田 昊，唐道鋒，宋玉寶，盧翔宇

（中國空氣動力研究與發(fā)展中心低速空氣動力研究所，四川 綿陽 621000）

1 引言

雙軸同步運(yùn)動系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床、機(jī)器人、汽車、船舶等工業(yè)領(lǐng)域[1]，隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，對系統(tǒng)的位置控制精度及控制性能提出了更高的要求。雙軸同步平移機(jī)構(gòu)作為雙軸同步系統(tǒng)的主要形式，雖然采用雙軸平行驅(qū)動，但在進(jìn)給過程中，摩擦力等負(fù)載參數(shù)變化，負(fù)載不平衡等因素會導(dǎo)致較大的同步誤差[2]。為了提高類似雙軸系統(tǒng)的位置控制精度，研究同步控制策略具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

由于大多此類雙軸系統(tǒng)軸間存在著機(jī)械耦合關(guān)系，因此針對此類問題，應(yīng)采用交叉耦合控制策略[3]。通過同步誤差在線計(jì)算雙軸補(bǔ)償增益，并輸入至單軸控制回路，以減小同步誤差，提高同步性能。此外，許多研究通過改進(jìn)數(shù)學(xué)建模、采用傳統(tǒng)PID 控制[4?5]等手段提高同步控制精度，并將參考自適應(yīng)控制[6]、迭代自學(xué)習(xí)控制[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[8]、預(yù)測控制[9]等先進(jìn)控制理論與交叉耦合控制相結(jié)合，以增強(qiáng)系統(tǒng)抗擾能力。

以上方法中，除傳統(tǒng)PID控制外，其他方法都存在實(shí)現(xiàn)復(fù)雜等不利因素。傳統(tǒng)PID 控制雖然實(shí)現(xiàn)簡單，但也存在對參數(shù)敏感，抗擾能力差等問題?；？刂芠10]根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)設(shè)計(jì)切換面，通過滑?？刂破魇沟孟到y(tǒng)狀態(tài)向切換面收束，并最終沿切換面運(yùn)動，對系統(tǒng)參數(shù)變化和外界干擾具有很好的適應(yīng)性。因此將滑?？刂婆cPID控制相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)高精度同步控制。

將滑模PID控制與交叉耦合控制相結(jié)合，根據(jù)單軸誤差和雙軸同步誤差，同時采用采用交叉耦合控制和滑模PID控制求解各軸速度補(bǔ)償量，并采用指數(shù)趨近律的控制方法，以消除滑?？刂拼嬖诘亩墩駟栴}。該策略能有效提高雙軸協(xié)調(diào)性能和系統(tǒng)同步控制精度。

2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

雙軸同步平移機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)，如圖1所示。左右兩臺電機(jī)通過齒輪箱減速后利用滾珠絲杠分別驅(qū)動左右兩組滑塊進(jìn)行直線運(yùn)動，從而帶動中間平臺平移。機(jī)構(gòu)兩端位移通過與絲杠同軸的多圈絕對值編碼器反饋。左右兩側(cè)電機(jī)、編碼器及傳動機(jī)構(gòu)都采用相同型號產(chǎn)品。

圖1 機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of Mechanism

2.2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

根據(jù)機(jī)構(gòu)雙軸之間在結(jié)構(gòu)上存在交叉耦合的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of Control System

圖中：Pg—雙軸給定位置值；P1和P2—雙軸當(dāng)前實(shí)際位置；e1和e2—雙軸當(dāng)前誤差；εc—雙軸耦合同步誤差；ωg1和ωg2—雙軸轉(zhuǎn)速給定；C1和C2—求取同步誤差時雙軸誤差轉(zhuǎn)換。

3 耦合同步誤差與電機(jī)傳遞模型

3.1 耦合同步誤差

根據(jù)圖2可知雙軸耦合同步誤差為：

因此，需確定雙軸誤差轉(zhuǎn)換關(guān)系C1和C2。根據(jù)該雙軸聯(lián)動機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，取各軸測量點(diǎn)連線中點(diǎn)作為同步誤差計(jì)算參考點(diǎn)，即平臺同步誤差εc為該參考點(diǎn)實(shí)際位置與給定位置在運(yùn)動軸線上的距離。

考慮機(jī)構(gòu)中間平臺為剛體，兩端位移差不應(yīng)導(dǎo)致其產(chǎn)生形變，只會使其沿運(yùn)動方向發(fā)生整體偏轉(zhuǎn)，耦合同步誤差原理，如圖3所示。圖中，P—同步誤差計(jì)算參考點(diǎn)；l1和l2—平臺實(shí)際參考邊被理想?yún)⒖歼叿指詈蟮膬刹糠珠L度。

圖3 耦合同步誤差原理Fig.3 Schematic of Coupling Synchrous Error

當(dāng)為圖3（a）情況，即兩軸實(shí)際位置同時大于或小于給定位置時，能得到：

當(dāng)為圖3（b）情況，即其中一軸實(shí)際位置大于給定位置，另一軸實(shí)際位置小于給定位置時，根據(jù)圖中幾何關(guān)系，可得：

式中：l—平臺參考邊長度，l1和l2可根據(jù)前兩式求解，將式（3）聯(lián)立

求解可得耦合同步誤差：

根據(jù)式（2）和式（4）確定雙軸誤差轉(zhuǎn)換關(guān)系C1和C2。

3.2 電機(jī)傳遞模型

根據(jù)電機(jī)電樞回路電壓平衡方程、電磁轉(zhuǎn)矩方程及電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩平衡方程[11]，有：

式中：u（at）—電機(jī)電樞電壓；La、Ra—電樞電感和電阻；Ce—反電動勢系數(shù)；i（at）—電樞電流；θm（t）—電機(jī)轉(zhuǎn)子角位移；Mm（t）—電機(jī)轉(zhuǎn)矩；Cm—電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Jm—電機(jī)和傳動機(jī)構(gòu)折合到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動慣量；fm—電機(jī)和負(fù)載折合到電機(jī)軸上的摩擦系數(shù)；M（ct）—負(fù)載轉(zhuǎn)矩。忽略電樞電感La和電機(jī)軸摩擦fm，將式（5）聯(lián)立求解可得：

將式（6）進(jìn)行拉普拉斯變換可得：

根據(jù)式（7）得到電機(jī)角位移與電機(jī)電壓之間的傳遞關(guān)系。根據(jù)機(jī)構(gòu)傳動形式，可得機(jī)構(gòu)直線位移與電機(jī)角位移對應(yīng)關(guān)系為：

式中：P（t）—直線位移；p—絲杠導(dǎo)程；n—齒輪箱減速比。同時電機(jī)電樞電壓與電機(jī)給定轉(zhuǎn)速ω（gt）之間可近似為：

根據(jù)式（8）和式（9），可將式（7）轉(zhuǎn)換為：

式（10）即為機(jī)構(gòu)直線位移與電機(jī)速度之間的傳遞關(guān)系。設(shè)：

有：

4 滑模PID交叉耦合控制器

滑模變結(jié)構(gòu)控制是基于控制率和變換結(jié)構(gòu)在滑模面上的不連續(xù)性，迫使系統(tǒng)按照一定的到達(dá)條件進(jìn)行滑模運(yùn)動。由于滑模面一般固定，并且滑模運(yùn)動的特性是預(yù)先設(shè)定的。因此，系統(tǒng)受參數(shù)變化和擾動的影響較小，具有很好的魯棒性[12]?；？刂瓢韵聝蓚€要素[13]：（1）設(shè)計(jì)切換函數(shù)s，即尋求切換面；（2）設(shè)計(jì)滑?？刂坡蕌（x）。

4.1 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

滑模PID控制通過引入PID切換面針對單軸誤差進(jìn)行速度給定修正，由于雙軸位置給定相同，因此通過改善單軸跟蹤性能也能獲得軸間全局漸進(jìn)穩(wěn)定。以軸1為例，設(shè)計(jì)切換函數(shù)為：

式中：kp1—軸1比例系數(shù)；ki1—軸1積分系數(shù)；kd1—軸1微分系數(shù)；e（1k）—第k次補(bǔ)償時的單軸誤差；e（1k?1）—第k?1次補(bǔ)償時的單軸誤差。

暫時不考慮趨近律的影響，當(dāng)=0時，滿足到達(dá)切換面的理想滑動條件，可得：

同理可得：

考慮軸1和軸2理論參數(shù)相同，控制目標(biāo)一致，因此kp2、ki2和kd2可與軸1對應(yīng)參數(shù)取相同的值。據(jù)式（12）和（14），可得：

可得軸1速度控制率為：

4.2 交叉耦合控制

以上直接根據(jù)單軸誤差分別進(jìn)行控制的方法，未考慮軸之間的耦合關(guān)系，屬于并行控制。當(dāng)單軸出現(xiàn)擾動時，軸間同步無法得到保證。但如果只針對式（2）或式（4）計(jì)算出的同步誤差進(jìn)行交叉耦合控制，運(yùn)動過程中可能出現(xiàn)同步誤差為0，而單軸誤差不為0的情況，因此應(yīng)結(jié)合單軸誤差與同步誤差進(jìn)行速度給定修正。

可在針對單軸控制的滑模PID函數(shù)基礎(chǔ)上根據(jù)耦合同步誤差補(bǔ)充設(shè)計(jì)一個線性切換函數(shù)，即將交叉耦合控制設(shè)計(jì)為P控制器，能同時針對單軸誤差和耦合同步誤差進(jìn)行控制。切換函數(shù)為：

單軸控制率為：

式中：j—單軸代號，j=1，2。

4.3 趨近律控制

滑模變結(jié)構(gòu)控制的最大缺點(diǎn)就是滑模切換時會出現(xiàn)抖振的情況，原因包括系統(tǒng)的慣性作用、測量誤差、離散系統(tǒng)的準(zhǔn)滑模等。抖振會使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，能量消耗增加，甚至出現(xiàn)控制失效的情況[14]。趨近律控制算法通過控制系統(tǒng)運(yùn)動點(diǎn)向切換面運(yùn)動的速度，可有效減小抖振[15]。本系統(tǒng)采用指數(shù)趨近律控制方法，即：

式中：ε、k—正常數(shù)；sign—符號函數(shù)。通過減小ε以減小慣性作用，從而減弱抖振；通過調(diào)整k調(diào)節(jié)系統(tǒng)到達(dá)切換面的時間。按照趨近律控制，則單軸控制率相應(yīng)調(diào)整為：

同時，為保證調(diào)節(jié)輸出的有效性，以及式（9）近似關(guān)系的成立，相鄰兩次輸出之間變化量應(yīng)不超過角加速度與調(diào)節(jié)周期的乘積，即：

式中：a—電機(jī)角加速度；Ts—調(diào)節(jié)周期。

5 實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證控制方法的有效性，對雙軸同步平移機(jī)構(gòu)分別采用普通PID控制方法與滑模PID控制方法以及滑模PID交叉耦合控制方法的直線運(yùn)動位移數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析。

5.1 實(shí)驗(yàn)平臺與條件

可根據(jù)以上參數(shù)計(jì)算負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mc。

實(shí)驗(yàn)平臺采用西門子PLC 317?2 PN/DP型CPU作為控制系統(tǒng)的主控制器，通過各軸電機(jī)自帶編碼器和與機(jī)構(gòu)同軸的多圈絕對值編碼器分別對各軸速度和位移進(jìn)行測量并換算。上位機(jī)軟件采用LabVIEW開發(fā)平臺，PLC控制軟件采用SIMATIC Step7開發(fā)平臺，使用LAD（梯形圖）編寫。

根據(jù)機(jī)構(gòu)和電機(jī)選型，相關(guān)實(shí)驗(yàn)條件參數(shù)，如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)相關(guān)參數(shù)Tab.1 Parameters of Test

另根據(jù)電機(jī)編碼器10位分辨率，機(jī)構(gòu)編碼器單圈13位分辨率，由表中機(jī)構(gòu)參數(shù)可知，直線速度分辨率為0.0028mm/s，位移分辨率為0.00035mm。

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

分別采用普通PID控制方法與滑模PID控制方法以及滑模PID交叉耦合控制方法對機(jī)構(gòu)定位運(yùn)動過程的雙軸位移差進(jìn)行比較。為便于觀察，截取其中10s的運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，其中給定速度為10mm/s時數(shù)據(jù)曲線對比，如圖4所示。給定速度為20mm/s時數(shù)據(jù)曲線對比，如圖5所示。

圖4 10mm/s時同步誤差對比Fig.4 Comparison of Synchronous Erro（rv=10mm/s）

圖中：PID—普通PID控制；SMPID—滑模PID控制；SMPID+CC—滑模PID交叉耦合控制。

從圖4 和圖5 曲線對比圖可以看出，滑模PID 控制較普通PID控制能減小位移同步誤差最大波動量，消除明顯的誤差尖峰值，系統(tǒng)抗擾動能力得到增強(qiáng)；滑模PID交叉耦合控制能進(jìn)一步減小同步誤差整體波動范圍，提高系統(tǒng)雙軸同步性能。

圖5 20mm/s時同步誤差對比Fig.5 Comparison of Synchronous Erro（rv=20mm/s）

為便于比較，對相關(guān)運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算統(tǒng)計(jì)，給定速度為10mm/s時統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如表2所示。給定速度為20mm/s時統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如表3所示。

表2 10mm/s數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)對比Tab.2 Statistics Results（10mm/s）

表3 20mm/s數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)對比Tab.3 Statistics Results（20mm/s）

其中同步誤差平均值反映了實(shí)際誤差值整體偏離理想誤差值（0）的大小。從統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，三種方法中，雖然兩種滑模PID控制較普通PID控制，誤差均值有所增加，但整體控制在um量級，仍然接近0，對同步性能影響不大。

同步誤差最大值反映了同步誤差最大波動量的情況。從統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，滑模PID控制較普通PID控制位移同步誤差最大值減小量達(dá)到（30～50）%，滑模PID交叉耦合控制較滑模PID控制誤差最大值減小量為40%左右，滑模PID控制與滑模PID交叉耦合控制較普通PID控制均能大幅減小同步誤差最大值。

同步誤差均方差值反映了同步誤差整體波動量偏離均值的情況，即整體波動量的大小。從統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，滑模PID控制較普通PID控制對位移同步誤差均方差值減幅較小，優(yōu)化效果不明顯，但滑模PID交叉耦合控制較滑模PID控制位移同步誤差均方差值減小量超過35%，滑模PID交叉耦合控制較普通PID控制能大幅減小同步誤差整體波動量，提升雙軸整體同步性能。

6 結(jié)論

這里針對雙軸同步系統(tǒng)，將滑模PID控制與交叉耦合控制相結(jié)合。針對單軸誤差和雙軸同步誤差，利用滑模PID控制和交叉耦合控制共同求解各軸速度補(bǔ)償量，并采用指數(shù)趨近律的控制方法，以消除滑?？刂拼嬖诘亩墩駟栴}。最終使位移同步誤差最大值減小量達(dá)到（60～70）%，均方差值減小量超過35%，有效減小了同步誤差最大波動量和整體波動范圍，提高了雙軸協(xié)調(diào)性能和系統(tǒng)同步控制精度。