■歐陽亮 程 波

一、選擇題

1.下面關(guān)于空間幾何體的定義或結(jié)構(gòu)特征敘述錯(cuò)誤的是( )。

A.空間中把一個(gè)平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體是四棱柱

B.有兩個(gè)側(cè)面都是矩形的三棱柱,它的側(cè)棱垂直于底面

C.以直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐

D.底面是正多邊形的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影一定是底面正多邊形的中心

2.設(shè)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,且正方體的棱AB,CC1,A1D1在平面α上的射影相等,那么滿足條件的平面α的個(gè)數(shù)為( )。

A.3 B.4

C.5 D.6

3.設(shè)m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:

①若m//α,m//n,則n//α;②若m⊥α,m//β,則α⊥β;③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥β;④若m//n,α//β,則m與α所成的角和n與β所成的角相等。

其中正確命題的序號(hào)是( )。

A.①② B.①④

C.②③ D.②④

4.(多選題)如圖1,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,將△ABD沿對(duì)角線BD翻折到△PBD位置,連接PC(如圖2)。在翻折過程中,下列說法正確的是( )。

圖1

圖2

A.PC與平面BCD所成的最大角為45°

B.存在某個(gè)位置,使得PB⊥CD

圖3

二、填空題

圖4

三、解答題

圖5

(1)求證:PD⊥平面ABCD.

(2)求證:平面PAC⊥平面PBD。

(3)求二面角P-BC-D的平面角的大小。

圖6

圖7

圖8

一、選擇題

1.提示:由四棱柱的定義知,A 正確。由直線與平面垂直的判定定理知,得到這兩個(gè)側(cè)面的交線垂直于底面,B 正確。由圓錐的定義知,C 正確。底面是正多邊形的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影不一定是底面正多邊形的中心,D 錯(cuò)誤。應(yīng)選D。

2.提示:棱AB,CC1,A1D1在平面α上的射影相等,即棱AB,AA1,AD與平面α所成的角相等。若三條棱在平面α的同側(cè),這樣的平面有1 個(gè);若其中一條和另外兩條分別在平面α的異側(cè),這樣的平面α有3 個(gè)。故滿足條件的平面α的個(gè)數(shù)為4。應(yīng)選B。

3.提示:若m//α,m//n,則n//α或n?α,①不正確。若m//β,則β內(nèi)必存在一條直線m＇//m,因?yàn)閙⊥α,所以m＇⊥α。又m＇?β,所以α⊥β,②正確。若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m?β或m//β或m與β相交,③不正確。若m//n,α//β,則m與α所成的角和n與β所成的角相等,④正確。應(yīng)選D。

4.提示:對(duì)于A,取BD的中點(diǎn)O(作法略),因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,O是線段BD的中點(diǎn),所以O(shè)P⊥BD,OC⊥BD,所以BD⊥平面POC。因?yàn)锽D?平面BCD,所以POC⊥平面BCD。因?yàn)槠矫鍼OC∩平面BCD=OC,所以PC在平面BCD的射影為OC,則∠PCO是PC與平面BCD所成的角。由PO=OC,可知△POC是等腰三角形,當(dāng)∠POC=60°時(shí),PC與平面BCD所成角為60°,A 錯(cuò)誤。對(duì)于B,當(dāng)PD=PC時(shí),取CD的中點(diǎn)N,可得CD⊥PN,CD⊥BN,所以CD⊥平面PBN,PB⊥CD,B 正確。對(duì)于C,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,O是線段BD的中點(diǎn),所以PO⊥BD,CO⊥BD。因?yàn)锽D是平面PBD與平面CBD的交線,所以∠POC是平面PBD與平面CBD所成的角。因?yàn)槎娼荘-BD-C的大小為90°,所以∠POC=90°。易得PO=OC= 3,所以PC= 6,C正確。對(duì)于D,易得BN= 3,若點(diǎn)B到平面PDC的距離為3,則BN⊥平面PCD。因?yàn)锽P=2,BN= 3,所以PN=1,ND=1,所以PD= 2≠2,顯然不可能,D錯(cuò)誤。應(yīng)選B,C。