②指令欄輸入：曲線（x（A）／20k，0.1cos（2πk），0.1sin（2πk），k，0，20），得到的彈簧一端隨A點(diǎn)位置變化而變化.

③指令欄輸入：向量（（5，0，0.3），（x（A），0，0.3）），得到向量u可表示位移x的動(dòng)態(tài)變化，指令欄輸入：向量（（x（A），0，0.5），（x（A），0，0.5）-0.6u），得到向量v可表示加速度a的動(dòng)態(tài)變化，效果如圖2所示，啟動(dòng)滑動(dòng)條t的動(dòng)畫功能就可看到彈簧振子振動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程.

圖2 彈簧振子

（2）物體沿光滑彈簧下滑

【例1】如圖3所示，一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)的光滑鋼絲繞成一高度為H的彈簧（不計(jì)形變），此彈簧豎直放置.有一中間有孔的小球由構(gòu)成彈簧的鋼絲穿過(guò)并從彈簧的最高點(diǎn)A釋放，小球沿彈簧下滑，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球到達(dá)彈簧的最低點(diǎn)B.

圖3 例1題圖

解析：彈簧可以認(rèn)為分布在圓柱面上，小球沿光滑彈簧下滑時(shí)機(jī)械能守恒，可以假想在不改變彈簧上各處傾角的條件下將彈簧拉直成一條直線，小球沿此直線下滑的時(shí)間與題中要求的時(shí)間相等.

小球沿直線下滑的加速度

由幾何知識(shí)可得

由位移公式可知

解得

制作方法如下.

（1）指令欄輸入：曲線（2cos（0.5k︿2），2sin（0.5k︿2），8-0.125k︿2，k，0，8），得到曲線表示題中光滑彈簧.

（2）指令欄輸入：（2cos（0.5t︿2），2sin（0.5t︿2），8-0.125t︿2），得到點(diǎn)C可以表示物體位置，如圖4所示，啟動(dòng)滑動(dòng)條t的動(dòng)畫功能就可看到物體的下滑過(guò)程，顯示C點(diǎn)軌跡還能得到運(yùn)動(dòng)的頻閃圖，如圖5所示，物體的位置能反映物體的加速過(guò)程.

圖4 物體沿光滑彈簧下滑

圖5 物體下滑頻閃圖

3 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

當(dāng)帶電粒子的速度方向與磁感線成一定夾角時(shí)，可將粒子速度沿磁場(chǎng)方向和垂直磁場(chǎng)方向正交分解，粒子的運(yùn)動(dòng)可分解為沿磁場(chǎng)方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直磁場(chǎng)平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡是一條等距螺旋線.

【例2】從電子槍打出的電子流并不完全沿直線運(yùn)動(dòng)，而是有微小角度的散射，為了使顯示器圖像清晰，需要通過(guò)電子透鏡對(duì)電子流進(jìn)行聚焦處理，正好在屏幕上匯聚形成一個(gè)亮點(diǎn).如圖6（a）所示，密繞線圈的玻璃管是一種利用磁場(chǎng)進(jìn)行匯聚的電子透鏡，又稱為磁場(chǎng)透鏡.如圖6（b）所示為其內(nèi)部原理圖，玻璃管的管長(zhǎng)為L(zhǎng)，管內(nèi)直徑為D，管內(nèi)存在沿軸線方向向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng).電子流中的電子在與軸線成微小角度θ的頂角范圍內(nèi)從軸線左端的O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，電子速率均為v0，調(diào)節(jié)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小，可以使電子重新匯聚到軸線右端與熒光屏的交點(diǎn)P.已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，當(dāng)角度θ非常小時(shí)滿足cosθ=1，sinθ=θ，若要使電子流中的電子均能匯聚到P點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）

圖6 例2題圖

A.磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足B=（n為合適的整數(shù)）

B.磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足B=（n為合適的整數(shù)）

答案：A，C.

解析：電子的軌跡為螺旋線，沿磁場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直磁場(chǎng)方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為，兩分運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等即

其中n為環(huán)繞周數(shù)，如圖7～9所示，又題中

圖7 粒子軌跡（n=1）

圖8 粒子軌跡（n=2）

圖9 粒子軌跡（n=5）

結(jié)合式（1）、（2）可得

勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑

由圖10可知

圖10 半徑大小關(guān)系

又題中

由式（3）～（5）可得

制作方法：

（1）密繞線圈也是等距螺旋線，其指令為：曲線（k，1.5sin（20πk），1.5cos（20πk），k，0，10）.

（2）得到粒子軌跡的指令為：曲線（t，0.5sin（0.2nπt），0.5-0.5cos（0.2nπt），t，0，10），其中n為滑動(dòng)條，表示題中環(huán)繞周數(shù)，以上指令只能得到一條軌跡a，要獲得多條軌跡可用“序列”和“旋轉(zhuǎn)”兩指令，其表達(dá)式為：序列（旋轉(zhuǎn)（a，-k*45°，x軸），k，1，7，1）.

4 等距螺旋面

在Geo Geb ra軟件中可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)曲面的方法將等距螺旋線旋轉(zhuǎn)成等距螺旋面.

【例3】在街頭的理發(fā)店門口，?？梢钥吹竭@樣一個(gè)標(biāo)志：一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒，外表有紅藍(lán)相間螺旋斜條紋，我們感覺(jué)條紋在沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，但條紋實(shí)際在豎直方向并沒(méi)有升降，這是由圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)而使我們的眼睛產(chǎn)生的錯(cuò)覺(jué).如圖11所示，假設(shè)圓筒上的條紋是圍繞著圓筒、連續(xù)的一條寬帶，同種顏色相鄰兩條紋在沿圓筒軸線方向的距離（即螺距）為L(zhǎng)=10 cm，圓筒沿逆時(shí)針?lè)较颍◤母┮暦较蚩矗?，? r／s的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，我們感覺(jué)到升降方向和速度大小分別為（ ）

A.向上 10 cm／s

B.向上 20 cm／s

C.向下 10 cm／s

D.向下 20 cm／s

答案：B.

解析：由圓筒沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)知我們感覺(jué)到條紋在沿豎直方向向上運(yùn)動(dòng)，圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，用時(shí)0.5 s，感覺(jué)到條紋沿豎直方向向上運(yùn)動(dòng)L，因此向上運(yùn)動(dòng)的速度為20 cm／s.

制作方法如下.

（1）指令欄輸入：曲線（cos（πk+α），sin（πk+α），8-2k，k，0，4），得到曲線a，表達(dá)式中α為表示角度的滑動(dòng)條，啟動(dòng)α的動(dòng)畫功能可看到曲線a的旋轉(zhuǎn).

（2）指令欄輸入：曲面（a，90°，z軸），得到曲面b為等距螺旋面，曲面b可隨曲線a旋轉(zhuǎn).

（3）指令欄輸入：旋轉(zhuǎn)（b，π，z軸），得到同樣可隨曲線a旋轉(zhuǎn)的曲面b′表示另一寬條紋.

（4）利用圓柱體工具按以上尺寸畫圓柱體（半徑取0.99）以表示圓筒，如圖12所示.