寧青杰，施立品，唐 兵，張寶寧

（中國礦業(yè)大學(xué)（北京）機(jī)電與信息工程學(xué)院，北京 100083）

1 引言

液壓支架結(jié)構(gòu)件尺寸大，多為拼焊而成的箱型結(jié)構(gòu)件，需要由多個小跨度焊接機(jī)器人同時焊接，作業(yè)效率較低[1]。隨著大采高開采以及深部開采的煤礦的日益增多，液壓支架面臨著更加嚴(yán)峻的考驗(yàn)，其失效的可能性不斷上升，機(jī)械設(shè)備需要更高的可靠性。液壓支架承受重載和沖擊的主要零部件多由中厚板材焊接而成的箱型結(jié)構(gòu)件組成。液壓支架的強(qiáng)度直接影響煤礦安全生產(chǎn)［2］。

機(jī)器人的智能化促進(jìn)了焊接技術(shù)的不斷創(chuàng)新[3]。焊接機(jī)器人不僅能夠高質(zhì)量地完成焊接任務(wù)，而且也能代替工人完成既危險又復(fù)雜的高強(qiáng)度工作，從而節(jié)省人力資源，降低生產(chǎn)成本，在國內(nèi)外均有著廣闊的應(yīng)用前景。通過仿真，可節(jié)省優(yōu)化焊接軌跡所用的時間，提高焊接效率，滿足生產(chǎn)需求[4]。機(jī)器人末端手腕（TCP）所能到達(dá)的工作區(qū)域以及角位移、角速度和角加速度的連續(xù)性是衡量焊接效率、精度和質(zhì)量的重要指標(biāo)[5]，是焊接機(jī)器人設(shè)計、運(yùn)動學(xué)分析和運(yùn)動控制過程中亟待處理和解決的關(guān)鍵性問題。

在求解機(jī)器人工作空間的多種方法中，數(shù)值法的應(yīng)用最為廣泛。蒙特卡洛法[6]是一種數(shù)值分析方法，在多于三自由度的機(jī)器人研究中，通常用于求解其工作空間[7]。采用數(shù)值分析方法，通過調(diào)用Robotics Toolbox工具箱中的5次多項式j(luò)traj函數(shù)，對關(guān)節(jié)空間PTP軌跡規(guī)劃進(jìn)行仿真分析研究。

2 焊接機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)分析

液壓支架焊接機(jī)器人是專門針對液壓支架大型結(jié)構(gòu)件的焊接任務(wù)所配備的專用工業(yè)機(jī)器人，以六自由度串聯(lián)機(jī)器人居多。焊接機(jī)器人SR165的空間結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示。

圖1 焊接機(jī)器人SR165的空間結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Space Structure Diagram of Welding Robot SR165

2.1 建立連桿坐標(biāo)系

焊接機(jī)器人SR165由多個關(guān)節(jié)軸和連桿組成，在三維空間中實(shí)現(xiàn)多自由度運(yùn)動。用ai、αi、di和θi四個參數(shù)來描述相鄰兩桿之間的相對關(guān)系[8]，分別稱為連桿長度、連桿扭角、連桿偏距和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，如圖2所示。

圖2 連桿關(guān)節(jié)軸關(guān)系圖Fig.2 Connecting Rod Joint Axis Diagram

建立相對應(yīng)的坐標(biāo)系后再進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，可得焊接機(jī)器人SR165末端焊槍的位姿。這種用連桿參數(shù)表達(dá)機(jī)械機(jī)構(gòu)運(yùn)動的方法稱為Denavit?Hartenberg參數(shù)法[9?10]，簡稱D?H參數(shù)法。

2.2 正運(yùn)動學(xué)模型建立與求解

2.2.1 正運(yùn)動學(xué)建模

焊接機(jī)器人末端焊槍的位置和姿態(tài)由連桿運(yùn)動鏈相鄰連桿的運(yùn)動狀態(tài)疊加而成，通過D?H參數(shù)法進(jìn)行描述。假設(shè)桿1相對于基坐標(biāo)的位姿表達(dá)為，那么桿i相對于基坐標(biāo)的最終位姿就是前面相鄰齊次變換矩陣相乘后的積。

式中：[n o a]—姿態(tài)向量；

P—位置向量。

在串聯(lián)的運(yùn)動鏈中，相鄰兩連桿之間的廣義變換矩陣如下：

式中：αi?1—連桿扭角；ai?1—連桿長度；θi—關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角；di—連桿偏距。

機(jī)器人SR165以垂直關(guān)節(jié)居多，采用經(jīng)典D?H參數(shù)法建模，以下為機(jī)器人各關(guān)節(jié)的運(yùn)動簡圖，如圖3所示。

圖3 機(jī)器人SR165關(guān)節(jié)運(yùn)動簡圖Fig.3 Robot SR165 Joint Motion Diagram

從圖3可知，前、后三個關(guān)節(jié)分別決定了焊接機(jī)器人SR165前端的焊槍在工作空間中的位置和姿態(tài)。

根據(jù)D?H 參數(shù)法，確定相鄰坐標(biāo)系之間的變化轉(zhuǎn)換關(guān)系。焊接機(jī)器人SR165的D?H參數(shù)，如表1所示。

表1 機(jī)器人SR165 D-H參數(shù)Tab.1 D-H Parameters of Robot SR165

2.2.2 正運(yùn)動學(xué)求解

根據(jù)機(jī)器人設(shè)計值確定出四個連桿參數(shù)，代入公式（3）即可求得相鄰兩桿之間的位姿變換矩陣：

式中：cθi=cos(θi)；sθi=sin(θi)；cαi?1=cos(αi?1)；sαi?1=sin(αi?1)。分別帶入αi?1、ai?1、θi和di，可得轉(zhuǎn)換矩陣分別為

上面每一個相鄰桿件的變換矩陣都是關(guān)于轉(zhuǎn)角θi的函數(shù)，把帶入?yún)?shù)的六個變換矩陣依次相乘計算出四階的位姿變換矩陣，若六個轉(zhuǎn)角θi值已知，便可確定末端焊槍位姿，轉(zhuǎn)換矩陣如下：

式中：[nx ny nz]T、[ox oy oz]T、[ax ay az]T—機(jī)器人SR165焊槍末端姿態(tài)坐標(biāo)向量；[px py pz]T—位置坐標(biāo)向量。通過MATLAB的求解運(yùn)算獲得變換矩陣，這個（4×4）矩陣中的12個元素分別為：

式中：c23和s23是cos（θ2+θ3）和sin（θ2+θ3）的簡寫，其中i，j=1…6。

3 焊接機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)分析

3.1 逆運(yùn)動學(xué)代數(shù)求解

上節(jié)通過建立焊接機(jī)器人SR165正運(yùn)動學(xué)模型，計算出（4×4）階的轉(zhuǎn)換矩陣，把已知各關(guān)節(jié)的實(shí)際旋轉(zhuǎn)角度值代入正解方程，即可得到機(jī)器人SR165末端焊槍的位姿。

用齊次矩陣形式建立機(jī)器人SR165數(shù)學(xué)模型，用矩陣法計算機(jī)器人的逆解，六個關(guān)節(jié)角的求解過程如下。

3.1.1 求解θ1

使方程（6）兩邊矩陣（2，4）元素分別對應(yīng)相等可得：

計算可得：

θ1=atan()，易知θ1有唯一解。

3.1.2 求解θ2

使方程（8）等式兩邊矩陣（1，4）和（2，4）元素對應(yīng)相等可得：

移項，方程（10）變?yōu)橄率剑?/p>

令k1=c1rx+s1ry，

方程（10）和（11）兩邊平方后分別對應(yīng)相加可得：

易知θ2有兩個解。

3.1.3 求解θ3

式（11）中：令k3=c2(c1rx+s1ry)?s2rz?a1c2?a2

3.1.4 求解θ4、θ5

使方程（13）等號兩邊矩陣（1，3）、（2，3）和（3，3）元素分別對應(yīng)相等可得：

由式（14）和式（16）可得：

由（15）可得：θ5=±arcos(?r33c23?c1r13s23?r23s1s23)

易知θ4有唯一解，θ5有兩個解。

3.1.5 求解θ6

使方程（13）等式兩邊矩陣（2，1）和（2，2）元素分別對應(yīng)相等可得：

聯(lián)立式（17）和式（18）可得：

綜上所述，對于焊接機(jī)器人SR165的同一種位姿，共有8種可能的關(guān)節(jié)角度組合。

4 SR165焊接機(jī)器人工作空間分析

4.1 6DOF焊接機(jī)器人工作范圍分析

運(yùn)用集合的概念，焊接機(jī)器人SR165的工作空間為其末端焊槍所能到達(dá)的三維空間中所有點(diǎn)的集合，其工作空間的數(shù)學(xué)表示，如式（19）所示。

4.2 蒙特卡羅法工作域分析

蒙特卡羅法是一種可用于求解機(jī)器人工作空間的基于隨機(jī)概率的數(shù)值法。用該方法求解機(jī)器人的工作空間可分為以下四個步驟：

（1）由正運(yùn)動學(xué)方程可得末端點(diǎn)的位置向量如下：

式中：a1=350mm；a2=1100mm；a3=260mm；d4=1110mm。

（2）確定各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍，調(diào)用MATLAB中的隨機(jī)值函數(shù)RAND（），用最大轉(zhuǎn)角減去最小轉(zhuǎn)角后與RAND（）函數(shù)相乘，即可得到各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角相對應(yīng)的步長變量，即(?)×RAND()，從而可得各關(guān)節(jié)隨機(jī)變量為：

（3）將式（21）中的六個隨機(jī)變量分別帶入到式（20）中的元素Px、Py和Pz中，即可得到焊接機(jī)器人SR165末端焊槍所能到達(dá)的所有空間點(diǎn)集。

（4）根據(jù)具體要求設(shè)置循環(huán)次數(shù)，通過MATLAB編程實(shí)現(xiàn)該算法，輸出結(jié)果，實(shí)現(xiàn)工作空間仿真分析。以下為蒙特卡羅法步驟[12]，如圖4所示。

圖4 蒙特卡羅法步驟示意圖Fig.4 Monte Carlo Method Steps

圖5 二維及三維工作空間云圖Fig.5 2D and 3D Workspace Cloud Map

從圖5可知，焊接機(jī)器人SR165末端焊槍所能到達(dá)的區(qū)域與仿真工作空間的尺寸相對應(yīng)，分布在各個投影面上的隨機(jī)點(diǎn)組成的云圖較均勻，沒有明顯空洞現(xiàn)象。焊接機(jī)器人SR165工作空間云圖形狀緊湊，MATLAB仿真結(jié)果與實(shí)際工作空間相一致，能夠滿足大范圍跨度鋼件的焊接要求。

5 6DOF焊接機(jī)器人末端軌跡規(guī)劃

空間軌跡規(guī)劃包括關(guān)節(jié)空間規(guī)劃與笛卡爾空間規(guī)劃[14]，兩種軌跡規(guī)劃各有優(yōu)缺點(diǎn)。充分利用兩種規(guī)劃的優(yōu)點(diǎn)，使其末端既能到達(dá)指定的位置又能使其末端軌跡連續(xù)平滑，5.1節(jié)中使用MAT‐LAB軟件對焊接機(jī)器人SR165進(jìn)行建模，并分別對兩種規(guī)劃進(jìn)行仿真分析。

5.1 6DOF焊接機(jī)器人MATLAB三維建模

使用Robotics Toolbox 工具箱，對焊接機(jī)器人SR165進(jìn)行三維建模，調(diào)用SerialLink函數(shù)將六個連桿連接起來構(gòu)成一個運(yùn)動鏈，生成的機(jī)器人SR165模型，如圖6所示。調(diào)用teach函數(shù)彈出機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動器，可以通過調(diào)節(jié)或鍵入弧度值實(shí)現(xiàn)機(jī)器人驅(qū)動效果，如圖7所示。通過滑動滑塊即可將機(jī)器人末端焊槍運(yùn)動到指定的位姿。

圖6 焊接機(jī)器人在qA狀態(tài)下的三維圖Fig.6 3?D Diagram of the Welding Robot in qA State

圖7 焊接機(jī)器人驅(qū)動調(diào)節(jié)器Fig.7 Welding Robot Drive Regulator

5.2 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃

調(diào)用Robotics Toolbox 工具箱中的q=jtraj（qA，qB，t）函數(shù)，其中分別表示各個關(guān)節(jié)的起點(diǎn)和終點(diǎn)的角度，默認(rèn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)速度均為零［3］。使用畫圖命令plot可以得到焊接機(jī)器人在qB狀態(tài)下的三維圖，如圖8所示。使用畫圖命令plot3可以得到焊接機(jī)器人在qB狀態(tài)下末端軌跡圖，如圖9所示。

圖8 焊接機(jī)器人在qB狀態(tài)下的三維圖Fig.8 3?D Diagram of the Welding Robot in qB State

圖9 焊接機(jī)器人末端軌跡Fig.9 End Trajectory of Welding Robot

為了在關(guān)節(jié)空間中規(guī)劃機(jī)器人的運(yùn)動軌跡，需要設(shè)定運(yùn)動起點(diǎn)與終點(diǎn)，取起點(diǎn)qA=［0 ?pi/2 ?pi/2 0pi/2 0］，終點(diǎn)qB=［pi/2pi/3 0?pi/6 ?pi/3 ?pi/2］，運(yùn)動時間設(shè)定為10s，分別對六個關(guān)節(jié)進(jìn)行仿真分析研究。

調(diào)用jtraj函數(shù)對焊接機(jī)器人SR165關(guān)節(jié)空間進(jìn)行5次多項式插值，調(diào)用plot中的q、qd和qdd函數(shù)，得到各關(guān)節(jié)的角位移、角速度和角加速度隨時間變化的曲線圖，分別如圖10、圖11和圖12所示。

圖10 各關(guān)節(jié)角位移曲線Fig.10 Angular Displacement Curve of Each Joint

圖11 各關(guān)節(jié)角速度曲線Fig.11 Angular Velocity Curve of Each Joint

觀察圖10~圖12中曲線，可知機(jī)器人SR165在運(yùn)動過程中角位移、角速度和角加速度曲線光滑平穩(wěn)，無突變位置，說明機(jī)器人各個連桿之間沒有發(fā)生錯位的現(xiàn)象，角位移從起點(diǎn)隨著時間的推移運(yùn)動到終點(diǎn)，各關(guān)節(jié)的角位移均未出現(xiàn)突變現(xiàn)象。

圖12 各關(guān)節(jié)角加速度曲線Fig.12 Angle Acceleration Curve of Each Joint

關(guān)節(jié)1、2、3的角速度前5s逐漸上升，5s時達(dá)到最大速度，后5s逐漸下降為零，關(guān)節(jié)4、5、6的角速度恰好相反。

各個關(guān)節(jié)角加速度先正后負(fù)與其各關(guān)節(jié)速度先增大后減小相對應(yīng)，因此該關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃是合理的。

5.3 笛卡爾空間軌跡規(guī)劃

以直線為例進(jìn)行笛卡爾空間軌跡規(guī)劃，取起點(diǎn)T1=transl（378.16，1753.39，1023.82），終點(diǎn)T2=（587.932，1720.327，880.306），運(yùn)行時間設(shè)為10s，調(diào)用Robotics Toolbox 工具箱中的五次多項式函數(shù)ctraj，對機(jī)器人SR165進(jìn)行運(yùn)動軌跡規(guī)劃，調(diào)用plo（tt，T（j：，i））函數(shù)可得出機(jī)器人SR165末端焊槍在10s內(nèi)連續(xù)的空間坐標(biāo)，如圖13所示。

圖13 機(jī)器人末端三維空間坐標(biāo)Fig.13 3?D Space Coordinates of the Robot End

通過調(diào)用程序語句plot3（T（j：，1），T（j：，2），T（j：，3））可得出機(jī)器人SR165末端焊槍在工作空間中的直線運(yùn)行軌跡，如圖14所示。

圖14 機(jī)器人末端空間運(yùn)動軌跡Fig.14 Robot End Space Motion Trajectory

為了確定該直線軌跡規(guī)劃是否合理，通過仿真得出機(jī)器人SR165運(yùn)動過程中轉(zhuǎn)角的變化范圍，運(yùn)行程序可得各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的變化曲線，如圖15所示。

圖15 各關(guān)節(jié)角度變化曲線Fig.15 Angle Change Curve of Each Joint

焊接機(jī)器人實(shí)物圖，如圖16所示。

圖16 焊接機(jī)器人實(shí)物圖Fig.16 Welding Robot Physical Picture

6 結(jié)論

（1）使用MATLAB 軟件編寫程序，仿真分析了焊接機(jī)器人SR165的工作空間，結(jié)果表明，焊接機(jī)器人SR165工作空間范圍跨度大，能滿足大空間焊接鋼件的要求，與期望可達(dá)工作區(qū)域相符。

（2）采用兩種軌跡規(guī)劃方法進(jìn)行仿真分析，結(jié)果表明，焊接機(jī)器人SR165末端焊槍運(yùn)動時的角位移、角速度和角加速度曲線連續(xù)、平滑，均未出現(xiàn)突變現(xiàn)象，使得中厚板結(jié)構(gòu)件焊接能夠高質(zhì)量地完成大范圍跨度和無突變性焊接的任務(wù)。

（3）通過對焊接機(jī)器人SR165進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，保證了箱型結(jié)構(gòu)件的焊接效率、精度和質(zhì)量，液壓支架的安全性得到進(jìn)一步提升，對現(xiàn)代智能化采煤有著極其重要的基礎(chǔ)意義，為后續(xù)SR165焊接機(jī)器人動、靜力學(xué)及運(yùn)動控制分析研究奠定了一定的理論基礎(chǔ)。