彭林欣， 諶亞菁， 覃 霞， 楊健生

(1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004； 2.廣西大學(xué) 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004; 3.廣西大學(xué) 工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004)

加肋板因其剛度高、重量低的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于房屋建筑、橋梁、船舶、航空及航天等工程領(lǐng)域，常見于地基板、路面板、機(jī)場(chǎng)跑道、船舶壁板等部位。因此，針對(duì)加肋板結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的研究受到了學(xué)者和工程技術(shù)人員的高度重視。一些特殊建(構(gòu))筑物，如水塔、煙囪、筒倉(cāng)等，基礎(chǔ)形式大多采用加肋多邊形板或圓板，設(shè)計(jì)荷載較小時(shí)也可采用不加肋的形式。對(duì)于不加肋的平板式基礎(chǔ)，一般取彈性地基上的圓板作為力學(xué)模型。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)彈性地基上圓板計(jì)算分析開展了深入研究，如王超剛[1]利用Ritz法研究了中心受集中力作用的自由放置在彈性地基上圓板的彎曲問(wèn)題，并獲得了該問(wèn)題的解答。Wang等[2-4]通過(guò)引入非軸對(duì)稱屈曲模態(tài)正確計(jì)算了彈性地基圓板的屈曲荷載，并進(jìn)一步研究了彈性地基上同心鉸接或帶裂紋圓板的屈曲問(wèn)題。何芳社等[5]將與板相關(guān)的各力學(xué)量展開為Fourier-Bessel級(jí)數(shù)，利用解析法對(duì)彈性圓板下橫觀各向同性彈性地基的軸對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行了分析。Starovoitov等[6-7]研究了彈性地基上層合圓板在突發(fā)局部荷載作用下的軸對(duì)稱振動(dòng)問(wèn)題及周期荷載作用下的共振問(wèn)題。裴昭等[8]研究了橫向軌跡動(dòng)載作用下彈性基礎(chǔ)上各向同性圓薄板在彈性約束下的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。

除了彈性地基上的平板外，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)彈性地基加肋板亦進(jìn)行了大量研究。金康寧等[9-10]用邊界元法處理彈性地基上的薄板，用有限元法處理加肋板上的肋梁，利用肋梁結(jié)點(diǎn)處力的平衡和位移的協(xié)調(diào)關(guān)系進(jìn)行耦合求解。蔡健等[11]將彈性地基上的加肋板視為十字交叉梁與平板的組合體系，通過(guò)梁、板、地基三者之間的力與位移平衡和協(xié)調(diào)分析，得出了梁板式筏基與地基共同作用的半解析解。Lee等[12-13]基于Mindlin板理論，采用有限元法分析了彈性地基上加肋板的動(dòng)力特性。對(duì)于加肋板而言，采用有限元法進(jìn)行分析時(shí)需要肋條沿板網(wǎng)格線布置。當(dāng)肋條位置改變時(shí)，板的單元也要重新劃分以保證肋條與網(wǎng)格線的重合。

無(wú)網(wǎng)格法[14-15]是近年來(lái)興起的一種數(shù)值分析方法。不同于有限元法，無(wú)網(wǎng)格法的近似函數(shù)是建立在一系列離散點(diǎn)上的，不需要借助于網(wǎng)格，克服了有限元法對(duì)網(wǎng)格的依賴性。有限元線性單元的直邊不能承受彎曲荷載，分析過(guò)程可能會(huì)出現(xiàn)剪切閉鎖，無(wú)網(wǎng)格法沒(méi)有單元概念，可以有效避免剪切閉鎖。在涉及網(wǎng)格畸變、網(wǎng)格移動(dòng)等問(wèn)題中無(wú)網(wǎng)格法顯示出明顯的優(yōu)勢(shì)，容易進(jìn)行自適應(yīng)分析，因而被廣泛應(yīng)用于碰撞、動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展、金屬加工成型、流體力學(xué)以及其它領(lǐng)域中[16]。不少研究者已成功應(yīng)用無(wú)網(wǎng)格法對(duì)加肋板進(jìn)行分析，例如Liew等[17]采用基于一階剪切變形理論的無(wú)網(wǎng)格伽遼金法研究加肋折板在不同載荷和邊界條件下的彈性彎曲行為；Tamijani等[18-19]采用無(wú)網(wǎng)格伽遼金法分析了曲線加肋板及功能梯度板的自由振動(dòng)；Sadamoto等[20-21]提出了一種有效的伽遼金無(wú)網(wǎng)格扁殼公式用于分析加肋板結(jié)構(gòu)的彎曲問(wèn)題；彭林欣[22-23]在一階剪切變形理論的基礎(chǔ)上建立了矩形加肋板的無(wú)網(wǎng)格模型，并研究了加肋板的彎曲和振動(dòng)等問(wèn)題。

目前采用無(wú)網(wǎng)格法對(duì)地基板的研究較少，大多集中在對(duì)板殼結(jié)構(gòu)自身力學(xué)性能的分析[24-29]，而考慮地基作用的不多。對(duì)于此類問(wèn)題的分析主要有：熊淵博等[30-31]用無(wú)網(wǎng)格局部Petrov-Galerkin(MLPG)方法分析了Winkler彈性地基上正交各向異性板的彎曲問(wèn)題。夏平等[32-34]采用無(wú)網(wǎng)格局部徑向點(diǎn)插值方法(LRPIM)研究了雙參數(shù)彈性地基中厚板的靜力彎曲問(wèn)題。Shams等[35]用再生核質(zhì)點(diǎn)法(RKPM)研究了Winkler-Pasternak彈性地基上碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料層合板在面內(nèi)載荷作用下的屈曲行為。覃霞等[36-39]利用無(wú)網(wǎng)格法分析了彈性地基上矩形加肋板以及斜肋板的振動(dòng)特性，并對(duì)彈性地基加肋板肋梁進(jìn)行優(yōu)化分析。對(duì)于彈性地基圓板，曾祥勇等[40]基于Mindlin中厚板理論，建立了Winkler 地基上圓形厚板彎曲撓度的無(wú)單元伽遼金法(element-free Galerkin method, EFGM)求解控制方程；肖勇剛等[41]基于EFGM分析了集中載荷作用下彈性地基圓板的彎曲問(wèn)題。

綜上所述，鮮見文獻(xiàn)采用無(wú)網(wǎng)格法研究彈性地基加肋板線性彎曲的靜力和振動(dòng)問(wèn)題，特別是對(duì)圓形加肋板。本文利用無(wú)網(wǎng)格法的優(yōu)勢(shì)，基于一階剪切理論和移動(dòng)最小二乘法(moving least squares, MLS)，提出分析彈性地基圓形加肋板線性彎曲的靜力和自由振動(dòng)問(wèn)題的無(wú)網(wǎng)格伽遼金法。首先，采用一系列離散點(diǎn)建立彈性地基圓形加肋板的力學(xué)模型，并通過(guò)肋條與平板的位移協(xié)調(diào)條件導(dǎo)出兩者節(jié)點(diǎn)參數(shù)轉(zhuǎn)換方程；其次，分別通過(guò)最小勢(shì)能原理和哈密頓原理建立靜力彎曲和彎曲振動(dòng)的控制方程；最后，采用完全轉(zhuǎn)換法處理邊界條件。文中以不同幾何尺寸、材料參數(shù)、荷載分布、肋條布置形式的彈性地基圓形加肋板為例，將本文解與ABAQUS有限元解及文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行比較分析，并研究了影響域及離散節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。研究表明，該方法能有效地分析彈性地基圓形加肋板線性彎曲的靜力及自由振動(dòng)問(wèn)題，且具有計(jì)算穩(wěn)定性好、結(jié)果易于收斂等優(yōu)點(diǎn)。

1 彈性地基圓形加肋板彎曲的靜力與自由振動(dòng)的無(wú)網(wǎng)格列式

無(wú)網(wǎng)格法采用點(diǎn)來(lái)離散計(jì)算模型，避免了單元的劃分。由此，本文基于無(wú)網(wǎng)格伽遼金法提出圓形彈性地基加肋板的無(wú)網(wǎng)格模型，計(jì)算其線性彎曲的靜力及自由振動(dòng)問(wèn)題。

1.1 彈性地基加肋板的無(wú)網(wǎng)格模型

一彈性地基圓形板如圖1所示，其中R、hp、hs和ts分別為圓板平板半徑、板厚、肋條高和肋條寬，λ為彈性地基系數(shù)。在本研究中，圓形平板和肋條為均質(zhì)材料，彈性模量和泊松比分別記為E、μ。圓形加肋板為圓形平板與肋條的組合結(jié)構(gòu)，兩者在交接處位移協(xié)調(diào)。彈性地基采用Winkler地基模型，以彈性模擬。本文基于無(wú)網(wǎng)格法，分別采用一系列點(diǎn)來(lái)離散圓形平板和肋條，平板節(jié)點(diǎn)數(shù)記為n，肋條節(jié)點(diǎn)數(shù)為m，平板與肋條采用獨(dú)立坐標(biāo)系，具體如圖2所示。

圖1 彈性地基上的圓形加肋板

圖2 彈性地基上圓形加肋板的無(wú)網(wǎng)格模型

1.2 圓形平板和肋條的位移場(chǎng)

圓形平板包含5個(gè)自由度up、vp、p、φpx和φpy，其中前3個(gè)分別為沿著x、y、z軸的平動(dòng)位移，后兩者分別為繞著y、x軸的轉(zhuǎn)角。采用移動(dòng)最小二乘法[42]建立形函數(shù)，根據(jù)一階剪切理論[43]，圓形平板的位移場(chǎng)可近似為

(1)

用矩陣形式

(2)

式中：[u0pI,v0pI,pI,φpxI,φpyI]T=ΔpI為圓形平板節(jié)點(diǎn)參數(shù);φpx、φpy與p完全獨(dú)立。

(3)

或?qū)懗删仃囆问?/p>

(4)

式中：[u0sI,sI,φsI]T=ΔsI為肋條節(jié)點(diǎn)參數(shù);φsI與sI完全獨(dú)立。

1.3 圓形平板與肋條的位移協(xié)調(diào)方程

如圖3所示，肋條任一點(diǎn)S，必定在平板上存在對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(在整體坐標(biāo)系xyz中，P與S的xy坐標(biāo)相同，P可以是板上任意點(diǎn)，不一定屬于板上的離散點(diǎn))，C點(diǎn)為P、S兩點(diǎn)連線與板面的交點(diǎn)。對(duì)于同心肋條三點(diǎn)重合。根據(jù)C點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)條件，有：

圖3 位移協(xié)調(diào)示意圖

p=s

(5)

φpxcosθ+φpysinθ=φs

(6)

upcosθ+vpsinθ=us

(7)

由式(5)，(6)和(7)，可得

(8)

(i=1,…,m)

(9)

(10)

根據(jù)移動(dòng)最小二乘法，式(5)，(6)和(7)可寫成

(11)

(12)

(13)

將式(11)，(12)和(13)寫成矩陣形式

TpΔp=TsΔs

(14)

其中：

Δp=[u0p1v0p1p1φpx1φpy1u0p2v0p2p2φpx2φpy2…u0pnv0pnpnφpxnφpyn]T,

Δs=[u0s1s1φs1u0s2s2φs2…u0smsmφsm]T,

由式(14)可推出

Δs=TspΔp

(15)

其中：

(16)

對(duì)式(15)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)可得

(17)

綜上所述，通過(guò)肋條與平板的位移協(xié)調(diào)條件可將肋條節(jié)點(diǎn)參數(shù)轉(zhuǎn)換成板節(jié)點(diǎn)參數(shù)，轉(zhuǎn)換方程為式(15)。當(dāng)肋條位置改變時(shí)，只引起矩陣Tsp的改變，因此只需要重新計(jì)算該矩陣。

1.4 圓形加肋板與彈性地基的接觸勢(shì)能

假定彈性地基與圓形加肋板緊密接觸，則兩者的位移滿足連續(xù)條件。設(shè)基床反力系數(shù)為λ，則接觸力勢(shì)能可表示為

(18)

1.5 彈性地基圓形加肋板彎曲的自由振動(dòng)控制方程

根據(jù)1.2節(jié)圓形平板的位移場(chǎng)，其面內(nèi)應(yīng)變可表示為

(19)

面外應(yīng)變?yōu)?/p>

(20)

其中：

從而可以導(dǎo)出圓形平板的勢(shì)能

(21)

其中：

Δp=[Δp1Δp2…Δpn]T,

同樣，圓形平板的動(dòng)能為

(22)

式中：

對(duì)于肋條，其應(yīng)變表示為

(23)

(24)

式中:

從而可導(dǎo)出肋條的勢(shì)能

(25)

式中:

Δs=[Δs1Δs2…Δsm]T,

As為肋條截面面積。同樣，肋條的動(dòng)能表示為

(26)

式中：

疊加式(18)、(21)、(25)，整個(gè)彈性地基圓形加肋板的勢(shì)能可表示為

(27)

疊加式(22)、(26)，其總動(dòng)能可表示為

(28)

由式(15)、(17)給出的轉(zhuǎn)換方程，整個(gè)圓形加肋板的勢(shì)能和動(dòng)能可分別表示為

(29)

(30)

式中：

由Hamilton原理可導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)控制方程

(31)

進(jìn)而結(jié)構(gòu)的自振頻率由以下方程求出

(K-ω2M)Δp=0

(32)

1.6 彈性地基圓形加肋板的靜力彎曲控制方程

如圖4所示，一彈性地基圓形加肋板受面外荷載q(x,y)作用，該外力做的功為

圖4 彈性地基圓形加肋板受面外荷載作用

=?q(x,y)pdxdy

(33)

根據(jù)MLS可寫成

(34)

其中：

疊加應(yīng)變勢(shì)能和外力勢(shì)能(外力做功的相反數(shù))，有總勢(shì)能

(35)

由最小勢(shì)能原理δΠ=0可導(dǎo)出彈性地基圓形加肋板的靜力彎曲控制方程如下

KΔp=f

(36)

2 算例分析

2.1 收斂性分析

采用不同節(jié)點(diǎn)離散方案分析本文方法的收斂性。對(duì)一鉸接彈性地基單肋條圓形加肋板做自由振動(dòng)分析。板與肋條材料相同，材料和幾何參數(shù)為E=17 MPa，μ=0.3，R=0.5 m，hs=0.1 m，hp、ts均為0.01 m，λ= 4.0×104N/m3，ρ=1 000 kg/m3。背景網(wǎng)格尺寸均為0.12 m×0.12 m。

2.1.1 節(jié)點(diǎn)離散方案

如圖5所示，為確定統(tǒng)一的節(jié)點(diǎn)離散方案，將圓板分成n個(gè)同心圓，每個(gè)圓有6n個(gè)節(jié)點(diǎn)，肋條有2n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)。影響域擴(kuò)大系數(shù)dmax定義為

其中：r是節(jié)點(diǎn)的支撐半徑;dmax表示影響域的大小。在本算例中，dmax取值為4.0。用不同的節(jié)點(diǎn)離散方案獲得的前4階自振頻率如表1所示。其收斂曲線如圖6所示。研究表明，當(dāng)n大于6時(shí)，計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定，可認(rèn)為該節(jié)點(diǎn)離散方案使計(jì)算收斂。

圖5 圓形加肋板的節(jié)點(diǎn)離散方案

表1 不同節(jié)點(diǎn)離散方案下彈性地基單肋條圓板的頻率

圖6 不同節(jié)點(diǎn)離散方案下彈性地基單肋條圓板頻率隨離散階數(shù)的變化

2.1.2 影響域

在本算例中，圓板用169個(gè)節(jié)點(diǎn)離散，肋條用15個(gè)節(jié)點(diǎn)離散，即n為7。在不同dmax下獲得的自振頻率如表2所示。前4階自振頻率隨dmax的增加而變化的趨勢(shì)如圖7所示。研究表明, 當(dāng)dmax的取值大于3.0時(shí)，計(jì)算趨于穩(wěn)定。

表2 不同dmax下的彈性地基單肋條圓板頻率

圖7 彈性地基單肋條圓板在不同dmax下的頻率

通過(guò)對(duì)算例分析可知，本文方法收斂性好。當(dāng)圓板采用169個(gè)節(jié)點(diǎn)規(guī)則離散(即n=7)及dmax的取值在3.0～6.0之間的節(jié)點(diǎn)離散方案可給出滿意的計(jì)算結(jié)果。

2.2 有效性分析

采用上述無(wú)網(wǎng)格方法對(duì)彈性地基圓板進(jìn)行自由振動(dòng)分析。一彈性地基上的自由圓板的幾何和物理參數(shù)為：半徑R=1.0 m，板厚hs=0.1 m，彈性模量E=1.166 7×1010Pa，泊松比μ=0.166 7，密度ρ=2 460 kg/m3，基床系數(shù)λ=1.0×107N/m3。將本文方法計(jì)算得到的自振頻率與文獻(xiàn)[44]進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3所示。

表3 彈性地基上的自由圓板的頻率

采用上述無(wú)網(wǎng)格方法對(duì)彈性地基圓板進(jìn)行靜力彎曲分析。彈性地基上圓板作用一軸對(duì)稱圓形均布荷載，荷載作用半徑為0.18 m，均布力集度q為1 000 kN/m2，λ=5×104kN/m3，E=2.45×107kN/m3，μ=1/6，圓板半徑為1.35 m，板厚hs為0.25 m。將本文方法計(jì)算得到的撓度與文獻(xiàn)[45]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表4所示。

表4 彈性地基圓板受載的靜力撓度

結(jié)果表明，本文解與現(xiàn)有文獻(xiàn)解非常接近，相對(duì)誤差均在工程允許范圍內(nèi)。從而驗(yàn)證了本文方法的有效性。

2.3 彈性地基圓形加肋板的自由振動(dòng)分析

2.3.1 彈性地基單肋條圓板的自由振動(dòng)分析

在本算例中，一完全固支的彈性地基單肋條圓形加肋板的幾何參數(shù)為R=1.0 m，hp=0.012 m，hs=0.1 m，ts=0.01 m。板和肋條均采用相同的材料，E=206 GPa,μ=0.3，ρ=7 850 kg/m3，λ=6.0×104N/m3。圓板用169個(gè)節(jié)點(diǎn)離散，肋條用15個(gè)節(jié)點(diǎn)離散。同時(shí)，用ABAQUS軟件對(duì)圓形加肋板進(jìn)行三維建模，分析其自振頻率。用S4R單元模擬圓板和肋條。將本文方法計(jì)算得到的解與ABAQUS的結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如表5和圖8所示。用本文方法和ABAQUS得到的彈性地基圓形加肋板的第1階振型圖如圖9和圖10所示。

表5 彈性地基圓形平板和加肋板的頻率

圖8 本文頻率解與ABAQUS的頻率結(jié)果對(duì)比

(a) 圓形平板

(a) 圓形平板

結(jié)果表明，本文解和有限元解的相對(duì)誤差都小于5%, 充分證明了本文方法的有效性和準(zhǔn)確性。此外，從數(shù)據(jù)可以看出，加肋板的頻率明顯大于平板，這表明肋條對(duì)平板具有一定的約束作用。

2.3.2 彈性地基雙肋條圓板自由振動(dòng)分析

一彈性地基上的雙肋條圓形加肋板如圖11所示，其幾何參數(shù)為R=1.5 m，hs=0.12 m，hp、ts均為0.015 m，肋條的材料和板相同，材料參數(shù)為E=29.8 GPa，μ=0.2，λ=5.0×104N/m3，ρ=2 549 kg/m3。圓板采用169個(gè)節(jié)點(diǎn)離散，肋條采用15個(gè)節(jié)點(diǎn)離散。不同邊界條件下彈性地基圓形加肋板的自振頻率如表6所示。將其與ABAQUS的結(jié)果進(jìn)行了比較，相應(yīng)的結(jié)果對(duì)比曲線如圖12所示。用本文方法和ABAQUS得到的彈性地基雙肋條圓形加肋板的第1階振型分別如圖13和圖14所示。

圖11 彈性地基雙肋條圓形加肋板

表6 不同邊界下彈性地基圓形加肋板的頻率

圖12 本文頻率解與ABAQUS的頻率結(jié)果對(duì)比

(a) 固支

(a) 固支

如果肋條位置發(fā)生變化(圖15)，本文方法無(wú)需重新布置圓板和肋條的節(jié)點(diǎn)，僅需重新計(jì)算式(14)中的矩陣TP。而在ABAQUS計(jì)算中，所有的有限元網(wǎng)格都需要重構(gòu)。兩種方法計(jì)算得到的肋條位置改變時(shí)彈性地基圓形加肋板的自振頻率如表7所示，兩種方法得到結(jié)果的一致性較好。由于本文方法在肋條位置改變后無(wú)需重新布置節(jié)點(diǎn)，故適用于肋條位置的優(yōu)化。在肋條位置的數(shù)千次優(yōu)化嘗試中，省去了繁雜的網(wǎng)格重置工作，從而可見該方法在肋條位置重分布的結(jié)構(gòu)優(yōu)化計(jì)算方面具有很大的優(yōu)勢(shì)。

圖15 肋條位置改變的彈性地基圓形加肋板

表7 肋條位置改變的彈性地基圓形加肋板頻率

2.4 圓形加肋板的靜力彎曲分析

2.4.1 鉸接單肋條圓板的靜力彎曲分析

一鉸接彈性地基單肋條圓板如圖16所示，其幾何和材料參數(shù)為R=1.4 m，hp=0.03 m，hs=0.3 m，ts=0.02 m，彈性模量E和泊松比μ分別為29.8 GPa和0.2，λ=6.0×104N/m3。結(jié)構(gòu)受均布荷載集度大小為3 Pa。平面圓板采用169個(gè)節(jié)點(diǎn)離散，肋條采用15個(gè)節(jié)點(diǎn)離散。為了驗(yàn)證肋條的作用，對(duì)相同尺寸的彈性地基無(wú)肋條圓板也進(jìn)行了研究。板沿y=0方向的撓度計(jì)算結(jié)果如表8所示。用本文方法和ABAQUS得到的位移云圖分別如圖17和圖18所示，相應(yīng)的結(jié)果對(duì)比如圖19所示。結(jié)果表明，本文解與有限元解非常接近。此外，加肋板的撓度明顯小于無(wú)加肋平板，這意味著肋條起到了一定的約束作用。

圖16 受均布荷載作用下的彈性地基圓形加肋板

表8 彈性地基加肋板沿y=0方向的撓度

(a) 圓形平板

(a) 圓形平板

圖19 本文撓度解與ABAQUS的結(jié)果對(duì)比

2.4.2 彈性地基雙肋條圓形加肋板的靜力彎曲分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法在彈性地基圓形加肋板靜力分析中的有效性，將兩個(gè)雙肋條圓板分別固支與鉸接，如圖20所示。它們的幾何參數(shù)為R=0.7 m，hs=0.15 m，hp、ts均為0.02 m。材料參數(shù)為：楊氏模量E和泊松比μ分別為17 MPa和0.3，λ=4.0×104N/m3。彈性地基加肋板受局部均布荷載q=2 Pa。將169個(gè)節(jié)點(diǎn)用于離散平板，15個(gè)節(jié)點(diǎn)用于離散每一根肋條。板沿y=0方向的撓度計(jì)算結(jié)果如表9所示。用本文方法和ABAQUS得到的位移云圖分別如圖21及圖22所示，相應(yīng)的結(jié)果對(duì)比如圖23所示。

圖20 彈性地基雙肋條圓板受局部均勻荷載

表9 彈性地基加肋板沿y=0方向的撓度

(a) 固支

(a) 固支

圖23 本文解與ABAQUS的撓度對(duì)比

結(jié)果表明，本文解與有限元解非常接近。另外，從計(jì)算結(jié)果也可以看出，完全固支的加肋板撓度明顯小于鉸接加肋板的撓度，這表明了不同邊界條件具有不同的約束作用。

如果肋條位置發(fā)生變化(圖24)，本文方法無(wú)需重新布置板和肋條的節(jié)點(diǎn)，只需重新計(jì)算式(14)中的矩陣TP即可重新計(jì)算板的撓度(表10)。而在有限元法中，所有網(wǎng)格都需要重新劃分。該算例表明，本文方法可用于局部均布荷載作用下的肋條位置優(yōu)化。

圖24 肋條位置改變的彈性地基圓形加肋板

表10 肋條位置改變的彈性地基圓形加肋板的撓度

3 結(jié) 論

基于一階剪切理論和移動(dòng)最小二乘法，提出分析彈性地基上圓形加肋板彎曲的靜力及自由振動(dòng)問(wèn)題的無(wú)網(wǎng)格法。文中以不同基床系數(shù)、邊界條件、肋條布置形式的加肋板為例，將本文結(jié)果與有限元、文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比，得出了以下結(jié)論：

(1) 本文方法收斂速度快，計(jì)算穩(wěn)定性好。對(duì)于直徑是0.5 m的彈性地基加肋板，在節(jié)點(diǎn)數(shù)達(dá)到169個(gè)時(shí)，結(jié)果收斂；影響域因子dmax大于3.0時(shí)，結(jié)果趨于穩(wěn)定。

(2) 本文解與有限元、文獻(xiàn)解吻合好，相對(duì)誤差在工程允許范圍內(nèi)。在不同的基床系數(shù)、荷載、邊界及肋條布置方式下，本文方法可有效分析彈性地基上圓形加肋板線性彎曲的靜力和自由振動(dòng)問(wèn)題。

(3) 基于加肋板與肋條的離散點(diǎn)，通過(guò)兩者在接觸位置的位移協(xié)調(diào)建立了參數(shù)轉(zhuǎn)換方程，點(diǎn)與點(diǎn)之間沒(méi)有任何單元連接，當(dāng)肋條位置改變時(shí)，肋條與板各自的離散點(diǎn)不會(huì)發(fā)生改變。因此，本文方法可以實(shí)現(xiàn)肋條在圓板上任意布置，而不需要網(wǎng)格重置，只需重新計(jì)算轉(zhuǎn)換矩陣，非常適用于肋條優(yōu)化工作的研究。