李開瑋 李振華 劉順彭
(廣東理工學(xué)院智能制造學(xué)院 廣東 肇慶 526100)
獵犬追狐貍是一個十分有趣的問題,深入研究可以延伸到如何攔截來襲導(dǎo)彈的問題,具有一定的啟發(fā)意義.獵犬的初始加速度可以通過觀察獵犬經(jīng)過極短時間后,對速度求導(dǎo)得到[1].更感興趣的應(yīng)該是獵犬追上狐貍需要的時間,以及軌跡問題.文獻(xiàn)[2]通過構(gòu)造矢量的乘積并求導(dǎo),使時間微分前面的系數(shù)為常數(shù),再求積分的方法巧妙地求出了追上所需的時間;而文獻(xiàn)[3]另辟蹊徑通過構(gòu)造虛力作功的方法,使虛力的功率恒定,虛力的功又能簡潔地求出來,這樣來得到追擊的時間.各有千秋.本文從大學(xué)物理的角度,利用運(yùn)動分解結(jié)合定積分的知識探討獵犬追擊時間和軌跡.
如圖1所示,一只狐貍以不變速度u沿直線AB逃跑,一只獵犬以不變速率v追擊狐貍,運(yùn)動方向始終對準(zhǔn)狐貍,某時刻狐貍在F點(diǎn),獵犬在D點(diǎn),相距L,且FD⊥AB,問獵犬追上狐貍需要多長時間?
圖1 獵犬追狐貍示意圖
如圖2所示,為獵犬運(yùn)動的大致軌跡圖,運(yùn)動中某時刻,獵犬運(yùn)動方向與AB夾角為θ,根據(jù)圖像可知,獵犬與狐貍靠近的速度為v-ucosθ,初始時獵犬與狐貍相距L,當(dāng)獵犬追上狐貍時,距離為零,設(shè)獵犬用時T,因此
圖2 獵犬運(yùn)動軌跡
初始時獵犬與狐貍水平方向距離為零,獵犬追上狐貍時水平方向距離仍為零,獵犬水平方向分速度為vcosθ,因此可得
將式(1)兩邊乘以v,式(2)兩邊乘以u,相加可得
只要獵犬速率大于狐貍,就一定能追上狐貍.因此獵犬運(yùn)動路程為
關(guān)于獵犬的運(yùn)動軌跡,建立直角坐標(biāo)系如圖3所示.
圖3 坐標(biāo)系示意圖
根據(jù)幾何圖像可得
為方便處理,令cotθ=p,由式(5)可得
式(6)兩邊對x求導(dǎo)得
通過分析獵犬和狐貍的徑向和水平方向的相對速度、距離變化,作定積分,消去角度變量,能夠簡潔地求出獵犬追擊時間,與文獻(xiàn)[2,3]結(jié)果一致.該問題的中學(xué)和大學(xué)解法對比可以使學(xué)生對大學(xué)物理有一個更加深刻的認(rèn)識,從中學(xué)過渡到大學(xué)學(xué)習(xí)階段.