鄭玉芳, 康崇春，高杰，陳昌萍

(1. 福州大學土木工程學院，福建 福州 350108； 2. 廈門理工學院土木工程與建筑學院，福建 廈門 361024)

0 引言

磁電彈性(MEE)復合材料具有正、逆磁電效應(yīng)，相比于傳統(tǒng)的壓電材料和壓磁材料，具有更高的磁電耦合性能. 這些材料被廣泛用于智能復合材料結(jié)構(gòu)中. 同時，由于加工工藝中的不足或結(jié)構(gòu)長期處于復雜的工作環(huán)境，磁電層合結(jié)構(gòu)的層間界面的粘結(jié)性能容易減弱甚至完全喪失，其結(jié)果將改變結(jié)構(gòu)中位移場、應(yīng)力場、電勢場和磁勢場的分布，對其力學性能產(chǎn)生負面影響. 因此，研究具弱界面粘結(jié)磁電彈性層合梁的非線性力學行為具有重要的意義.

Wang等[1]采用狀態(tài)空間法和傳遞矩陣法，推導了多層磁電彈性圓板在簡支邊界條件下靜態(tài)響應(yīng)的三維解. 朱炳任等[2]研究材料的體積分數(shù)、高跨比和非局部參數(shù)對MEE層合梁彎曲行為的影響. Chen等[3]應(yīng)用漸進變分法，研究MEE層合板的非線性靜力學行為的影響. Zhang等[4]利用高階剪切變形理論和von Karman非線性應(yīng)變，研究材料的疊層順序、溫度對MEE層合梁的非線性靜力學的影響. 劉寶漢等[5]采用彈簧型耦合界面模型模擬非完美界面，研究含非完美界面的雙層壓電/壓磁復合材料中裂紋尖端應(yīng)力強度因子. Kuo等[6]利用微觀力學方法，研究具界面缺陷的磁電復合材料的力學行為. Kuo等[7]應(yīng)用廣義線彈簧模型，研究具弱界面粘結(jié)MEE層合板的靜態(tài)行為. Kong等[8]研究非理想界面對結(jié)構(gòu)的磁電耦合效應(yīng)的影響. 王禾翎[9]討論了彎曲界面、裂紋和界面粘結(jié)對MEE復合材料性能的影響. 由于對受損界面間復雜的磁電耦合效應(yīng)很難精確描述 , 從研究成果來看，關(guān)于具弱界面粘結(jié)磁電彈性材料結(jié)構(gòu)的非線性力學研究成果相對較少.

本文基于Soldatos精確應(yīng)力分析的廣義五自由度梁理論、von Karman非線性理論和Hamilton原理，通過引入靜力平衡方程、靜電和磁靜力學的Maxwell方程的通解，建立具弱界面粘結(jié)MEE層合梁的非線性平衡微分方程，利用Galerkin方法對其進行求解. 討論界面粘結(jié)強度對具弱界面粘結(jié)MEE層合梁的位移、應(yīng)力、電勢和磁勢沿梁厚方向分布的影響.

1 基本方程

圖1 磁電彈性層合梁結(jié)構(gòu)示意圖 Fig.1 Schematic diagram of magneto-electro-elastic laminated beam

如圖1所示，磁電彈性層合梁，長為L，厚度為H，由N個厚度相同的正交各向異性磁電材料單層組成.用zr(r=1，2，…，N-1)表示層合梁中第r個界面的位置，位于層合梁中第k層與第k+1層之間(k=1，2，…，N).

基于Soldatos精確應(yīng)力分析的廣義五自由度梁理論[10]和層間界面剪切模型[11]，當忽略法向位移改變量，磁電彈性層合梁內(nèi)任一點的位移場、電勢場和磁勢場可設(shè)為：

(1)

式中：u和w分別表示在x和z方向上的位移；Φ和Ψ分別表示層中的電勢和磁勢；u0和w0表示層合梁中面上相應(yīng)點的位移；u1為層合梁中面上相應(yīng)點的橫向應(yīng)變；φ和φ為層合梁中面上相應(yīng)點的電勢和磁勢，下標“, ”表示對變量求偏導.位移分布形函數(shù)f(z)、電勢分布形函數(shù)g(z)和磁勢分布形函數(shù)p(z)反映了u1、φ和φ沿z方向變化的形式，且滿足以下的約束條件[12]：

f(0)=0，g(0)=p(0)=1，f, z(0)=1，g, z(0)=1，p, z(0)=1

(2)

對于弱界面，層間應(yīng)力分量τxz、電位移分量Dz和磁通量分量Bz連續(xù)，而面內(nèi)位移分量u、電勢Φ和磁勢Ψ不連續(xù).則在第r個界面，位移改變量Δu(r)、電勢改變量ΔΦ(r)和磁勢改變量ΔΨ(r)可以用待定分布形函數(shù)的不連續(xù)性給定，即

(3)

式中： 上標r(r=1，2，…，N-1)表示第r個界面；k和k+1表示與r界面有關(guān)的第k層和第k+1層.

根據(jù)von Karman幾何非線性理論，位移-應(yīng)變的關(guān)系表示為：

(4)

根據(jù)Maxwell理論[13]，電場強度與電勢和磁場強度與磁勢之間的關(guān)系為：

Ex=-Φ, x=-gφ, x，Ez=-Φ, z=-g, zφ，Hx=-Ψ, x=-pφ, x，Hz=-Ψ, z=-p, zφ

(5)

第k層正交各向異性磁電彈性材料的本構(gòu)關(guān)系為：

(6)

式中：σx和τxz為應(yīng)力分量；εx和γxz為應(yīng)變分量；Di和Bi分別為電位移分量和磁通量分量；cij、eij、εij、qij、dij和μij分別為彈性系數(shù)、壓電系數(shù)、介電系數(shù)、壓磁系數(shù)、磁電系數(shù)和磁導率.

在界面粘結(jié)強度變?nèi)醯某跏茧A段，設(shè)弱界面具有以下的線性非耦合性質(zhì)[14]，即

(7)

根據(jù)Hamilton變分原理，得：

式中：A為中面面積；q為梁承受的橫向載荷，且取q(x)=q0sin(πx/L).

由式(7)和(8)，得到具弱界面粘結(jié)MEE層合梁的非線性控制平衡方程為

(9)

式中：

(10)

引入如下的無量綱參數(shù)：

(11)

式中： 對于材料不同的多層梁，cmax、emax、εmax、qmax、dmax和μmax為各種材料中彈性剛度系數(shù)、壓電系數(shù)、介電系數(shù)、壓磁系數(shù)、磁電系數(shù)和磁導率的最大值.

將式(4)、式(6)和式(10)代入式(9)，并應(yīng)用式(11)，得到具弱界面粘結(jié)MEE層合梁的無量綱非線性控制方程為：

(12)

式中：

(13)

2 具弱界面粘結(jié)簡支磁電彈性層合梁的形函數(shù)

由于界面的復雜性，一般研究假設(shè)界面本構(gòu)關(guān)系具有線性非耦合的性質(zhì)，忽略非線性項的影響[14-15]. 第k層梁的待定形函數(shù)f(z)、g(z)和p(z)應(yīng)滿足應(yīng)力表示的平衡方程、靜電和磁靜力學的Maxwell方程，即

σx, x+τxz, z=0，Dx, x+Dz, z=0，Bx, x+Bz, z=0

(14)

設(shè)u0,u1,w0,φ和φ為以下滿足簡支可動邊界條件的位移模式：

(u0,u1)=(A1,A3)cos(αx), (w0,φ,φ)=(A2,A4,A5)sin(αx),α=π/L

(15)

將式(15)代入式(14)，并利用式(4)～(6)，得:

(16)

假設(shè)待求形函數(shù)為：

F(k)(z)=A3f(k)(z),G(k)(z)=A4g(k)(z)，P(k)(z)=A5p(k)(z)

(17)

式(16)可以看成關(guān)于待求形函數(shù)F(k)(z)、G(k)(z)和P(k)(z)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程組，方程組的解由滿足齊次線性微分方程組的通解和一個滿足方程組的特解組成.通過消元法可求得齊次線性微分方程組的通解和通過待定系數(shù)法得到非齊次線性微分方程組的特解，則第k層待定形函數(shù)可以表示為：

(18)

m1λ6+m2λ4+m3λ2+m4=0

式中：

對于弱界面粘結(jié)條件下，界面處剪應(yīng)力τxz、電位移Dz和磁通Bz在各層界面處連續(xù)，即

(19)

應(yīng)用式(4)、式(5)、式(6)、式(15)和式(18)，得到：

(20)

對于弱界面粘結(jié)條件下，界面處位移u、電勢Φ和磁勢Ψ不連續(xù)，應(yīng)用式(3)、式(7)、式(15)和式(18)，得到：

(21)

(22)

由磁電條件得，在閉路條件下：

Φ(1)|z=-H/2=Φ(N)|z=H/2=0,Ψ(1)|z=-H/2=Ψ(N)|z=H/2=0

(23)

(24)

式中： 上標“mp”表示中性層(z=0)所在的第k(mp)層梁. 由式(18)和式(24)可得到形函數(shù)f(k)(z)、g(k)(z)和p(k)(z)的表達式.

3 數(shù)值結(jié)果與討論

對于兩端簡支的磁電彈性層合梁，選取的位移、電勢和磁勢的解為：

(25)

將式(25)代入非線性平衡方程(12)，應(yīng)用Galerkin方法，并取一階截斷，則非線性微分方程組轉(zhuǎn)化為含有fu0、fw0、fu1、fφ和fφ的非線性代數(shù)方程組進行求解.

為了驗證本文模型和方法的正確性，將本文模型退化為理想界面的磁電彈性層合梁結(jié)構(gòu)(BaTiO3/CoFe2O4)，并取文獻[13]中的材料參數(shù)和幾何參數(shù). 圖2和圖3分別給出了兩端簡支磁電彈性層合梁中點電勢和磁勢沿厚度的變化規(guī)律，并與文獻[13]中的數(shù)值結(jié)果進行對比. 從圖中可以看出，本文得到的數(shù)值解與文獻的數(shù)值解吻合較好，驗證了本文模型和方法的正確性.

圖2 電勢Fig.2 Electric potential

圖3 磁勢Fig.3 Magnetic potential

BaTiO3：c11=166 GPa，c55=43 GPa,e31=-4.4 C·m-2，e15=11.6 C·m-2,q31=0，q15=0，

d11=0,ε11=11.2×10-9F·m-1，ε33=12.6×10-9F·m-1,d33=0，

μ11=5×10-6Ns2·C-2，μ33=10×10-6Ns2·C-2

CoFe2O4:c11=286 GPa，c55=45.3 GPa,e31=0,e15=0,q31=580 N·(A·m)-1，

q15=550 N·(A·m)-1,ε11=0.08×10-9F·m-1,ε33=0.093×10-9F·m-1,

d11=0,d33=0,μ11=-590×10-6Ns2·C-2,μ33=157×10-6Ns2·C-2

圖4 弱界面對梁中點撓度的影響Fig.4 Effect of the weak interface on the middle

圖5 弱界面對位移的影響Fig.5 Effect of the weak interface on

圖6 弱界面對剪應(yīng)力的影響Fig.6 Effect of the weak interface on the shear stress (0, η)

圖7 弱界面對電勢的影響Fig.7 Effect of the weak interface on

圖8 弱界面對磁勢的影響Fig.8 Effect of the weak interface on

4 結(jié)語

1) 在一定條件下，隨著界面粘結(jié)強度的減弱，磁電彈性層合梁的整體剛度減小，非線性位移越來越大，界面處的剪應(yīng)力減小，且界面處的位移場在界面處出現(xiàn)不連續(xù)的跳躍現(xiàn)象，弱界面粘結(jié)改變了結(jié)構(gòu)中的位移場和應(yīng)力場的分布.

2) 在一定條件下，隨著界面粘結(jié)強度的減弱，界面?zhèn)鬟f應(yīng)變的能力下降，磁電耦合效應(yīng)減弱，導致界面處的電勢和磁勢出現(xiàn)不連續(xù)的跳躍現(xiàn)象，弱界面粘結(jié)改變了結(jié)構(gòu)中的電勢場和磁勢場分布.

3) 在一定條件下，隨著外部荷載的增大，結(jié)構(gòu)的變形加大； 弱界面粘結(jié)強度的減弱，在一定程度上減弱了磁電彈性層合梁的磁電耦合效應(yīng)，且非線性特征更加明顯.