孫 東， 汪若塵， 丁仁凱， 劉 偉， 孟祥鵬

(1.江蘇大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013;2.江蘇大學(xué) 汽車工程研究院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

為解決傳統(tǒng)被動(dòng)懸架因剛度阻尼固定不變而只能在某一運(yùn)行工況下達(dá)到性能最優(yōu)這一車輛動(dòng)力學(xué)問題，主動(dòng)/半主動(dòng)懸架應(yīng)運(yùn)而生[1-4]。而隨著磁流變技術(shù)的發(fā)展與成熟，響應(yīng)快、成本低、控制簡單、安裝方便的磁流變半主動(dòng)懸架[5-8]更受市場青睞。但半主動(dòng)懸架系統(tǒng)不可避免地存在工作時(shí)滯[9-10]，其中，磁流變阻尼器的響應(yīng)時(shí)滯占據(jù)很大一部分比重。這不僅會(huì)削弱控制系統(tǒng)的控制效果，甚至有可能使懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能惡化，造成被控對象失穩(wěn)[11-13]。

為此，學(xué)者們對半主動(dòng)懸架系統(tǒng)時(shí)滯補(bǔ)償控制展開了廣泛研究。寇發(fā)榮[14]根據(jù)包含執(zhí)行器響應(yīng)時(shí)滯的線性常微分方程理論推導(dǎo)了磁流變半主動(dòng)懸架的臨界時(shí)滯，設(shè)計(jì)了一種Smith 預(yù)估時(shí)滯補(bǔ)償模糊控制器，仿真和試驗(yàn)結(jié)果均證明了該控制器可明顯改善時(shí)滯輸入下的車輛動(dòng)力學(xué)性能。Huang等[15]針對二自由度時(shí)滯非線性懸架系統(tǒng)模型，設(shè)計(jì)了一種魯棒性強(qiáng)的PID控制策略，并采用遺傳算法對PID控制器進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，仿真結(jié)果表明車輛的綜合性能得到了顯著提高。陳士安等[16]提出了一種泰勒級數(shù)-LQG時(shí)滯補(bǔ)償控制方法，利用泰勒級數(shù)對LQG計(jì)算得到的理想控制力進(jìn)行時(shí)滯補(bǔ)償，這種控制方法使懸架系統(tǒng)即使在較大時(shí)滯下也能保持較好的平順性。Dong等[17]構(gòu)建了一種懸架系統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，用以補(bǔ)償磁流變阻尼器的不確定時(shí)延，試驗(yàn)結(jié)果表明，基于SMIS的半主動(dòng)懸架具有更好的乘坐舒適性，還可有效避免執(zhí)行器時(shí)滯不確定性對車輛動(dòng)力學(xué)性能的惡化作用。

磁流變阻尼器響應(yīng)時(shí)滯輸入會(huì)對閉合控制系統(tǒng)的控制效果及穩(wěn)定性造成負(fù)面影響，常見的解決辦法是設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器進(jìn)行時(shí)滯控制，但當(dāng)前研究鮮有考慮執(zhí)行器實(shí)際響應(yīng)時(shí)滯與系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界時(shí)滯之間的大小關(guān)系，即總是假設(shè)實(shí)際時(shí)滯小于臨界時(shí)滯。一旦前者數(shù)值超過后者，控制器將無法求得反饋增益而失效。針對這一問題，本文設(shè)計(jì)一種時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器，推導(dǎo)控制器反饋控制增益和系統(tǒng)臨界時(shí)滯，并基于MotoTron平臺(tái)搭建執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)電流PI控制器，旨在降低實(shí)際響應(yīng)時(shí)滯以實(shí)現(xiàn)時(shí)滯輸入魯棒控制。

1 磁流變半主動(dòng)懸架系統(tǒng)建模

1.1 磁流變阻尼器力學(xué)模型

Meisami-Azad等[18-21]采用的磁流變阻尼器Bingham黏塑模型將阻尼器控制力分為僅與速度相關(guān)的黏滯阻尼力和與驅(qū)動(dòng)電流相關(guān)的庫侖阻尼力，表達(dá)式如下

(1)

式中:F(t)為阻尼器控制力；ce為黏滯阻尼系數(shù)；v為懸架相對速度；FMR為庫倫阻尼力；ai為待擬合參數(shù)；I為驅(qū)動(dòng)電流。

為獲取模型參數(shù)，在單通道試驗(yàn)臺(tái)上對磁流變阻尼器進(jìn)行力學(xué)試驗(yàn)，臺(tái)架布置如圖1所示。

圖1 阻尼器力學(xué)試驗(yàn)臺(tái)架布置

依據(jù)測得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用MATLAB的Curve Fitting工具箱進(jìn)行參數(shù)辨識，具體參數(shù)值如表1所示。圖2為磁流變阻尼器速度特性曲線擬合效果圖，從圖中可看出，式(1)曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線吻合度較高，說明Bingham黏塑模型能較好地描述磁流變阻尼器力學(xué)特性。

表1 參數(shù)辨識結(jié)果

圖2 阻尼器速度特性曲線擬合效果

1.2 1/4時(shí)滯輸入磁流變半主動(dòng)懸架模型

定常輸入時(shí)滯作用下的1/4時(shí)滯輸入磁流變半主動(dòng)懸架的二自由度模型如圖3所示，根據(jù)牛頓第二定律得到平衡位置處的懸架動(dòng)力學(xué)微分方程

(2)

圖3 1/4時(shí)滯輸入磁流變半主動(dòng)懸架模型

其中，

式中:ms為簧載質(zhì)量；mu為非簧載質(zhì)量；ks為懸架彈簧剛度；ku為輪胎剛度；u(t-τ)磁流變阻尼器時(shí)滯輸出力；zs為簧載質(zhì)量垂向位移；zu為非簧載質(zhì)量垂向位移；zr為路面激勵(lì)。

1.3 懸架系統(tǒng)狀態(tài)空間表示

對于上述半主動(dòng)懸架系統(tǒng)，選取狀態(tài)變量為

(3)

選取輸出變量為

(4)

測量變量為

Z(t)=X(t)

(5)

因此，式(2)懸架動(dòng)力學(xué)微分方程的狀態(tài)空間可表示為

(6)

2 時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器設(shè)計(jì)

H2控制器用于約束時(shí)滯控制力以實(shí)現(xiàn)懸架綜合性能最優(yōu)，而H∞控制器用于約束下一時(shí)滯時(shí)刻的控制力以控制定常輸入時(shí)滯，進(jìn)而保證懸架系統(tǒng)的控制性能和系統(tǒng)穩(wěn)定性。在設(shè)計(jì)定常輸入時(shí)滯半主動(dòng)懸架系統(tǒng)的輸出反饋控制律之前，先設(shè)置如式(7)所示的懸架綜合性能指標(biāo)作為控制目標(biāo)。

(7)

時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器的設(shè)計(jì)就是使從路面輸入(t)到系統(tǒng)輸出Y(t)的傳遞函數(shù)的H2和H∞范數(shù)最小，從而保證定常輸入時(shí)滯半主動(dòng)懸架的最優(yōu)綜合性能和系統(tǒng)穩(wěn)定性。反饋控制律的具體形式為

U(t)=KZ(t)=KX(t)

(8)

式中，K為狀態(tài)反饋增益矩陣。

因此，式(6)可表示為如下閉環(huán)系統(tǒng)

(9)

定理1給出了時(shí)滯H∞魯棒控制器存在的充要條件：

(10)

(11)

式中:S=LAT+AL+τP+Q+QT+N;I為適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。

下面構(gòu)造一個(gè)Lyapunov-Krasovskii泛函V(t)進(jìn)行證明

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

(12)

式中:V1(t)=XT(t)P1X(t)；

其中，待求矩陣P1、Q1、Q2正定對稱。

對式V1(t)進(jìn)行一階微分，得：

(13)

引理1[23]若向量a(·)∈Rm,b(·)∈Rm,N1∈Rm×n定義在區(qū)間Ω內(nèi)，則對于?X1、Y1、Z1∈Rm×n，滿足下式關(guān)系

(14)

τXT(t)X1X(t)+XT(t)(Y1-P1BK)X(t)-

XT(t)(Y1-P1BK)X(t-τ)+XT(t)(Y1-P1BK)TX(t)-

(15)

由式(13)～(15)可得

XT(t)(P1BK-Y1)X(t-τ)+

XT(t-τ)(P1BK-Y1)TX(t)+T(t)HP1X(t)+

(16)

零初始條件下的時(shí)滯系統(tǒng)H∞魯棒性性能指標(biāo)如下

(17)

對于任意非零輸入可得

(18)

式中：λ(t)=[X(t),X(t-τ),(t)]T；

Γ5=τKTBTQ1H；

Γ3=τATQ1H+P1H；

由Schur補(bǔ)可知，П<0與下式等價(jià)

(19)

式(11)中含有非線性項(xiàng)LM-1L，故懸架系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為帶矩陣逆約束的線性矩陣不等式可行性問題。本文綜合考慮懸架動(dòng)力學(xué)性能，參考抗干擾系數(shù)和系統(tǒng)魯棒性的博弈關(guān)系，在選定抗干擾系數(shù)γ∞=12.5基礎(chǔ)上，采用錐補(bǔ)線性化迭代法和二分法[24]求解保持系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界時(shí)滯為τmax=29.2 ms，為執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)電流PI控制提供理論基礎(chǔ)。

3 仿真分析對比

3.1 磁流變阻尼器時(shí)滯測試

求解時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器反饋增益的前提是確定系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)滯與抗干擾系數(shù)，當(dāng)磁流變阻尼器的實(shí)際響應(yīng)時(shí)滯超出理論臨界時(shí)滯時(shí)，系統(tǒng)將處于失穩(wěn)狀態(tài)，此時(shí)無法獲得控制器的反饋增益。為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器應(yīng)用于磁流變半主動(dòng)懸架系統(tǒng)的可行性，本文進(jìn)行了執(zhí)行器開環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)滯測試，測試工況選擇頻率2 Hz、占空比50%的方波，響應(yīng)特性如圖4所示。

(a) 階躍響應(yīng)

從圖4中可看出，執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)電流上下階躍的響應(yīng)時(shí)滯都大于35 ms，已超過理論臨界時(shí)滯，此時(shí)時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器無法求解反饋增益。為此，本文引入驅(qū)動(dòng)電流積分分離PI控制[25]來改善執(zhí)行器開環(huán)響應(yīng)特性，減小系統(tǒng)時(shí)滯，進(jìn)而保證時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器正常工作。

3.2 驅(qū)動(dòng)電流PI控制算法

積分分離PI控制離散后的表達(dá)式如下

(20)

其中，b為積分項(xiàng)啟閉閾值，其數(shù)值的選取直接影響PI控制的控制效果。

本文基于MotoTron平臺(tái)采用試湊法對PI控制的三個(gè)控制參數(shù)Kp、Ki和b進(jìn)行工程整定，搭建了如圖5所示PI控制參數(shù)整定平臺(tái)，整定結(jié)果如圖6所示。

圖5 PI控制參數(shù)整定平臺(tái)

(a) 階躍響應(yīng)

由圖6可知，PI控制下的執(zhí)行器響應(yīng)時(shí)滯都減小到16 ms以內(nèi)，低于系統(tǒng)保持穩(wěn)定所允許的理論臨界時(shí)滯。將控制結(jié)果代入時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器設(shè)計(jì)過程，采用錐補(bǔ)線性化迭代算法和最小二乘法，求得時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器的可行解為K=104×[1.500 7 1.609 1 -0.154 1 -0.004 0]。

4 仿真分析

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器的工作效果，在Matlab/Simulink中搭建了1/4被動(dòng)懸架和不考慮時(shí)滯輸入的H2/H∞魯棒控制器模型作為對比，以60 km/h車速進(jìn)行了C級隨機(jī)路面仿真，仿真參數(shù)如表2所示。

表2 1/4車輛仿真參數(shù)

時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器和不考慮時(shí)滯控制的魯棒控制器的仿真結(jié)果如圖7和表3所示，由懸架動(dòng)力學(xué)性能評價(jià)指標(biāo)時(shí)域響應(yīng)曲線可看出，在以乘坐舒適性為主要控制目標(biāo)的C級路面下，對執(zhí)行器響應(yīng)時(shí)滯進(jìn)行控制的時(shí)滯魯棒控制器可顯著改善車身加速度(減小了24.52%)，而未考慮時(shí)滯的魯棒控制器優(yōu)化效果有限，相比被動(dòng)懸架僅優(yōu)化了14.94%；時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器下的懸架動(dòng)撓度較被動(dòng)懸架降低了9.79%，比魯棒控制器還優(yōu)化了7.19%；而輪胎動(dòng)載荷比被動(dòng)懸架惡化了9.80%，由于并未超過車輛靜載重量的1/3，因而不會(huì)影響車輪接地性，但其相比惡化了13.44%的魯棒控制器，考慮了執(zhí)行器時(shí)滯輸入的時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器更能兼顧車輛的乘坐舒適性和行駛安全性。

圖7 懸架仿真結(jié)果對比

表3 仿真結(jié)果均方根值對比

5 臺(tái)架試驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器的實(shí)際工作效果，設(shè)計(jì)了磁流變半主動(dòng)懸架ECU，時(shí)滯魯棒控制器采用基于模型設(shè)計(jì)(MBD)方法內(nèi)嵌到ECU中。并搭建了如圖8所示的單輪連桿式麥弗遜懸架測控平臺(tái)，對控制器進(jìn)行了臺(tái)架試驗(yàn)，試驗(yàn)工況與仿真相同。

圖8 臺(tái)架試驗(yàn)布置

圖9為懸架系統(tǒng)在被動(dòng)狀態(tài)、魯棒控制器和時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器下的動(dòng)力學(xué)性能時(shí)域響應(yīng)，表4列舉了三個(gè)評價(jià)指標(biāo)的均方根值。從表中數(shù)據(jù)可知，時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器的車身加速度和懸架動(dòng)撓度相比被動(dòng)懸架和魯棒控制器分別降低了17.17%、9.84%、6.42%和5.98%，說明在顛簸的C級路面下，時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器能有效抑制車身加速度，懸架動(dòng)撓度的降低也減小了懸架撞擊到緩沖塊的幾率，車輛乘坐舒適性得到明顯改善。此時(shí)輪胎動(dòng)載荷雖有所惡化，但并未影響輪胎接地性。這也證明了所設(shè)計(jì)的時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器能對執(zhí)行器響應(yīng)時(shí)滯進(jìn)行控制，保證了時(shí)滯輸入懸架系統(tǒng)的控制性能和穩(wěn)定性。

表4 試驗(yàn)結(jié)果均方根值對比

圖9 懸架試驗(yàn)結(jié)果對比

6 結(jié) 論

(1) 基于磁流變阻尼器Bingham模型，針對執(zhí)行器響應(yīng)時(shí)滯的問題，設(shè)計(jì)了一種時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器，推導(dǎo)了控制器反饋控制增益和系統(tǒng)臨界時(shí)滯，并基于MotoTron平臺(tái)整定了執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)電流PI控制參數(shù)，從而降低了實(shí)際響應(yīng)時(shí)滯以實(shí)現(xiàn)時(shí)滯魯棒控制。

(2) 在C級隨機(jī)路面輸入下對1/4時(shí)滯輸入磁流變半主動(dòng)懸架系統(tǒng)進(jìn)行了仿真分析，結(jié)果表明，時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器相比被動(dòng)懸架，車身加速度和懸架動(dòng)撓度分別降低了24.52%和9.79%，相比不考慮時(shí)滯控制的魯棒控制器還優(yōu)化了11.26%和7.19%，證明了時(shí)滯H2/H∞魯棒控制器能保證時(shí)滯輸入系統(tǒng)的控制性能和穩(wěn)定性。臺(tái)架試驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了控制器的有效性。