盧月， 張小美*， 盛蘇英

( 1.南通大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 江蘇 南通 226019;2.南通大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 江蘇 南通 226019)

0 引言

在過去的20年里，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步[1]以及多智能體系統(tǒng)的一致性[2]得到了廣泛的研究，其中原因之一是其在諸如機(jī)器人控制[2]和網(wǎng)絡(luò)物理微電網(wǎng)[3]等領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用。注意到以上文獻(xiàn)關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制問題研究是以刻畫鄰居節(jié)點(diǎn)之間通訊連接的邊權(quán)值都是正的為假設(shè)條件而展開的，然而，實(shí)際情況未必都是這樣，例如，意見形成的分布式過程[4]。在存在合作和競爭關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)中，刻畫鄰居節(jié)點(diǎn)之間通信連接的邊權(quán)值既可以是正的也可以是負(fù)的[5]。目前，多智能體網(wǎng)絡(luò)的二分同步/一致性問題研究包括無通信時(shí)滯的線性智能體[6]、有通信時(shí)滯的線性智能體[7]、無通信時(shí)滯的非線性智能體[8-9]、有通信時(shí)滯的非線性智能體[10]、量化通信的非線性智能體[9]、間隙通信的非線性智能體[10]和脈沖通信的非線性智能體[11]等。特別地，文獻(xiàn)[11]研究了符號網(wǎng)絡(luò)中耦合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基于分布式脈沖協(xié)議的擬二分同步問題。此外，脈沖對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的影響有2種情況：一是干擾，對同步起負(fù)面作用[12]；二是控制輸入，對同步起正面作用[13]。

一般來講，現(xiàn)實(shí)世界中的脈沖有2類，即確定性脈沖[12-14]和隨機(jī)脈沖[15]。對于有脈沖影響的多智能體網(wǎng)絡(luò)的同步/一致性問題，大部分現(xiàn)有的研究是針對確定性脈沖進(jìn)行的，即脈沖的強(qiáng)度和密度都是確定性的。特別地，確定性脈沖影響下的多智能體網(wǎng)絡(luò)的二分協(xié)同問題近年來得到了研究[11，16-17]。文獻(xiàn)[15]研究了符號網(wǎng)絡(luò)中耦合的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在確定性脈沖影響下的擬二分同步問題。文獻(xiàn)[16]研究了合作-競爭網(wǎng)絡(luò)中二階非線性多智能體系統(tǒng)在確定性脈沖影響下的二分編隊(duì)問題。從現(xiàn)有文獻(xiàn)不難發(fā)現(xiàn)，針對確定性脈沖影響下的多智能體網(wǎng)絡(luò)的協(xié)同問題研究已取得大量的研究成果，而隨機(jī)脈沖影響下的多智能體網(wǎng)絡(luò)的協(xié)同問題的研究成果則很少。文獻(xiàn)[17]研究了存在脈沖影響的非線性時(shí)滯多智能體系統(tǒng)當(dāng)脈沖強(qiáng)度以一定的概率發(fā)生變化時(shí)的一致跟蹤問題。

近年來，網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的安全控制問題[18]，特別地，多智能體網(wǎng)絡(luò)的安全同步控制問題[4，19-20]引起了人們極大的研究興趣。文獻(xiàn)[4]研究了自主交流微電網(wǎng)在傳感器和執(zhí)行器均遭受欺騙攻擊的情形下基于分布式魯棒自適應(yīng)控制策略的電壓和頻率調(diào)節(jié)問題。文獻(xiàn)[19]研究了重放攻擊和拒絕服務(wù)攻擊下的多智能體系統(tǒng)基于事件驅(qū)動機(jī)制的領(lǐng)跟隨一致性控制問題。文獻(xiàn)[20]在脈沖控制的框架下研究了遭受欺騙攻擊的多智能體系統(tǒng)的安全同步問題。文獻(xiàn)[21]研究了欺騙攻擊下非線性時(shí)滯多智能體系統(tǒng)基于脈沖控制的一致性容錯(cuò)跟蹤問題，并且脈沖強(qiáng)度是時(shí)不變的。同時(shí)也注意到，針對欺騙攻擊下基于符號網(wǎng)絡(luò)的多智能體系統(tǒng)的二分同步控制問題的研究成果還較少[22-23]。文獻(xiàn)[22]研究了傳感器遭受惡意攻擊下執(zhí)行器飽和的非線性多智能體系統(tǒng)基于連續(xù)時(shí)間控制策略的二分輸出跟蹤問題。文獻(xiàn)[23]針對符號網(wǎng)絡(luò)中異質(zhì)多智能體系統(tǒng)研究了其基于連續(xù)時(shí)間輸出反饋控制的二分狀態(tài)同步問題，同時(shí)考慮了跟隨者的因物理部件受到攻擊而引入的對抗性輸入。

從以上討論不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的文獻(xiàn)只針對諸如對抗性攻擊[22-23]或確定性脈沖[12]單一因素影響下的二分同步/一致性問題進(jìn)行研究的。 然而，實(shí)際的信息-物理網(wǎng)絡(luò)中可能會同時(shí)存在惡意的信息-物理攻擊、確定性脈沖或隨機(jī)脈沖。本文中提出的Lipschitz型符號網(wǎng)絡(luò)的脈沖系統(tǒng)模型，同時(shí)考慮隨機(jī)脈沖強(qiáng)度的脈沖干擾和欺騙攻擊的隨機(jī)發(fā)生；在考慮通訊連接存在時(shí)滯交互的情形下，給出符號網(wǎng)絡(luò)達(dá)到二分同步的充分條件。

1 預(yù)備知識和問題描述

1.1 符號圖理論

Ls=Ds-As，

(1)

式中，

并且

則稱符號圖Gs是結(jié)構(gòu)平衡的;否則，稱符號圖Gs為結(jié)構(gòu)不平衡。

1.2 問題描述

考慮如下Lipschitz型符號網(wǎng)絡(luò)：

(2)

注1文獻(xiàn)[25]中指出，物理攻擊可能會導(dǎo)致xi(t)在tk發(fā)生突然變化。該現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上被描述為網(wǎng)絡(luò) (2)中的脈沖干擾。不同于文獻(xiàn)[25]中的確定性脈沖，本文考慮具有隨機(jī)強(qiáng)度的脈沖干擾。此外，假設(shè)欺騙攻擊隨機(jī)發(fā)生在各脈沖時(shí)刻，并利用Bernoulli分布序列刻畫欺騙攻擊的隨機(jī)發(fā)生現(xiàn)象。

根據(jù) Laplacian 矩陣Ls的定義，公式 (2)可寫成

(3)

假設(shè)1對于任意的m∈{1，2，…，nx}，fm(·)是奇函數(shù)，滿足：

|fm(a)-fm(b)|≤νm|a-b|，?a，b∈R，

式中νm>0為已知的常數(shù)。

假設(shè)2h(·)∈Rnx是奇函數(shù)，滿足

‖h(z1)-h(z2)‖≤θ‖z1-z2‖， ?z1，z2∈Rnx，

式中θ>0為已知的常數(shù)。

假設(shè)3符號圖Gs是結(jié)構(gòu)平衡的。

式中，

則稱符號網(wǎng)絡(luò)(3)是二分同步的。

因此，在假設(shè)3下，式(3)變?yōu)?/p>

(4)

(5)

則有

(6)

定義3平均脈沖間隔[26]如果存在正整數(shù)N0和正數(shù)Ta使得下式成立：

引理1[27]假設(shè)非負(fù)函數(shù)V(t)，t∈[-τ，∞)滿足

式中γ>0是方程γ-α+βeγτ=0的唯一解。

2 主要結(jié)果

定理 1如果對于常數(shù)λ>ε>0，γ>1，存在正定矩陣P>0， 常數(shù)δ>0，r>0，使得下面的不等式成立：

P

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

則符號網(wǎng)絡(luò)(3)當(dāng)平均脈沖間隔不小于Ta時(shí)是二分同步的。

證明由假設(shè)1可得

φT(t)φ(t)-eT(t)(IN-1?ΥTΥ)e(t)≤0，

(12)

式中，Υ=diag{ν1，ν2,…，νnx}。

構(gòu)造Lyapunov候選函數(shù)如下：

V(t)=eT(t)Pe(t)。

(13)

當(dāng)t∈[tk-1，tk)時(shí)，沿著系統(tǒng)(3) 的軌跡對V(t)求導(dǎo)，并利用公式(12)，可得對于任意的正數(shù)δ>0，λ>ε>0，有

ξT(t)Ωξ(t)-λV(t)+εV(t-τ(t))，

(14)

式中ξ(t)=[eT(t)φT(t)eT(t-τ(t))]T。

由公式(8)、(14)可得

(15)

由引理1得

(16)

式中α滿足公式(11)。

當(dāng)t=tk時(shí)，由公式(16)得

(17)

由假設(shè)2可得

(18)

(19)

式中λmax(P)表示矩陣P的最大特征值。

由公式(17)、(19)得

(20)

由公式(7)、(9)、(20)得

(21)

因此，當(dāng)t∈[tk-1，tk)時(shí)，有

(22)

利用定義3，可得當(dāng)t∈[tk-1，tk)時(shí)，有

(23)

這意味著

(24)

由公式 (10) 得

(25)

由定義 2、3可知，符號網(wǎng)絡(luò)(3)當(dāng)平均脈沖間隔不小于Ta時(shí)是二分同步的。

注2不同于文獻(xiàn)[20，21]，其在具有確定性脈沖強(qiáng)度的脈沖的控制框架下研究了多智能體系統(tǒng)在傳統(tǒng)意義下的安全同步問題，本文則研究的是存在具有隨機(jī)脈沖強(qiáng)度的脈沖干擾情形下合作競爭網(wǎng)絡(luò)的安全二分同步問題，即在研究的對象和研究的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境兩方面均不同于文獻(xiàn)[20,21]，拓展了多智能體系統(tǒng)一致性控制的研究內(nèi)容。

如果網(wǎng)絡(luò)(2)中不考慮欺騙攻擊，則公式(2)變?yōu)?/p>

(26)

相應(yīng)的誤差系統(tǒng)(6)變?yōu)?/p>

(27)

推論 1如果對于常數(shù)λ>ε>0，γ>1，存在正定矩陣P>0， 常數(shù)δ>0和r>0， 使得下面的不等式成立：

P

(28)

(29)

(1+2?+χ-γ)P<0，

(30)

(31)

α滿足

(32)

則平均脈沖間隔不小于Ta時(shí)，符號網(wǎng)絡(luò)(26)是二分同步的。

3 數(shù)值例子

例1考慮由9個(gè)蔡氏電路構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)(2)，式中參數(shù)矩陣A、B和非線性函數(shù)f(xi(t))與文獻(xiàn)[8]中的相同，即

xi(t)=[xi1(t)，xi2(t)，xi3(t)]T，f1(xi1(t))=0.442(|xi1(t)+1|-|xi1(t)-1|)。

容易驗(yàn)證下面的關(guān)系式成立：

|f1(a)-f1(b)|≤ν1|a-b|，?a，b∈R，

式中ν1=0.884。

網(wǎng)絡(luò)(2)的拓?fù)渑c文獻(xiàn)[8]中的一樣，由9個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的符號圖如圖1所示。

圖1 由9個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的符號圖Fig.1 Symbol graph composed of nine nodes

假設(shè)h(xi(t))=[0.3xi1(t)，-0.3sin(xi2(t))，tanh(0.3xi3(t))]T， 則

‖h(z1)-h(z2)‖≤θ‖z1-z2‖，?z1，z2∈R3，

式中θ=0.3。

令

利用MATLAB 2016年軟件并結(jié)合CVX凸優(yōu)化工具箱求解定理1中的線性矩陣不等式 (7)—(9)，可得其可行解。由定理1可知該符號網(wǎng)絡(luò)是二分同步的。在仿真中取tk-tk-1=1 s。圖2—圖4表明該符號網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)二分同步。

圖2 狀態(tài)xi1(t)(i=1，2,…，9)的軌跡Fig.2 Trajectories of states xi1(t)(i=1，2,…，9)

圖3 狀態(tài)xi2(t)(i=1，2,…，9)的軌跡Fig.3 Trajectories of states xi2(t)(i=1，2,…，9)

圖4 狀態(tài)xi3(t)(i=1，…，9)的軌跡Fig.4 Trajectories of states xi3(t)(i=1，…，9)

例2考慮由7個(gè)混沌個(gè)體構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)(2)，式中

容易驗(yàn)證下面的關(guān)系式成立：

|fm(a)-fm(b)|≤|a-b|，?a，b∈R，m=1，2，3。

網(wǎng)絡(luò)(2)的拓?fù)渑c文獻(xiàn)[16]中的一樣，由7個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的符號圖如圖5所示。

圖5 由7個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的符號圖

則符號圖5結(jié)構(gòu)平衡，并且包含有向生成樹。

圖6 狀態(tài)xi1(t)(i=1，2,…，7)的軌跡Fig.6 Trajectories of states xi1(t)(i=1，2,…，7)

圖7 狀態(tài)xi2(t)(i=1，2,…，7)的軌跡Fig.7 Trajectories of states xi2(t)(i=1，2,…，7)

圖8 狀態(tài)xi3(t)(i=1，2,…，7)的軌跡Fig.8 Trajectories of states xi3(t)(i=1，2,…，7)

注3上述2個(gè)仿真數(shù)值例子驗(yàn)證了定理1所給出的抗脈沖干擾和欺騙攻擊的二分同步的充分條件的有效性。本文的主要結(jié)果可進(jìn)一步應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)化機(jī)器人系統(tǒng)的二分同步控制[28]中。

4 結(jié)語

本文研究了有向符號圖下Lipschitz型多智能體系統(tǒng)在隨機(jī)脈沖干擾和欺騙攻擊影響下的二分同步問題。在欺騙攻擊隨機(jī)發(fā)生在各脈沖時(shí)刻的假設(shè)下，利用規(guī)范變換和Lyapunov穩(wěn)定性理論，以線性矩陣不等式和代數(shù)不等式的形式給出了實(shí)現(xiàn)二分同步的充分條件。本文假設(shè)了所有鄰居智能體可以同時(shí)獲得通信網(wǎng)絡(luò)的使用權(quán)限并傳輸對應(yīng)數(shù)據(jù)。未來的研究工作之一是研究諸如 Round-Robin協(xié)議等通信協(xié)議影響下非線性多智能體符號網(wǎng)絡(luò)的二分同步問題。