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        小議流體情境中的相互作用和功率問題

        2022-05-07 10:35:02段寶維張燕怡
        物理通報(bào) 2022年4期
        關(guān)鍵詞:動能定理水柱礦粉

        段寶維 張燕怡

        (中國人民大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100080)

        1 背景介紹

        2020年《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》特別重視問題“情境”,一共有67處提到“情境”問題,強(qiáng)調(diào)問題、任務(wù)、試題情境,并把學(xué)生將“情境與知識相聯(lián)系的水平”作為學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測的高階要求,具體又細(xì)化為:將情境中的經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為物理探究過程、將情境中的故事情節(jié)轉(zhuǎn)化為物理現(xiàn)象、將描述情境的文字轉(zhuǎn)化為物理表述、將情境中需要完成的工作轉(zhuǎn)化為相應(yīng)物理問題[1].

        我們常說某個問題出得很“活”,其“活”的本質(zhì)之一在于情境的轉(zhuǎn)化,能否把問題中的實(shí)際情境轉(zhuǎn)化成解決問題的物理情境,建立相應(yīng)的物理模型,這是應(yīng)用物理觀念思考問題、應(yīng)用物理知識分析解決問題的關(guān)鍵.在物理教學(xué)中,應(yīng)讓學(xué)生獲得在實(shí)際情境中解決物理問題的大量經(jīng)驗(yàn),形成把情境與知識相關(guān)聯(lián)的意識.

        流體問題,如高壓水槍沖擊、噴泉托舉物體、氣體壓強(qiáng)微觀解釋、離子發(fā)動機(jī)反沖、自動稱米機(jī)的爭議……取材于生活實(shí)際,現(xiàn)象常見而富有一定趣味性,是將情境與物理模型結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用力學(xué)工具解決具體問題的良好素材[2~5],屬于綜合性強(qiáng)、難度較大、對能力要求較高的題目,多見于高考和各類高三模擬測試中.

        流體情境的常見問題分為兩類:(1)討論流體與環(huán)境的相互作用,常規(guī)方法是微元思想配合動量定理求解;(2)討論流體噴射的功率,常規(guī)方法是應(yīng)用能量轉(zhuǎn)化關(guān)系.學(xué)生在具體思考的過程中常有質(zhì)疑,為何對于同一問題,不同方法討論的結(jié)果經(jīng)常不自洽:如用能量觀點(diǎn)求流體作用力,或基于相互作用和功的定義計(jì)算流體功率,往往與正確答案不符.究其原因,在于沒能建立合適的理想化模型,對物理規(guī)律的適用條件、研究對象范圍把握得不夠清晰準(zhǔn)確.

        本文試圖回顧流體情境中的經(jīng)典問題,從概念、規(guī)律的深入理解角度,厘清學(xué)生們的常見誤區(qū),并基于中學(xué)物理的常見模型,做一些拓展討論.

        2 問題回顧

        如下是流體情境中涉及相互作用的經(jīng)典例題.

        【例1】水流射向墻壁,會對墻壁產(chǎn)生沖擊力.假設(shè)水槍噴水口的橫截面積為S,噴出水流的流速為v,水流垂直射向豎直墻壁后速度變?yōu)榱?已知水的密度為ρ,重力加速度大小為g,求墻壁受到的平均沖擊力F.

        此題的傳統(tǒng)解法如下:

        取Δt時(shí)間內(nèi)入射到墻面上的一小段水柱為研究對象,水柱質(zhì)量Δm=ρSvΔt,受到墻壁反作用力F′,動量由Δmv變?yōu)榱?,設(shè)水柱入射方向?yàn)檎较?,由動量定?/p>

        解得

        但如果用動能定理求解,認(rèn)為墻壁對水做功

        于是由動能定理

        就會得到錯誤的結(jié)果

        以下是流體情境中涉及功率的經(jīng)典例題.

        【例2】(人教社2019版《物理·必修2》教材P94練習(xí)6):圖1是某城市廣場噴泉噴出水柱的場景.從遠(yuǎn)處看,噴泉噴出的水柱超過了40層樓的高度;靠近看,噴管的直徑約為10 cm.請你據(jù)此估計(jì)用于給噴管噴水的電動機(jī)的輸出功率至少有多大?

        圖1 城市廣場噴泉場景

        根據(jù)功能關(guān)系,噴泉噴水功率應(yīng)等于水在單位時(shí)間內(nèi)獲得的動能,通過噴水高度估算水流出口時(shí)的速度v,通過噴管直徑d和出口速度v估算單位時(shí)間噴出的水量,有

        代入實(shí)際數(shù)據(jù),不難求得數(shù)值解.

        但是,按照例1動量定理求解的正確思路,同樣可以求得,出口處噴管對水流作用力為

        則有功率

        3 誤區(qū)分析

        在例題1所代表的流體(我們先局限于不可壓縮的理想流體)沖擊問題中,動能定理并不是適合的物理規(guī)律,原因如下:

        (1)中學(xué)物理中的動能定理,實(shí)際上是單個質(zhì)點(diǎn)的動能定理,而題目中的研究對象——“一小段”水柱,即使再短,也不可以看作質(zhì)點(diǎn),因?yàn)樗仨毩鲃?、必須形變,?yīng)看作質(zhì)點(diǎn)組,內(nèi)力做功引起的動能變化不可無視;

        (2)若將水柱看作質(zhì)點(diǎn)組,嚴(yán)格意義上說,墻壁外力的作用點(diǎn)并沒有移動,因此,對水柱并沒有做功,自然也不能利用W=-F(vΔt)的公式.否則,根據(jù)“功是能量轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移的量度”,墻壁的能量應(yīng)有所減少,與實(shí)際情況矛盾(類似2006年高考題“人從地面起跳、地面對人不做功”的情境);

        (3)如果改變題目條件,讓水柱原速反彈或水流以相等速率沿墻壁散開,則水柱動能不變,自然也無法運(yùn)用動能定理,但用動量定理依然可以得到正確的結(jié)果.

        在例題2的情境中,題目強(qiáng)調(diào)求“最小功率”,也就是沒有損耗或浪費(fèi)的情況,此時(shí),認(rèn)為噴泉做功全部轉(zhuǎn)化為噴出水的能量,無疑是正確的.而如果用功率公式P=Fv求解,則需明確,該公式描述的,依然是某個外力F對某個速度為v的質(zhì)點(diǎn)的做功快慢情況.參考例題1的解法,若此處代入F=ρSv2,則F應(yīng)該是“如果在噴口垂直水流方向放置一個擋板,并且水流沖擊擋板后不反濺,只是順著擋板平面流走時(shí),水流對擋板的沖擊力”,而并非是“將噴口處一小截水柱看作質(zhì)點(diǎn),該水柱從零加速到出射速度v受到的力”.

        利用如圖2所示的理想裝置,可以從“力×速度”角度解釋例題2所要求的最小功率.以不可壓縮理想流體定常流動時(shí)的一組流管為輪廓,構(gòu)造如圖2所示的剛性容器,則在很短時(shí)間內(nèi),忽略一切摩擦損耗,活塞端所受壓力F所做功,將幾乎全部轉(zhuǎn)化為噴出液體的動能.此時(shí)噴射器功率滿足

        圖2 不可壓縮流體定常流動示意圖

        但顯然,此時(shí)F為活塞處受力,并非噴口處的沖擊力ρSv2,而速度部分也應(yīng)代入活塞被推進(jìn)的速度v0,而非噴口處水的出射速度v.

        參考伯努利原理的證明過程,在活塞處壓力做功=水獲得的動能增量,在極短時(shí)間Δt內(nèi),有

        根據(jù)連續(xù)性原理

        與能量角度的計(jì)算結(jié)果一致.

        4 對流體作用力的拓展討論

        為了徹底厘清動能定理不能簡單應(yīng)用于流體作用力求解的疑惑,我們再看下面例題.

        【例3】(由2018年北京市昌平區(qū)高三期末統(tǒng)測改編)離子發(fā)動機(jī)是利用電能加速工質(zhì)(工作介質(zhì))形成高速射流而產(chǎn)生推力的航天器發(fā)動機(jī).其原理如圖3所示:首先電子槍發(fā)射出的高速電子將中性推進(jìn)劑離子化(即電離出正離子),正離子被正、負(fù)極柵板間的電場(可視為勻強(qiáng)電場)加速后從噴口噴出,從而使飛船獲得推進(jìn)或姿態(tài)調(diào)整的反沖動力.這種發(fā)動機(jī)壽命長,適用于航天器的姿態(tài)控制、位置保持等.已知從噴口噴出的正離子速度大小為v,發(fā)動機(jī)功率為P,求該發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的平均推力大小F.

        圖3 離子發(fā)動機(jī)原理示意圖

        解析:我們先用傳統(tǒng)的動量定理方法求解.設(shè)在任意極短時(shí)間Δt內(nèi),噴出的離子總質(zhì)量為Δm,這些離子獲得的動量為Δmv,因此有

        另一方面,考慮到飛船質(zhì)量遠(yuǎn)大于離子質(zhì)量,發(fā)動機(jī)輸出的能量幾乎全部轉(zhuǎn)化為離子的動能,因此有

        此處為何不能直接運(yùn)用公式P=Fv得到F=我們再從微觀粒子受力的角度來深入分析一下.

        將離子在電場中的加速過程簡化為如圖4的模型,可以看到,由正負(fù)極板(負(fù)極為金屬網(wǎng)且忽略打在金屬網(wǎng)上的離子)、絕緣容器代表飛船發(fā)動機(jī),其所受推力F的大小等于所有離子在電場中受力的矢量和F′(牛頓第三定律),而不僅僅是剛好離開容器的那些離子的受力.

        圖4 離子發(fā)動機(jī)簡化模型

        從能量關(guān)系入手考查,離子發(fā)動機(jī)總功率,可以看做是加速電場對每個離子電場力的功率之和,設(shè)第i個離子受力為Fi,某時(shí)刻速度為vi,則有

        正、負(fù)柵極間電場被簡化為勻強(qiáng)電場,顯然,每個離子都受到等大的電場力

        其中,N為某時(shí)刻電場中離子的總個數(shù),v-i為N個離子瞬時(shí)速度的平均值.由于每個離子從正柵極到負(fù)柵極的受力-運(yùn)動過程相同,v-i可以看作一個離子運(yùn)動全過程的平均速度,離子都做勻加速直線運(yùn)動,于是有

        此時(shí)可發(fā)現(xiàn),發(fā)動機(jī)推力大小與功率關(guān)系為

        每一個Δt內(nèi),雖然電場中各個離子都得到加速,但等效看來,都相當(dāng)于有一個薄層的質(zhì)量為Δm、總電荷量為q的離子穿越電場,發(fā)生了位移L(L為兩極板間距離),電場力對它做功

        同理,圖2中流管容器中的一小塊液體,也可認(rèn)為是穿越了整個流速場,直接到達(dá)噴口,從而將外力F做的功轉(zhuǎn)化成了自身動能.

        5 對流體噴射功率的拓展討論

        前面關(guān)于例2的分析,我們默認(rèn)流體的噴射功率,嚴(yán)格等于流體單位時(shí)間增加的動能,即噴射器轉(zhuǎn)化效率是100%,但實(shí)際情景未必如此.在實(shí)際噴水過程中,考慮到粘滯阻力、流體與管壁摩擦等因素,噴射器的功率,應(yīng)等于將水從靜止加速度到噴射速度v所做的總功.

        我們以“傳送帶”傳輸?shù)V粉的例子作為類比進(jìn)行說明.

        【例4】如圖5所示,水平傳送帶以速率v=2 m/s的速率勻速運(yùn)行,上方料斗每秒將40 kg的礦粉豎直放落到傳送帶上,然后一起隨傳送帶勻速運(yùn)動,如果要使傳送帶保持原來的速率勻速運(yùn)行,則皮帶機(jī)應(yīng)增加的功率為多少?

        圖5 傳送帶運(yùn)送礦粉示意圖

        解析:設(shè)Δt時(shí)間內(nèi)有質(zhì)量為Δm的礦粉被投放到傳送帶上,對于傳送帶上的礦粉整體,Δt時(shí)間內(nèi)總動量增加了Δmv(注意,礦粉從靜止加速至與傳送帶共速的時(shí)間不一定是Δt).

        處于加速狀態(tài)的礦粉受摩擦力f,根據(jù)動量定理fΔt=Δmv,傳送帶受礦粉反作用力

        結(jié)合前面分析可知,這個f′是所有礦粉對傳送帶的摩擦力.

        傳送帶保持勻速v運(yùn)動,電動機(jī)需額外克服f′提供能量,因此需額外增加的功率P,等于電動機(jī)對傳送帶增加的拉力,再乘以傳送帶速度

        另一方面,礦粉在單位時(shí)間內(nèi)獲得的動能僅僅為

        根本原因在于,礦粉加速過程中與傳送帶有相對滑動,存在摩擦生熱引起的損耗(參考2003年高考全國壓軸題).不難得到本情境中,如果礦粉離開傳送帶時(shí)已經(jīng)與傳送帶共速,發(fā)熱功率和發(fā)動機(jī)為礦粉提供動能的功率相等,各為.而如果傳送帶速度很大,以至于礦粉離開傳送帶時(shí)無法加速到v,摩擦生熱損耗的能量將大于礦粉得到的動能.

        對于噴射器噴水求功率的問題,如果我們只考慮水增加的動能,則可以按照發(fā)動機(jī)模型處理,得

        但為了嚴(yán)謹(jǐn)起見,題目最好采用求“噴水最小功率”這樣的描述,例題2(課本題)的表述就比較妥當(dāng).

        6 總結(jié)

        本文較深入地探討了流體情境中的兩個基本問題(相互作用力、噴射功率),對學(xué)生解題過程中的常見誤區(qū)及錯因進(jìn)行了分析澄清,說明了從動量、能量不同角度解決同一問題時(shí)應(yīng)如何更準(zhǔn)確地確定研究對象、理解概念含義、把握規(guī)律應(yīng)用范圍并更合理地構(gòu)建模型等,從多方位、多角度提供了正確理解流體情境的思路.

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