杜 盈，王志誠，張勁東，蔣宜林，尹明月

（1.南京航空航天大學 電子信息工程學院，江蘇 南京 211100；2.上海無線電設備研究所，上海 201109）

0 引言

壓制干擾就是干擾機發(fā)射大功率噪聲或類似噪聲的干擾信號來遮蓋或者淹沒目標信號，使雷達無法檢測到目標，干擾雷達的正常工作。對抗壓制干擾，包括陷波濾波器、自適應濾波器、子空間投影等方法，這些方法是利用干擾信號與真實目標回波之間的強度特征差異來濾除干擾，但陷波濾波器方法受到濾波器零陷寬度的限制，自適應濾波器法和子空間投影法在時變干擾環(huán)境下也不夠穩(wěn)健。

從波形設計的角度研究對抗壓制干擾的方法，要求干擾信號經(jīng)過濾波器的輸出水平盡可能低。干擾信號經(jīng)過失配濾波器的輸出水平可用濾波器序列和干擾信號協(xié)方差矩陣的二次型表示，該二次型值越小說明雷達的抗干擾能力越強。文獻［13］考慮最小化接收濾波器輸出功率；文獻［14］以發(fā)射信號距離旁瓣和干擾信號輸出水平之和構(gòu)建代價函數(shù)；文獻［15］以最大化信干噪比為準則，聯(lián)合優(yōu)化發(fā)射波形和失配濾波器序列來達到對抗干擾的目的。如果只優(yōu)化發(fā)射波形1 個變量，可采用匹配濾波器，此時，干擾信號通過匹配濾波器的輸出水平用發(fā)射信號與干擾信號協(xié)方差矩陣的二次型值來表示。文獻［16］以最大化信干噪比為準則設計單位模序列，可有效抑制主瓣干擾，但未考慮使用匹配濾波器帶來的高距離旁瓣問題。

本文以最小化發(fā)射信號距離旁瓣為準則，預設的干擾輸出水平和離散形式相位編碼為約束條件，設計離散相位編碼序列。該問題的目標函數(shù)是關(guān)于發(fā)射信號的四次型，本文采用交替乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）嵌套擬牛頓法，即用ADMM-BFGS 方法進行求解，可將干擾信號輸出抑制在預設值，同時降低發(fā)射信號旁瓣；在此基礎(chǔ)上，提出一種ADMM 嵌套類冪迭代法（Power Method-Like Iterations，PMLI），即ADMM-PMLI 方法，在保證雷達的抗干擾性能和目標探測性能的同時，大大提升算法的計算時間。

1 問題模型

雷達發(fā)射波形為離散相位編碼序列，1 個點的相位編碼信號序列可表示為

發(fā)射信號旁瓣協(xié)方差矩陣為

式中：為轉(zhuǎn)移矩陣，定義為

發(fā)射信號距離旁瓣為

設干擾信號協(xié)方差矩陣為，∈C，干擾信號經(jīng)匹配濾波器的輸出為

設置干擾經(jīng)匹配濾波器的輸出水平為，抗壓制干擾的離散相位編碼序列設計問題可表示為

2 求解目標函數(shù)

2.1 ADMM-BFGS

在該問題中引入輔助變量、，約束=，=，問題可表示為

設、為二次懲罰項系數(shù)，根據(jù)問題寫出增廣拉格朗日方程如下：

記、、、和為 第次迭代后的值，各值的更新如下。

1）更新。

將目標函數(shù)式（8）由復數(shù)形式轉(zhuǎn)化為實數(shù)形式：

對目標函數(shù)式求得梯度如下：

2）更新。

此時將和視為已知量

式（13）相關(guān)的拉格朗日函數(shù)為

式中：為拉格朗日乘子，令其偏導為0，可得

將式（15）代入等式約束可得

該式可等價于

解出后可得的更新公式如下：

3）更新。

4）更新。

求得的更新公式為

5）更新。

ADMM 求解問題步驟如下：

初始化、、、和，預設干擾輸出水平，設迭代次數(shù)=0；

根據(jù)式（19）更新；

根據(jù)式（21）更新；

根據(jù)式（22）更新；

設收斂門限為Δ，最大迭代次數(shù)為，重復步驟2～步驟6，并令←+1，直到滿足||||+||-||＜Δ 或=時，迭代終止。

2.2 ADMM-PMLI

采用ADMM-BFGS 算法更新時，需要轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)形式并計算梯度，其運算量大、計算時間長。針對這一問題，本節(jié)將在ADMM 方法的基礎(chǔ)上進行優(yōu)化，提出ADMM-PMLI算法來更新。式（8）可改寫為

令()+))，()+))，忽略常數(shù)部分，式（23）可表示為

根據(jù)文獻［17］提出的PMLI 算法，發(fā)射信號的更新即求解表示為

發(fā)射信號可以通過每次迭代求解最近向量問題更新如下：

ADMM-PMLI 求解步驟如下：

初始化、、、和，預設干擾輸出水平，設迭代次數(shù)=0；

更新，根據(jù)式（27）求解；

以式（18）更新；

根據(jù)式（19）更新；

根據(jù)式（21）更新；

根據(jù)式（22）更新；

設收斂門限為Δ，最大迭代次數(shù)為，重復步驟2～步驟6，并令←+1，直到滿足||||+||-||＜Δ 或=時迭代終止。

2.3 算法復雜度分析

ADMM-BFGS 和ADMM-PMLI 算法均以ADMM 為框架，兩種算法的主要差別在于變量的更新。ADMM 每次迭代更新時，BFGS 法的復雜度為（4），而PMLI 法的復雜度為（）。且相較于ADMM-PMLI，ADMM-BFGS 還需進行變量實數(shù)和虛數(shù)形式的轉(zhuǎn)化，這一操作增加的運算復雜度為（2）。如果算法運行到+1 次時，迭代終止，那么上述部分還需乘以迭代次數(shù)。因此，ADMMPMLI 算法的復雜度明顯低于ADMM-BFGS。

3 仿真結(jié)果與分析

發(fā)射信號自相關(guān)處理結(jié)果可以顯示發(fā)射信號的旁瓣水平，反映雷達的探測性能。將發(fā)射信號與干擾信號疊加后經(jīng)過匹配濾波器處理，觀察目標能否被檢測到，以反映雷達對抗壓制干擾的能力。為驗證本文提出的ADMM-BFGS 和ADMM-PMLI這兩種算法是否有效，將兩種算法優(yōu)化后的自相關(guān)與匹配濾波結(jié)果和初始發(fā)射信號進行對比，結(jié)果如圖1 所示。

圖1 優(yōu)化前后信號處理結(jié)果對比Fig.1 Comparison of signal processing results before and after optimization

續(xù)圖1 優(yōu)化前后信號處理結(jié)果對比Continue fig.1 Comparison of signal processing results before and after optimization

對比圖1（a）和（b），在發(fā)射信號未受到干擾時，經(jīng)過匹配濾波后可以看到明顯的尖峰，能檢測到目標，而發(fā)射信號疊加干擾后經(jīng)匹配濾波處理，檢測不到目標信號，目標信號被強干擾淹沒。由圖1 所示的被優(yōu)化前后的匹配濾波結(jié)果可知，優(yōu)化前無法檢測到目標信號，優(yōu)化后壓制干擾被抑制，可以檢測到信號。綜上所述，ADMM-BFGS 和ADMMPMLI 這兩種算法均能對抗壓制干擾。通過對比優(yōu)化前后發(fā)射信號的自相關(guān)數(shù)據(jù)，優(yōu)化后的信號旁瓣比優(yōu)化前有明顯降低，且干擾輸出均能被抑制在-30 dB 左右，達到了預期效果。

ADMM-BFGS和ADMM-PMLI這兩種算法的收斂曲線圖如圖2 所示，橫坐標為迭代次數(shù)，縱坐標為發(fā)射信號旁瓣功率。由圖2 可知，兩種算法的目標函數(shù)值隨著迭代次數(shù)不斷降低，兩種算法均能收斂。

圖2 算法收斂曲線Fig.2 Algorithm convergence curve

為對比算法性能，本文在Intel i5-9400HQ CPU、16 GB 內(nèi)存、Matlab 2016a 仿真平臺下進行了100 次蒙特卡洛實驗取平均值，獲得兩種算法優(yōu)化后的發(fā)射信號距離旁瓣減少值Δ、干擾輸出功率和運行時間在信號序列長度不同時的結(jié)果，見表1。

表1 ADMM-BFGS 和ADMM-PMLI 算法性能對比Tab.1 Performance comparison of ADMM-BFGS and ADMM-PMLI algorithms

由表1 可知，離散相位編碼序列長度越長，算法對信號距離旁瓣的抑制效果越明顯。兩種算法均能降低信號旁瓣，且達到預期的干擾輸出水平，其抗干擾性能和目標探測性能基本相當，但是，相較于ADMM-BFGS 算法，ADMM-PMLI 算法的運行效率得到大幅提升。

4 結(jié)束語

本文設計離散相位編碼序列來對抗壓制干擾，以最小化發(fā)射信號距離旁瓣作為目標函數(shù)，預設的干擾輸出水平和離散相位作為約束條件，構(gòu)建優(yōu)化問題模型，采用ADMM-BFGS 算法優(yōu)化發(fā)射信號序列，提升雷達的目標探測性能和抗干擾能力；同時，針對ADMM-BFGS 算法運算量大、計算時間長的問題，提出一種新的ADMM-PMLI 算法。仿真結(jié)果表明，這兩種算法具有相當?shù)哪繕藱z測性能和抗干擾能力。但是，相較于ADMM-BFGS 算法，ADMM-PMLI 算法的運行效率得到大幅提升。