朱 誠，潘旭華，張 勇

（天津商業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，天津 300134）

0 引言

群智能優(yōu)化算法是一種模擬自然界中進(jìn)化機(jī)制、行為模式、物理規(guī)律，并建立特定數(shù)學(xué)模型的元啟發(fā)式算法，被廣泛應(yīng)用于模式識別、人工智能、系統(tǒng)控制、信號處理等領(lǐng)域。大量學(xué)者在受到不同生物行為和物理現(xiàn)象的啟發(fā)后，先后提出多種群智能優(yōu)化算法，Rashedi 等提出基于萬有引力定律和牛頓第二定律，通過種群的粒子位置移動來尋找最優(yōu)解的引力搜索算法（Gravitational Search Algorithm，GSA）；源于對鳥群捕食的行為，通過群體中個(gè)體之間的協(xié)作和信息共享來尋找最優(yōu)解，Kennedy 等提出粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法；Passino受大腸桿菌的群體覓食行為所啟發(fā)而提出細(xì)菌覓食優(yōu)化（Bacterial Foraging Optimization，BFO）算法；Mirjalili 等通過模仿鯨魚圍捕獵物時(shí)的行為方式，提出鯨優(yōu)化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）；Dorigo 等受自然界中螞蟻覓食的群體行為啟發(fā)而提出蟻群（Ant Colony Optimization，ACO）算法。

哈里斯鷹優(yōu)化（Harris Hawks Optimization，HHO）算法是Heidari 等于2019 年提出的一種新型群智能算法，該算法源于哈里斯鷹（又名栗翅鷹）捕食時(shí)的群體協(xié)作行為。整個(gè)尋優(yōu)過程包括探索、探索與開發(fā)轉(zhuǎn)換和開發(fā)三個(gè)階段，具有原理簡單、控制參數(shù)少、全局搜索能力出色等特點(diǎn)；但也存在收斂速度慢、尋優(yōu)精度低、易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)。為了克服上述缺點(diǎn)，學(xué)者們提出了不同的優(yōu)化方法，湯安迪等通過引入Tent 混沌映射和精英等級制度策略提升算法收斂速度和精度（Chaos Elite HHO，CEHHO）；趙世杰等提出獵物能量的周期性遞減調(diào)控機(jī)制，并與牛頓局部增強(qiáng)策略相融合實(shí)現(xiàn)改進(jìn)HHO（Improved HHO，IHHO）；Qu 等利用信息交換機(jī)制和非線性逃逸能量因子提高種群的多樣性和算法性能；Zhang 等通過對仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行評估，從6 種不同的能量更新策略中選出指數(shù)遞減策略作為優(yōu)化方案；馬一鳴等對基于最大似然估計(jì)的適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，有效解決針對室內(nèi)到達(dá)時(shí)差定位的非線性方程求解問題；Turabieh等通過控制種群分布來改進(jìn)HHO 算法，并用于預(yù)測學(xué)生潛力；Ismael 等使用基于對立學(xué)習(xí)的HHO 算法（HHO Algorithm based on Opposition-Based Learning，HHOA-OBL）用于超參數(shù)估計(jì)和特征選擇；Elsayed 等將HHO 與序列二次規(guī)劃相結(jié)合方法HHO-SQP（hybrid HHO with Sequential Quadratic Programming），實(shí)現(xiàn)電源的定向過流繼電器的優(yōu)化協(xié)調(diào)；劉小龍等通過多子群方形鄰域拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和固定置換概率來平衡算法的探索、開發(fā)；郭雨鑫等利用精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制和黃金正弦算法提高種群多樣性并減少算法收斂時(shí)間；Guo 等利用佳點(diǎn)集和非線性收斂方程對HHO 進(jìn)行改進(jìn)；Gupta 等通過引入優(yōu)化的快速俯沖策略和對立學(xué)習(xí)機(jī)制提出了HHO 的改進(jìn)優(yōu)化算法m-HHO（modified HHO）。

本文針對HHO 算法存在的問題提出了一種基于趨化校正的哈里斯鷹優(yōu)化（Chemotaxis Correction HHO，CC-HHO）算法，從5 個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：通過識別收斂曲線的狀態(tài)，預(yù)測尋優(yōu)的發(fā)展方向；引入基于生物能量消耗的逃逸能量因子

E

與跳躍距離

J

，使算法更符合生物的規(guī)律特性、更好地平衡算法的探索與開發(fā)；通過精英選擇拓展算法全局搜索的廣泛性；引入CC 機(jī)制提高局部搜索的精確性；當(dāng)尋優(yōu)陷入停滯時(shí)，對種群的逃逸能量施加擾動，強(qiáng)制進(jìn)入探索階段，幫助算法跳出局部最優(yōu)。

1 HHO算法的介紹

HHO 算法作為一種元啟發(fā)式算法，其靈感來自于哈里斯鷹的捕食過程。本章對其基本原理和數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡要說明。

1.1 探索階段

哈里斯鷹是一種群體捕食動物，所有成員分工合作、協(xié)調(diào)行動。探索階段是一個(gè)全局搜索的過程，鷹從空中跟蹤和探測獵物。當(dāng)確定目標(biāo)獵物后，所有成員逐步向獵物位置靠近，圍繞獵物尋找合適的位置。完成包圍，為最后的攻擊做準(zhǔn)備。

所有哈里斯鷹在初始狀態(tài)下隨機(jī)出現(xiàn)在搜索空間的某一個(gè)位置，并根據(jù)兩種策略向最優(yōu)解移動。令

q

為位于（0，1）的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)

q

＜0.5 時(shí)，每只鷹會根據(jù)種群其他成員和獵物的位置進(jìn)行移動；當(dāng)

q

≥0.5 時(shí)，哈里斯鷹會隨機(jī)棲息在種群活動范圍內(nèi)的某一棵樹上，其數(shù)學(xué)公式如下：

其中：

N

為種群規(guī)模；

X

為種群的平均位置；

X

（

t

+1）和

X

（

t

）分別表示第

t

+1 次和第

t

次迭代后種群所處的位置；

X

為種群中隨機(jī)選擇的搜索代理的位置；

X

為最優(yōu)個(gè)體的位置；

r

、

r

、

r

、

r

均為（0，1）的隨機(jī)數(shù)；

ub

和

lb

分別為種群的上下界。

1.2 探索與開發(fā)轉(zhuǎn)換階段

哈里斯鷹優(yōu)化算法從全局搜索與局部搜索的轉(zhuǎn)換主要依靠逃逸能量因子

E

來控制，其定義如下：

其中：

E

為在（-1，1）的能量迭代初始值；

T

表示最大迭代次數(shù)。當(dāng) |

E

|≥1 時(shí)，HHO 算法將進(jìn)行全局搜索，表示整個(gè)種群隨著獵物在整個(gè)搜索空間中移動；當(dāng)|

E

|＜1 時(shí)，HHO 算法則轉(zhuǎn)為代表局部搜索的開發(fā)階段。

1.3 開發(fā)階段

在對目標(biāo)獵物完成包圍后，鷹群在開發(fā)階段將進(jìn)行攻擊。根據(jù)獵物的逃逸行為和哈里斯鷹的追逐策略，HHO 算法使用四種不同的策略來模擬攻擊，并通過逃逸能量因子

E

和隨機(jī)數(shù)

r

∈(0，1)來決定使用的策略，

r

是獵物的逃脫機(jī)會，

r

＜0.5 表示成功逃脫，

r

≥0.5 則是未能成功逃脫。

1.3.1 軟包圍

當(dāng) |

E

|≥0.5 和

r

≥0.5 時(shí)，獵物有足夠的體力，試圖通過跳躍逃脫，但最終被捕獲，公式如下：

其中：

DX

（

t

）為最優(yōu)個(gè)體和當(dāng)前個(gè)體的距離，表示第

t

次迭代后鷹群與獵物的位置偏差；

r

為（0，1）的隨機(jī)數(shù)；

J

為獵物逃跑過程中的跳躍距離。

1.3.2 硬包圍

當(dāng) ||

E

＜0.5 和

r

≥0.5 時(shí)，獵物沒有充足的能量，被鷹直接捕獲，公式如下：

1.3.3 快速俯沖的軟包圍

當(dāng)|

E

|≥0.5 和

r

＜0.5 時(shí)，獵物逃逸能量充沛有機(jī)會逃脫，因此鷹群形成一個(gè)更加智能的軟包圍圈，實(shí)施策略如下：

其中：

D

為問題維度；

S

是一個(gè)

D

維的隨機(jī)向量；

LF

為Levy 飛行函數(shù)。計(jì)算公式如式（11）所示：

其中：

ru

和

rv

為（0，1）的隨機(jī)數(shù)，

β

是值為1.5 的常量。

1.3.4 快速俯沖的硬包圍

當(dāng) |

E

|＜0.5 和

r

＜0.5 時(shí)，獵物體能不足，但仍有機(jī)會逃脫。因此鷹群形成一個(gè)硬包圍圈，縮小與獵物的平均距離，采用以下策略進(jìn)行狩獵：

2 改進(jìn)的HHO算法

為了克服經(jīng)典HHO 算法存在的缺陷，并提高其尋優(yōu)性能，本章將從以下幾個(gè)方面闡述采用的優(yōu)化方法。

2.1 識別收斂趨勢

在尋優(yōu)過程中，收斂曲線能夠描述每次迭代的搜索結(jié)果及其變化軌跡，所以，分析曲線的變化趨勢并采取相應(yīng)的處理機(jī)制可以有效防止搜索陷入局部最優(yōu)。本節(jié)對收斂曲線的趨勢和分類進(jìn)行說明，并對識別方法和分類規(guī)則進(jìn)行闡述。

1）設(shè)相鄰兩次迭代之間搜索到最優(yōu)解的下降率為

HuntStep

，其數(shù)學(xué)公式如下：

其中：

t

為迭代計(jì)數(shù)，

Curve

（

t

）為第

t

次迭代搜索到的最優(yōu)解。2）設(shè)最優(yōu)解變化權(quán)重

StepValue

，其值受迭代計(jì)數(shù)

t

和最優(yōu)解下降率

HuntStep

的影響，見表1。

表1 最優(yōu)解變化權(quán)重Tab 1 Change weight of optimal solution

3）針對不同的尋優(yōu)階段統(tǒng)計(jì)不同數(shù)量的最優(yōu)解變化權(quán)重之和

TreadStatus

，公式如下：

4）根據(jù)

TreadStatus

的值，識別收斂曲線變化趨勢

ConvergenceState

，如表2 所示。

表2 收斂曲線變化趨勢說明Tab 2 Explanation of change trend about convergence curve

使用

u

個(gè)最優(yōu)解變化權(quán)重之和來分析收斂曲線的變化趨勢，是為了排除個(gè)別記錄偏離總體趨勢而導(dǎo)致的誤判。結(jié)果表明，該方法能夠較好地預(yù)判陷入局部最優(yōu)的可能性，有助于最終得到更優(yōu)解。

2.2 趨化校正

在HHO 算法中，一個(gè)搜索代理每次迭代中只能移動一次位置。本節(jié)利用BFO 算法的CC 機(jī)制，提高HHO 局部搜索能力。由于CC 會增加算法尋優(yōu)的時(shí)間消耗，為了平衡尋優(yōu)精度和效率，只在軟包圍和硬包圍兩種策略中，且收斂曲線狀態(tài)

ConvergenceState

處于“平緩下降”的前提下，才進(jìn)行CC。設(shè)隨機(jī)方向向量

δ

，其每個(gè)元素的取值范圍為（-1，1），定義如下：

設(shè)隨機(jī)游動方向

φ

定義如下：

通過趨化機(jī)制對搜索代理的位置進(jìn)行校正，設(shè)

che

的定義如下：

其中：

CC

（

i

）為HHO 中第

i

個(gè)搜索代理的游動步長；

D

是每個(gè)搜索代理的維數(shù)；

v

是第

v

個(gè)變量。反復(fù)游動，直到趨化計(jì)數(shù)器

ss

達(dá)到最大游動步數(shù)

Ns

。若

f

（

che

）＜

f

（

X

（

t

）），則

與經(jīng)典的HHO 算法相比，此方法使搜索代理有更多的移動機(jī)會，因此更有可能獲得最佳結(jié)果。

2.3 基于生物能量消耗的逃逸能量因子E與跳躍距離J

在HHO 算法中，逃逸能量因子

E

反映對問題最優(yōu)解的搜索能力、決定著全局搜索和局部搜索的切換、影響著開發(fā)階段所采用的策略，其在尋優(yōu)過程中表現(xiàn)為線性遞減的狀態(tài)。Gupta 等提出的m-HHO 優(yōu)化算法為了使搜索獲得更多處于開發(fā)階段的機(jī)會，設(shè)置非線性能量因子

E

如下：

其中：

t

為當(dāng)前迭代計(jì)數(shù)；

T

為最大迭代次數(shù)；

mi

為非線性調(diào)制指數(shù)；

E

和

E

分別為初始和最終能量參數(shù)值。

m-HHO 雖然在探索階段將獲得較好的結(jié)果，但是因其放棄的隨機(jī)因子，使得算法在廣泛性和魯棒性上有所下降，且以上兩種算法均不符合獵物在逃跑過程中的能量消耗與恢復(fù)，以及鷹群與獵物間的多輪博弈的實(shí)際情況。獵物在逃跑過程中隨著奔跑距離的增加體能迅速下降，在體能消耗到極限的條件下，通過短暫的休息或停留可以獲得一定程度的恢復(fù)，將這個(gè)往復(fù)、循環(huán)的過程描述為如下公式：

其中：

E

的含義與式（3）相同；

st

為（20，100）的隨機(jī)數(shù)，決定著獵物在逃跑過程中進(jìn)行體能恢復(fù)的次數(shù)。

由圖1 可知，獵物在被追捕過程中的體能消耗的總體趨勢呈下降狀態(tài)，而且隨著時(shí)間的推移，體力恢復(fù)的上限將會越來越低、恢復(fù)所需時(shí)間越來越長。

圖1 逃逸能量因子E的變化曲線Fig.1 Change curve of escape energy factor E

逃逸能量因子

E

的變化必然導(dǎo)致其在逃跑過程中的跳躍距離

J

產(chǎn)生相應(yīng)的變化，針對逃逸能量因子|

E

|與0.5 的關(guān)系，設(shè)置

J

如下：

如圖2 所示，下方曲線為逃逸能量因子

E

，上方曲線為跳躍距離

J

?？梢?，

E

與

J

的變化是一一對應(yīng)的，獵物在體能充沛時(shí)，跳躍距離較遠(yuǎn)；體力耗盡時(shí)，幾乎跳不動；更加符合生物規(guī)律。

圖2 逃逸能量因子E與跳躍距離J的關(guān)系Fig.2 Relationship between escape energy factor E and jump strength J

2.4 精英選擇

為了提高HHO 算法的收斂精度和全局搜索能力，本節(jié)在迭代過程中不僅僅記錄搜索到的最優(yōu)解，同時(shí)將次優(yōu)解引入尋優(yōu)過程，用于引導(dǎo)其他個(gè)體的移動方向。

設(shè)

X

和

X

分別為通過迭代得到的最優(yōu)解和次優(yōu)解所處的位置，根據(jù)精英選擇機(jī)制計(jì)算以

X

（

t

）、

X

和

X

兩兩組合作為參數(shù)，生成的新位置集合

LocationES

，計(jì)算公式如下：

分別計(jì)算集合

LocationES

中三個(gè)新位置的代價(jià)函數(shù)適應(yīng)度值，并取出最小值，如式（32）所示：

若

FitnessES

＜

f

（

X

（

t

）），則同時(shí)更新

X

（

t

）、

X

和

X

。

2.5 強(qiáng)制進(jìn)入探索階段

在迭代后期，如果收斂曲線的狀態(tài)為“平緩下降”或“水平線”，則說明搜索即將陷入局部最優(yōu)或已經(jīng)陷入局部最優(yōu)，通過令逃逸能量因子

E

=1，強(qiáng)制使尋優(yōu)切換到全局探索階段。根據(jù)隨機(jī)數(shù)

q

的值，搜索代理向上限或下限大范圍移動，公式如下：

其中：

X

和

X

分別為種群中距種群的平均位置

X

最遠(yuǎn)和最近的個(gè)體；

r

是位于（0，1）的隨機(jī)數(shù)；

ub

和

lb

分別為上下限。當(dāng)

q

＜0.5 時(shí)，搜索代理在

X

和上限之間選擇一個(gè)位置；

q

≥0.5 時(shí)，在

X

和下限之間選擇一個(gè)位置。

3 算法偽代碼與時(shí)空復(fù)雜度分析

3.1 算法偽代碼

本節(jié)對上述改進(jìn)方法在原始HHO 算法中的應(yīng)用以偽代碼形式進(jìn)行說明。

輸入 種群規(guī)模

N

、最大迭代次數(shù)

T

。

輸出 獵物的位置和其適應(yīng)度值。

3.2 時(shí)間復(fù)雜度分析

設(shè)改進(jìn)算法的種群規(guī)模為

N

，迭代

T

次，按照算法的執(zhí)行步驟進(jìn)行算法時(shí)間復(fù)雜度分析。1）鷹群初始化，需進(jìn)行

N

次操作，時(shí)間復(fù)雜度為

O

（

N

）。2）計(jì)算收斂趨勢，計(jì)算2 次，時(shí)間復(fù)雜度為

O

（2）。3）計(jì)算函數(shù)適應(yīng)度，時(shí)間復(fù)雜度為

O

（1）。4）進(jìn)行精英選擇求得最優(yōu)解，需要6 次計(jì)算、2 次比較，時(shí)間復(fù)雜度為

O

（8）。

5）執(zhí)行群行為。

5.1）計(jì)算

E

與

J

，時(shí)間復(fù)雜度為

O

（2）。5.2）根據(jù)收斂趨勢，判斷是否進(jìn)入強(qiáng)制探索，比較1 次，計(jì)算1 次移動1 次，時(shí)間復(fù)雜度為

O

（3）。5.3）確定進(jìn)入探索或開發(fā)，比較1 次，時(shí)間復(fù)雜度為

O

（1）。5.4）在探索階段，比較1 次，移動1 次，時(shí)間復(fù)雜度為

O

（2）。5.5）在開發(fā)階段，比較1 次，確定鷹群的攻擊策略，移動1 次，時(shí)間復(fù)雜度為

O

（2）。5.6）趨化校正，計(jì)算3 次，比較1 次。趨化過程中需要試探

MaxStep

次，時(shí)間復(fù)雜度為

O

(4+

MaxStep

)。步驟5）循環(huán)

N

次，因此其時(shí)間復(fù)雜度為

O

((14 +

MaxStep

)*

N

)。經(jīng)歷上述步驟后，改進(jìn)算法在

T

次迭代后的時(shí)間復(fù)雜度為：

O

(

T

*(14 +

MaxStep

)*

N

)。

3.3 改進(jìn)算法空間復(fù)雜度分析

空間復(fù)雜度是用算法執(zhí)行時(shí)占用存儲空間來衡量的，設(shè)鷹群的規(guī)模為

N

，迭代次數(shù)為

T

，需要求解的函數(shù)的維數(shù)為

D

，按照算法步驟進(jìn)行空間復(fù)雜度分析。在改進(jìn)算法中，

X

［

N

］［

D

］存儲種群初始化值，

X

［1］［

D

］存儲優(yōu)化的自變量，

Fitness

存儲優(yōu)化函數(shù)值，

LocationES

［3］［

D

］存儲3 個(gè)精英自變量，

FitnessES

［3］［1］存儲3個(gè)精英函數(shù)值，

HuntStep

［1］［

T

］存儲每兩次迭代之間的結(jié)果差，

StepValue

［1］［

T

］存儲每次迭代結(jié)果評分，

X

［1］［

D

］存儲種群中隨機(jī)選擇的搜索代理所在位置，

X

［1］［

D

］存儲種群的平均位置，

δ

［1］［

D

］存儲隨機(jī)方向向量，

che

［

N

］［

D

］存儲趨化修正值。因此，整個(gè)改進(jìn)人工魚群算法的空間復(fù)雜度為：2*

O

(

N

*

D

)+7*

O

(

D

)+2*

O

(

T

) +

O

(3)。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本節(jié)通過10 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)，使用Intel i7-4790、8 GB 內(nèi)存的計(jì)算機(jī)在Matlab 2012b 仿真平臺上對CC-HHO 算法的尋優(yōu)性能進(jìn)行測試，并給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析。基準(zhǔn)函數(shù)分為3 類：F1～F4 為單峰函數(shù)，用于評估元啟發(fā)式算法的開發(fā)能力；F5～F8 為多峰函數(shù)，F(xiàn)9～F10 為定維多峰函數(shù)；F5～F10 均具有一個(gè)以上的局部最優(yōu)解，變量數(shù)量以指數(shù)形式增加，用于對算法的探索能力和對局部最優(yōu)的規(guī)避能力進(jìn)行評價(jià)。函數(shù)編號、函數(shù)名、變量數(shù)、變量邊界和理論最優(yōu)解如表3 所示。

表3 基準(zhǔn)函數(shù)信息Tab 3 Information of benchmark functions

4.1 CC-HHO算法與其他元啟發(fā)式優(yōu)化算法比較

本節(jié)將CC-HHO 算法與包括經(jīng)典HHO 算法在內(nèi)的其他4 種元啟發(fā)式優(yōu)化算法GSA、PSO、WOA和HHO進(jìn)行比較。為了便于不同算法進(jìn)行橫向比較，所有實(shí)驗(yàn)參數(shù)均采用和原始HHO 算法相同的設(shè)置，即：種群數(shù)為30，迭代次數(shù)為500。為了平衡算法時(shí)間復(fù)雜度和局部搜索的細(xì)致性，趨化操作中單向運(yùn)動的最大步數(shù)

Ns

為4。每組測試包含30輪，記錄均值、標(biāo)準(zhǔn)差、最優(yōu)值和最差值，測試結(jié)果見表4。

表4 CC-HHO 與其他元啟發(fā)式算法的尋優(yōu)結(jié)果比較Tab 4 Optimization result comparison between CC-HHO and other meta heuristics algorithms

本文所提出CC-HHO 算法的尋優(yōu)能力與其他4 種算法相比都具有很強(qiáng)的競爭力。對于單峰測試函數(shù)F1～F4，CCHHO 的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都大幅優(yōu)于包含HHO 在內(nèi)的其他4種算法，不但最終結(jié)果更好，而且算法穩(wěn)定性更優(yōu)。在多峰函數(shù)和定維多峰函數(shù)方面，從F5～F6 來看，CC-HHO 的均值與HHO 持平，優(yōu)于GSA、PSO、WOA；從F7～F10 來看，CCHHO 獲得令人滿意的結(jié)果，相對于HHO 具有小幅優(yōu)勢。

4.2 CC-HHO算法與其他改進(jìn)HHO算法比較

本節(jié)將CC-HHO 算法與其他4 種改進(jìn)的HHO 算法CEHHO、IHHO、HHOA-OBL、HHO-SQP進(jìn)行性能對比分析，迭代次數(shù)為500，每種算法對每個(gè)函數(shù)進(jìn)行30 次測試，收集均值、標(biāo)準(zhǔn)差、最優(yōu)值和最差值作為評價(jià)依據(jù)，測試結(jié)果如表5 所示。

如表5 所示，CC-HHO 算法在函數(shù)F1～F4 的平均值和最優(yōu)值表現(xiàn)上完全壓制其他4 種改進(jìn)的HHO 算法。對于F5～F6，因?yàn)? 種改進(jìn)算法都是從HHO 算法的衍生而來，所以搜索性能指標(biāo)基本相同。從函數(shù)F7～F10 的結(jié)果來看，雖然CC-HHO 算法在數(shù)量級上沒有形成巨大優(yōu)勢，但與其他函數(shù)相比仍然更加優(yōu)秀。結(jié)果表明，CC-HHO 算法的準(zhǔn)確度和魯棒性都優(yōu)于其他改進(jìn)算法。

表5 CC-HHO 與其他改進(jìn)HHO算法的尋優(yōu)結(jié)果比較Tab 5 Optimization result comparison between CC-HHO and other improved HHO algorithms

圖3 是單峰基準(zhǔn)函數(shù)的收斂曲線，在5 種改進(jìn)的HHO 算法中，CC-HHO 算法的最終尋優(yōu)結(jié)果最好。F1 和F4 的收斂速度最快，收斂精度最高。在F3，雖然CC-HHO 算法的收斂速度相對較慢，但是依然在尋優(yōu)后期通過CC 找到更優(yōu)解。在F4，能夠明顯看出CC-HHO 算法在迭代初始階段就快速收斂并經(jīng)歷至少兩次陷入局部最優(yōu)，但通過“強(qiáng)制探索”跳出。

圖3 單峰函數(shù)的收斂曲線Fig.3 Convergence curves of unimodal functions

圖4 是多峰基準(zhǔn)函數(shù)的比較，對于F7，CC-HHO 算法比HHO-SQP 和HHOA-OBL 收斂速度稍慢；對于F5、F6、F8，CCHHO 算法收斂最快，收斂精度也很突出，當(dāng)其他改進(jìn)的HHO算法陷入局部最優(yōu)，沒有機(jī)會搜索到更好的解時(shí)，CC-HHO 算法通過分析收斂趨勢、精英選擇、趨化校正尋找到更優(yōu)解。

圖4 多峰函數(shù)的收斂曲線Fig.4 Convergence curves of multimodal functions

圖5 為5 種改進(jìn)的HHO 算法在定維多峰函數(shù)F9～F10 的尋優(yōu)收斂曲線，最終尋優(yōu)結(jié)果處于同一數(shù)量級。F10 表明CC-HHO 算法具有最佳的收斂速度和最終解。

圖5 定維多峰函數(shù)的收斂曲線Fig.5 Convergence curves of fixed-dimensional multimodal functions

5 結(jié)語

為了克服HHO 算法的缺點(diǎn)，提高算法的尋優(yōu)性能，通過識別收斂曲線狀態(tài)、趨化校正、引入基于生物能量消耗的逃逸能量因子、精英選擇、強(qiáng)制探索的途徑進(jìn)行優(yōu)化和提出改進(jìn)算法。并通過10 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行測試。對比其他元啟發(fā)式算法和改進(jìn)的HHO 算法，仿真結(jié)果和收斂曲線表明，本文CC-HHO 算法在單峰函數(shù)上展現(xiàn)出超強(qiáng)的尋優(yōu)能力；在多峰函數(shù)和定維多峰函數(shù)上，除所有參與比較算法均能找到理論最優(yōu)解的情況，本文CC-HHO 算法在收斂精度上具有一定優(yōu)勢。綜上說明，本文算法在探索、開發(fā)和避免局部最優(yōu)方面具有競爭力，提高了原算法的搜索效率和魯棒性。但是多模態(tài)基準(zhǔn)函數(shù)的尋優(yōu)表現(xiàn)不如單峰基準(zhǔn)函數(shù)，有待于進(jìn)一步研究。