孫丹丹, 馬 麗， 何琪安， 周 迅， 周 玲

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830052)

傳染病(Infectious Diseases)是由各種病原體引起的能在人與人、動(dòng)物與動(dòng)物或人與動(dòng)物之間相互傳播的一類疾病.中國目前法定報(bào)告?zhèn)魅静》譃榧?、乙、?類,共40種.回顧歷史,傳染性疾病伴隨著人類出現(xiàn)而出現(xiàn),它對人口數(shù)量、經(jīng)濟(jì)增長、技術(shù)演進(jìn)、國家建設(shè)、王朝興衰甚至文明的滅絕都有至關(guān)重要的影響.當(dāng)今社會人們開始通過定量研究建立傳染病的數(shù)學(xué)模型,可為預(yù)測和控制傳染病提供可靠足夠的信息[1—5].目前預(yù)防各類傳染病最直接、有效的方法是接種疫苗,但由于受種者個(gè)體差異、疫苗保護(hù)率達(dá)不到100%、年齡增長等原因,接種疫苗所產(chǎn)生的抗體會逐漸減少,受種者可能重新成為疾病易感者被感染.因此為了更好體現(xiàn)疫苗效果,且加強(qiáng)疫苗對傳染病的制約,很多地方對具體傳染病采取二次接種,這就為我們建立二次疫苗接種的模型提供了現(xiàn)實(shí)依據(jù).例如文獻(xiàn)[6—7]建立了一類具有二次接種的麻疹模型并進(jìn)行穩(wěn)定性分析,得到控制麻疹的理論依據(jù).文獻(xiàn)[8]研究了一類具有二次感染和接種的兩病株流行病模型等.本文在已有研究的基礎(chǔ)上,全面總結(jié)考慮了一類二次接種的傳染病模型.

1 模型的建立

本節(jié)將建立一類具有兩次疫苗接種的SV1V2IR傳染病模型(圖1).這里假設(shè)人口出生為常數(shù),忽略二次接種后的疾病感染和治愈后的疾病復(fù)發(fā),同時(shí)考慮因病死亡.基于傳染病流行病學(xué),建立如下數(shù)學(xué)模型:

(1)

其中:S(t),V1(t),V2(t),I(t),R(t)分別表示t時(shí)刻的易感者、第一次接種者、第二次接種者、疾病感染者和恢復(fù)者的數(shù)量;Λ表示新生兒出生率;p1表示第一次接種率;p2表示第二次接種率;k表示第二次接種后獲得的終生免疫率;γ表示感染者轉(zhuǎn)為恢復(fù)者的治愈率;μ表示疾病的自然死亡率;δ表示因病死亡率;β表示傳染病的感染率;θβ表示第一次接種后的感染率(0≤θ<1),這里的參數(shù)都是非負(fù)的.

觀察可知系統(tǒng)(1)的最后一個(gè)方程與其他方程沒有關(guān)系,因此只需研究如下子系統(tǒng):

(2)

圖1 模型的倉室圖

2 模型的平衡點(diǎn)與基本再生數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[10],利用基本再生矩陣的方法計(jì)算系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù).

首先,按(I,S,V1,V2)的順序?qū)⑾到y(tǒng)(2)改寫為

(3)

改變系統(tǒng)(3)為

感染的倉室是I,從而

DF(E0)=

DV(E0)=

因此,可得

計(jì)算特征方程|FV-1-λE|=0得

定理1模型總存在無病平衡點(diǎn);當(dāng)R0>1時(shí),存在唯一的地方病平衡點(diǎn).

現(xiàn)在確定系統(tǒng)(2)正平衡點(diǎn)的存在性.由系統(tǒng)(2)的前3個(gè)方程解得

(4)

代入系統(tǒng)(2)的第4個(gè)方程可得

a1I*2+a2I*+a3=0,

(5)

其中

a1=-θβ2(μ+δ+γ),

a2=θβ2Λ-(μ+δ+γ)(βp2+βμ+θβp1+θβμ),

a3=θβΛp1+βΛp2+βΛμ-

(μ+δ+γ)(p1+μ)(p2+μ)=

(μ+δ+γ)(p1+μ)(p2+μ)(R0-1).

(ⅱ)當(dāng)R0<1時(shí),a1<0,a3<0并且

從而有θβΛ<(μ+δ+k)(μ+p2),因此

a2<β(μ+δ+γ)(p2+μ)-

(μ+δ+γ)(βp2+βμ+θβp1+θβμ)=

-(μ+δ+γ)(θβp1+θβμ)<0.

根據(jù)韋達(dá)定理可知當(dāng)R0<1時(shí)不存在正平衡點(diǎn).定理1得證.

3 穩(wěn)定性分析

定理2當(dāng)R0<1時(shí),無病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí),E0不穩(wěn)定但地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定.

證明系統(tǒng)(2)的Jacobi矩陣為J(E)(見附錄)，而在E0處的Jacobi矩陣為J(E0)(見附錄),其特征方程為|λE-J(E0)|=0,即

(λ+p1+μ)(λ+p2+μ)(λ+k+μ)[λ+

(μ+δ+γ)(1-R0)]=0.

(6)

顯然

λ1=-(p1+μ),λ2=-(p2+μ),

λ3=-(k+μ),λ4=-(μ+δ+γ)(1-R0).

容易得到當(dāng)R0<1時(shí),方程(6)所有的特征值具有負(fù)實(shí)部;當(dāng)R0>1時(shí),方程(6)存在一個(gè)正根,即結(jié)論成立.

系統(tǒng)(2)在E*處的Jacobi矩陣為J(E*)(見附錄),令m=βI*+p1+μ>0,n=θβI*+p2+μ>0,g=μ+k>0,則其特征方程為|λE-J(E*)|=0,即

(λ+g)(λ3+a1λ2+a2λ+a3)=0.

(7)

顯然λ1=-g.其他的特征值由下列方程決定

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0.

(8)

其中

所以

β2S*I*(βI*+p1+μ-θp1)≥0.

由Hurwitz判據(jù)可知方程(8)所有的特征根具有負(fù)實(shí)部,即方程(7)所有的特征根具有負(fù)實(shí)部,結(jié)論成立.

定理3當(dāng)R0<1時(shí),E0全局漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí),E*全局漸近穩(wěn)定.

證明當(dāng)R0<1時(shí),構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

θβV1I+βSI-(μ+δ+γ)I=

(μ+δ+γ)(R0-1).

當(dāng)R0>1時(shí),構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

由于

Λ-βS*I*-(p1+μ)S*=0,

沿著系統(tǒng)(2)的全導(dǎo)數(shù)為

βS*I*+p1S*+μS*-μS-

4 數(shù)值模擬

由理論分析可知閾值是判斷疾病是否傳播的主要標(biāo)準(zhǔn),故研究基本再生數(shù)可用于判斷傳染病是否流行[12-13].偏置相關(guān)系數(shù)(PRCC)已被廣泛用于分析參數(shù)的敏感性,因此為檢測所建立模型中參數(shù)變化的敏感性,我們用偏置相關(guān)系數(shù)確定各類參數(shù)對閾值的影響程度,從而確定控制疾病的必要因素.本文所建立模型的閾值為

可知β,θ對R0的影響是正向的,γ,δ對R0的影響是反向的.取樣本空間n=1 500,作為輸入變量,而將R0的值作為輸出參數(shù),可計(jì)算出影響R0的6個(gè)參數(shù)的PRCC值(表1).這些PRCC排序所對應(yīng)參數(shù)對基本再生數(shù)R0的變異性的影響程度,可通過PRCC的絕對值的大小反映,而加(減)號分別表示影響為正(反)向.這些值的絕對值排序決定了基本再生數(shù)R0的變異性,絕對值越大的參數(shù)對R0的變化影響越大.由表1可知,θ,β,δ對R0有正向影響,而p1,p2,γ對R0有反向影響;β對R0的影響最大,其次是第一次接種率p1,最后是疾病的感染者轉(zhuǎn)為恢復(fù)者的比率γ,而傳染病的因病死亡率δ和第一次接種后的感染系數(shù)θ對R0的影響是比較小的.

綜上可得控制傳染病傳播的有效措施如下:

(ⅰ)控制感染率,為此易感者應(yīng)注意避免接觸感染者;同時(shí)對感染者進(jìn)行管控,最終達(dá)到降低感染率的效果.

(ⅱ)從結(jié)果中易知,第二次接種對降低傳染病的發(fā)生和傳播的作用沒有預(yù)期重要,而第一次接種可以通過抑制R0的增長有效控制疾病,故應(yīng)重視疾病的第一次接種,在合適的年齡盡快接種,且不可寄希望于二次接種.

(ⅲ)加強(qiáng)對感染者的救治,盡量縮短治愈周期,避免疾病傳播.

表1 6個(gè)參數(shù)的PRCC值

5 結(jié)語

本文分析了一類具有接種免疫的SV1V2IR傳染病模型.首先,用下一代再生矩陣的方法計(jì)算出模型的基本再生數(shù)R0并求得模型的無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn).其次,通過線性化、Hurwitz判據(jù)和構(gòu)造適當(dāng)Lyapunov函數(shù)等方法證明了當(dāng)R0<1時(shí),模型僅存在的無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí),無病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定,存在全局漸近穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn).最后對模型做數(shù)值模擬,用偏置相關(guān)系數(shù)(PRCC)的方法,得到接觸率、第一次接種率和恢復(fù)率對防治傳染病的傳播擴(kuò)散有很大的作用.