黃如兵，田 凱

(1.安徽職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230011；2. 長鑫存儲技術(shù)有限公司，安徽 合肥 230009 )

0 引言

在市場競爭激烈，市場需求關(guān)系變化急劇的情況下[1]，掌握科學(xué)的經(jīng)營決策方法，將有效規(guī)避經(jīng)營風(fēng)險，為企業(yè)帶來最大的經(jīng)濟利益，對企業(yè)的生存和發(fā)展具有十分重要的意義[2].制造型企業(yè)的業(yè)務(wù)主要有：研發(fā)設(shè)計、采購原材料、生產(chǎn)加工、倉儲物流及產(chǎn)品銷售[3].基于目標(biāo)規(guī)劃的模型已廣泛應(yīng)用于社會生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域，常采用網(wǎng)絡(luò)流算法、列生成算法、遺傳算法及鄰域搜索等算法求解規(guī)劃模型[4]，這些算法都是指數(shù)級的，且主要通過建立單目標(biāo)規(guī)劃模型求解[5-6]，在多目標(biāo)場景中使用效果不好.本文結(jié)合生產(chǎn)實際中的約束條件，采用了非線性單一目標(biāo)規(guī)劃，建立了公司利潤最大算法模型，通過引入公司利潤和營銷部利潤權(quán)重系數(shù)，運用非線性多目標(biāo)規(guī)劃的方法，建立了公司與營銷部利益均衡化算法模型，綜合考慮公司利潤與營銷部利潤均衡化關(guān)系，構(gòu)建應(yīng)用模型，便于企業(yè)做出最有益于企業(yè)生產(chǎn)與銷售決策.

某企業(yè)下設(shè)營銷部，企業(yè)產(chǎn)品通過公司的營銷部對外銷售.在企業(yè)生產(chǎn)能力的限制和制約下，企業(yè)需要綜合考慮公司利潤與生產(chǎn)能力，制定生產(chǎn)與銷售決策，公司生產(chǎn)首先要對已簽定合同的訂單安排生產(chǎn)，同時要兼顧意向簽約訂單進(jìn)行有計劃的安排生產(chǎn).一方面，企業(yè)生產(chǎn)要供應(yīng)已簽約的銷售訂單合同；另一方面，企業(yè)要激勵營銷部門與意向簽約客戶達(dá)成合作，簽訂正式訂單合同.對于已簽約銷售合同和意向簽約量，企業(yè)根據(jù)銷售量向營銷部發(fā)放經(jīng)費(包括工資以及宣傳費用等).此外，企業(yè)還希望銷售部門努力再多銷售一些計劃外產(chǎn)品.對于計劃外銷售的產(chǎn)品，實行承包制，營銷部向企業(yè)繳納利潤.產(chǎn)品的生產(chǎn)費用由企業(yè)承擔(dān)，與銷售有關(guān)的費用(如產(chǎn)品的宣傳費用等)由營銷部承擔(dān).本文研究在該模式下企業(yè)的產(chǎn)品生產(chǎn)、銷售模型.

1 公司利潤最大化模型

分析公司利潤組成可知，其分為兩部分[7]：計劃內(nèi)產(chǎn)品所獲得利潤和營銷部向公司上交的計劃外產(chǎn)品利潤.其中，計劃內(nèi)的已簽約產(chǎn)品是公司必須安排生產(chǎn)的部分，意向簽約產(chǎn)品和計劃外簽約產(chǎn)品是公司根據(jù)需要選擇生產(chǎn)的部分.公司的利潤可以表述為

公司利潤=銷售額-成本-銷售產(chǎn)品的經(jīng)費+營銷部上繳的利潤.

1.1 模型假設(shè)

(1)銷售部作為公司一個下屬機構(gòu)的同時，又是一個獨立的利益團體；

(2)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本中，包括原材料、輔助材料、制造費用和公司人員工資等費用；

(3)各意向客戶簽訂合同是獨立事件；

(4)已簽約合同必須履行；

(5)產(chǎn)銷平衡，無庫存.

1.2 符號說明

Mj：第j類產(chǎn)品的年實際生產(chǎn)量，單位：萬個；

Hi：第i種產(chǎn)品的年實際生產(chǎn)量，單位：萬個；

Qa(i)：第i種產(chǎn)品的已簽約量，單位：萬個；

qa(i,l)：第l個已簽約客戶，對第i種產(chǎn)品的簽約量，單位：萬個；

Qb(i)：第i種產(chǎn)品的意向簽約量，單位：萬個；

qb(i,m)：第m個意向簽約客戶，對第i種產(chǎn)品的簽約量，單位：萬個；

Qc(i)：第i種產(chǎn)品的計劃外簽約量，單位：萬個；

xi：第i種產(chǎn)品，計劃內(nèi)的產(chǎn)量，單位：萬個；

yi：第i種產(chǎn)品，計劃外的產(chǎn)量，單位：萬個；

α(Hi)：第i種產(chǎn)品，生產(chǎn)量為Hi時的成本，單位：萬元；

β(xi)：第i種產(chǎn)品，計劃內(nèi)銷售量為xi時的銷售經(jīng)費，單位：萬元；

γ(qa(i,l))：第i種產(chǎn)品，銷售量為qa(i,l)時的銷售額，單位：萬元；

g(yi)：第i種產(chǎn)品，計劃外銷售量為yi時營銷部向公司繳納的利潤，單位：萬元；

E(Qa(i),Qb(i))：第i種產(chǎn)品，已簽約量為Qa(i)、意向簽約量為Qb(i)時的銷售額，單位：萬元；

D(xi,yi)：第i種產(chǎn)品，計劃內(nèi)生產(chǎn)量xi、計劃外生產(chǎn)量為yi時的成本，單位：萬元.

1.3 公司利潤最大化模型構(gòu)建

計劃內(nèi)產(chǎn)品銷售額由已簽約產(chǎn)品和意向簽約產(chǎn)品兩部分銷售額組成，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(1)

產(chǎn)品的總生產(chǎn)成本由計劃內(nèi)和計劃外兩部分產(chǎn)品的成本組成，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

D(xi,yi)=α(xi+yi).

(2)

公司的利潤表達(dá)式為

(3)

將(1)、(2)代入(3)得公司利潤最大化模型：

(4)

公式(4)中各函數(shù)的表達(dá)式如下：

α(xi+yi)=
Aα(i)(xi+yi)3+Bα(i)(xi+yi)2+
Cα(i)(xi+yi)+Dα(i)，

(5)

(6)

γ(qa(i,l))=
Aγ(i)qa(i,l)3+Bγ(i)qa(i,l)2+
Cγ(i)qa(i,l)+Dγ(i)，

(7)

(8)

公式(5)(6)(7)和(8)中，變量Aα(i)、Aβ(i)、Aγ(i)、Ag(i)分別表示成本函數(shù)、銷售產(chǎn)品經(jīng)費函數(shù)、銷售額函數(shù)和上繳給公司利潤函數(shù)的各項系數(shù).

模型中各函數(shù)變量關(guān)系約束如下：

(9)

2 公司與營銷部利潤均衡化模型

產(chǎn)品銷售所獲得的總利潤等于公司利潤與銷售部利潤之和.公司利潤最大化與營銷部利潤最大化是彼此對立的.對于兩者利益的兼顧問題，可以通過設(shè)定其獲得利潤占總利潤的比例來解決.根據(jù)公司利潤的關(guān)系式，營銷部的利潤可由營銷部的收入減去其支出得到.營銷部利潤可以表述為

營銷部利潤=營銷部收入-計劃內(nèi)銷售費用-計劃外上繳利潤-計劃外宣傳費用.

2.1 模型假設(shè)

(1)計劃外銷售的產(chǎn)品也需要宣傳費用，且由宣傳部承擔(dān)；

(2)銷售部利潤不超過總利潤40%.

2.2 符號說明

η(xi)：第i種產(chǎn)品，銷售量xi為時的宣傳費用，單位：萬元；

Rg：公司利潤；

Ry：營銷部利潤；

σg：公司利潤占產(chǎn)品銷售總利潤的比例；

σg：營銷部利潤占產(chǎn)品銷售總利潤的比例.

2.3 公司與營銷部利潤均衡化模型建立

由公司利潤最大化模型可知，公司利潤表達(dá)式為

(10)

結(jié)合問題2，得到營銷部利潤表達(dá)式：

(11)

建立公司、營銷部利益均衡化模型：

(12)

(13)

模型參數(shù)約束如下：

(14)

3 算例分析

某電器公司2021年計劃生產(chǎn)3類10種產(chǎn)品，其中包括：熱水壺(1.5升，1.8升，2升)、豆?jié){機(0.9升，1.1升，1.3升)、電飯煲(2升，2.5升，3升，3.5升).

3類產(chǎn)品的年最大生產(chǎn)能力分別為：

熱水壺：5萬個；豆?jié){機：6.5萬個；電飯煲6.2萬個.

請分別按照以使公司的利潤達(dá)到最大和兼顧公司和營銷部二者的利益分別為該電器公司制定相應(yīng)的生產(chǎn)、銷售計劃.

3.1 公司利潤最大化產(chǎn)銷方案

已簽約產(chǎn)品的簽約量約束

(15)

意向簽約產(chǎn)品的簽約量約束

(16)

計劃外簽約產(chǎn)品的簽約量約束

(17)

3類產(chǎn)品年生產(chǎn)能力約束

(18)

使用Matlab軟件對生產(chǎn)成本與生產(chǎn)量關(guān)系數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合，其各項系數(shù)計算結(jié)果見表1所列.

表1 成本函數(shù)系數(shù)表

對銷售額與銷售量關(guān)系數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合，所得各項系數(shù)計算結(jié)果見表2所列.

表2 銷售額函數(shù)系數(shù)表

對銷售經(jīng)費與銷售量數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合，β(xi)各項系數(shù)計算結(jié)果見表3所列.

表3 銷售產(chǎn)品的經(jīng)費函數(shù)系數(shù)表

對營銷部繳納的利潤與銷售量數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合，g(yi)各項系數(shù)計算結(jié)果見表4所列.

根據(jù)已經(jīng)建立的公司利潤最大化模型，及有關(guān)擬合函數(shù)，運用Lingo軟件對模型進(jìn)行求解[8]，得到公司利潤最大時的產(chǎn)銷方案，詳見表5.

方案結(jié)果分析：

(1)公司利潤最大時，計劃外的簽約量為零，這說明計劃外銷售的產(chǎn)品并不能增加公司的利潤(但并不是說銷售的產(chǎn)品不能產(chǎn)生利潤)，其銷售所得的利潤流向了營銷部；進(jìn)一步分析可以看出，隨著生產(chǎn)、銷售規(guī)模的擴大，公司會逐漸從計劃外銷售的產(chǎn)品中獲得利潤.這些規(guī)律在題目的表2、表4和表5中，也可得具體的體現(xiàn).

表4 營銷部繳納的利潤與銷售量函數(shù)系數(shù)表

表5 公司利潤最大時的產(chǎn)銷方案 單位：萬件

(2)計劃內(nèi)部分，公司并不是對所有種類產(chǎn)品都按最大生產(chǎn)能力進(jìn)行生產(chǎn)，這說明部分產(chǎn)品在一定的生產(chǎn)規(guī)模內(nèi)，公司存在“虧本”的可能.

3.2 公司與營銷部利益均衡化產(chǎn)銷方案

使用Matlab軟件對宣傳費用與銷售量關(guān)系數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合，各項系數(shù)計算結(jié)果見表6所列.

表6 宣傳費用函數(shù)系數(shù)表

運用Lingo軟件對模型進(jìn)行求解，得到營銷部利潤占產(chǎn)品利潤15%的產(chǎn)銷方案，詳見表7所列.

表7 銷售部利潤占產(chǎn)品總利潤15%時的產(chǎn)銷方案 單位：萬件

運用Lingo軟件對模型進(jìn)行求解，得到營銷部利潤占產(chǎn)品利潤25%的產(chǎn)銷方案，詳見表8所列.

表8 銷售部利潤占產(chǎn)品總利潤25%時的產(chǎn)銷方案 單位：萬件

方案結(jié)果分析：

(1)隨著模型中設(shè)置的營銷部利潤比例從10%上升到25%，產(chǎn)品的總利潤在不斷增加.

(2)在不設(shè)置營銷部利潤占產(chǎn)品總利潤，且只追求產(chǎn)品銷售利潤最大時，可以得到總利潤約為1790.18萬元，此時營銷部和公司的利潤比例大約在3:7.

4 總結(jié)與改進(jìn)

本文通過研究HY電器公司2021年相關(guān)數(shù)據(jù)，利用非線性規(guī)劃中的單一目標(biāo)規(guī)劃方案與多目標(biāo)規(guī)劃方案分別制定了滿足不同要求下的生產(chǎn)、銷售方案，不僅實現(xiàn)了公司利潤最大化以及營銷部總收入極大化，同時兼顧了客戶利益，達(dá)到了均衡銷售.

采用運籌學(xué)中的非線性目標(biāo)規(guī)劃方法，克服了線性規(guī)劃方法目標(biāo)函數(shù)單一、約束條件苛刻、無法解決矛盾條件下的規(guī)劃問題等缺點.在多目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)中，使用目標(biāo)優(yōu)先級系數(shù)，恰好解決了公司、銷售部和客戶利益均衡的問題.文章基于目標(biāo)規(guī)劃構(gòu)建的算法模型，通過實際算例分析驗證，求得模型最優(yōu)方案，有益于企業(yè)的生產(chǎn)與銷售決策.