刁華飛，尚曉龍，王 培，蘆 雪

（1.航天工程大學(xué)，北京 101416；2.中國人民解放軍32030 部隊，新疆 和碩 841200）

0 引言

近年來，隨著高軌衛(wèi)星數(shù)量的日益增加以及太空軍事化進程的加速，軌道抵近與鄰近操作（Rendezvous and Proximity Operations，RPO）正在變得越來越頻繁。RPO 包含軌道抵近和鄰近操作兩部分。其中，軌道抵近需要通過多次機動變軌，匹配與目標(biāo)衛(wèi)星的軌道高度、軌道平面以及在軌相位。高軌衛(wèi)星處于地球同步軌道（Geosynchronous Earth Orbit，GEO）帶的不同相位上，常使用調(diào)相機動的方式達到抵近的目的。調(diào)相轉(zhuǎn)移用時一般為軌道周期的正整數(shù)倍，這使得抵近過程往往需要較長的時間。而對于任意位置、任務(wù)時間約束下的軌道攔截，基本采用基于Lambert 轉(zhuǎn)移，當(dāng)進行遠程抵近時消耗燃料過多。因此，軌道抵近過程中的軌跡優(yōu)化設(shè)計在高軌抵近任務(wù)中有著重要意義。遠程抵近高軌非合作目標(biāo)時，往往需要大幅調(diào)整、快速響應(yīng)，一般采用化學(xué)燃料的脈沖變軌。脈沖變軌的主要問題，就是研究在航天器燃料約束下，從初始軌道至目標(biāo)軌道的轉(zhuǎn)移過程中，航天器施加脈沖的時機、次數(shù)以及脈沖矢量的方向和大小，這是一個非線性最優(yōu)規(guī)劃的問題。

對于脈沖軌道轉(zhuǎn)移，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)取得了許多成果。非線性交會研究多是基于不考慮攝動的二體運動學(xué)方程。當(dāng)追蹤星和目標(biāo)星均處于圓軌道時，若對轉(zhuǎn)移時間沒有約束，則平面內(nèi)的最優(yōu)交會是雙脈沖的霍曼轉(zhuǎn)移?；袈D(zhuǎn)移僅局限于共面圓軌道的情形，而Lambert 轉(zhuǎn)移則可以適用于任何軌道，因此Lambert 轉(zhuǎn)移方法被廣泛應(yīng)用于非線性最優(yōu)交會研究中。1963 年，LAWDEN基于二體模型給出了脈沖變軌的“主矢量”理論，用于確定脈沖作用下最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道的必要條件。1968年，LION 等在LAWDEN研究 的基礎(chǔ)上，提出一種沖量校正理論，通過增加脈沖次數(shù)、初始漂移或減少脈沖次數(shù)實現(xiàn)對非最優(yōu)軌跡的速度增量優(yōu)化。在上述理論基礎(chǔ)上，不少學(xué)者對最優(yōu)脈沖交會進行了深入研究，一些新的優(yōu)化理論應(yīng)運而生，如非線性規(guī)劃法、遺傳算法、蟻群算法、模擬退火算法、粒子群算法、差分進化算法（Differential Evolution，DE）等。文獻［10］采用非線性規(guī)劃求解固定時間內(nèi)兩異面橢圓間的燃料最省的多脈沖交會問題，并對三脈沖和四脈沖方式進行軌跡優(yōu)化計算；文獻［11］采用動態(tài)規(guī)劃算法求解多脈沖最優(yōu)交會問題；文獻［12］采用進化算法，以燃料和時間為組合優(yōu)化指標(biāo)，對非固定時間的軌道轉(zhuǎn)移和攔截問題進行優(yōu)化；文獻［13］采用非線性規(guī)劃算法對不同攔截時間和脈沖次數(shù)的優(yōu)化情況進行了比較分析。

針對高軌衛(wèi)星遠程抵近的軌道設(shè)計優(yōu)化問題，本文使用Pork-chop 速度增量等高線圖對時間約束內(nèi)單脈沖Lambert 轉(zhuǎn)移進行分析，而后提出一種收斂性較好的多脈沖抵近優(yōu)化設(shè)計模型，使用DE 對多組算例進行全局尋優(yōu)。

1 高軌轉(zhuǎn)移動力學(xué)建模

1.1 衛(wèi)星在軌受力分析

對于高軌衛(wèi)星而言，中心天體的引力顯然是最主要的外力源，除此之外還需考慮各種攝動力的影響，由此可建立受攝二體模型如下：

本文的研究對象是高軌衛(wèi)星，在這個空間范圍內(nèi)，地球大氣對衛(wèi)星產(chǎn)生的阻力可忽略不計，這里主要考慮地球的非球形攝動力太陽。因此，本文研究所使用的軌道外推模型僅考慮含J2 項的地球非球形攝動加速度：

式中：為含J2 項的地球非球形攝動加速度；[]為衛(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)；為地球半徑。

1.2 Lambert 轉(zhuǎn)移與求解算法

Lambert 轉(zhuǎn)移描述了2 個圓錐曲線軌道之間的固定點交會，被廣泛應(yīng)用于空間軌道設(shè)計領(lǐng)域，適用于研究高軌抵近任務(wù)。Lambert 是關(guān)于圓軌道上任意2 個時刻的位置坐標(biāo)同時間的關(guān)系定理，給定2 個位置矢量和它們之間的飛行時間，便決定其飛行軌道。Lambert 定理的數(shù)學(xué)表述為

式中：為轉(zhuǎn)移軌道的半長軸；為轉(zhuǎn)移軌道始末點之間的距離；Δ為轉(zhuǎn)移時長。

歐拉和拉格朗日用解析法證明了Lambert 定理，并求得了二體模型下Lambert 問題的解析解：

變量和由等式參數(shù)(，+，)決定，定義如下：

式中：變量=(++)∕2，表示三角形的周長。

Lambert 轉(zhuǎn)移基 于Lambert 定理提 出，已知2 個位置坐標(biāo)和轉(zhuǎn)移時間確定飛行軌道，如圖1 所示。已知機動衛(wèi)星初始點位置矢量為，速度矢量，目標(biāo)星的位置矢量為，速度矢量，轉(zhuǎn)移時間為=-。根據(jù)Lambert 定理，可以求解。

圖1 Lambert 轉(zhuǎn)移Fig.1 Schematic diagram of the Lambert transfer

進一步可得到橢圓軌道的半通徑，再由半通徑確定轉(zhuǎn)移軌道初末2 點、的速度′、′。由此計算轉(zhuǎn)移所需的速度增量為

式中：Δ為機動星在時刻由原軌道進入轉(zhuǎn)移軌道的速度增量；Δ為機動衛(wèi)星在時刻由轉(zhuǎn)移軌道進入目標(biāo)星軌道的速度增量。

根據(jù)以上關(guān)系，建立Lambert 交會方程：

求解Lamber 問題涉及超越方程，只能用迭代法求解。Lambert 轉(zhuǎn)移的求解涉及超越方程，只能通過迭代方式求解，常用的迭代方法有Gauss 迭代法和普適迭代法。Gauss 迭代法是Gauss 在確定谷神星軌道的過程中提出來的經(jīng)典方法，普適迭代法是Battin 提出的一種對3 類圓錐曲線的方法。當(dāng)只考慮二體引力的情況下，求解高軌問題時軌道預(yù)報產(chǎn)生的誤差較大。而現(xiàn)有的Gauss 迭代法、Battin方法等只能解決二體模型下的Lambert 問題，無法處理攝動模型下的Lambert 交會求解。

本文以J2 項攝動模型為例，使用受攝Lambert問題的迭代求解算法，具體流程如圖2 所示。具體步驟如下：

圖2 受攝模型的Lambert 問題求解算法Fig.2 Lambert solving algorithm for the perturbed model

給定轉(zhuǎn)移時間，由兩星初始數(shù)據(jù)得出起始位置、目標(biāo)位置，并賦值迭代目標(biāo)位置以初值=；

以Battin 方法求解二體Lambert 問題，得到初始位置的速度；

將起始位置和步驟2 得出的初始位置速度，代入J2 模型預(yù)報出轉(zhuǎn)移時間之后的衛(wèi)星位置′；

由于J2 項攝動的影響，時刻衛(wèi)星實際位置與目標(biāo)位置存在偏差，求出終端脫靶量Δ=′-；

為了修正偏差，需要對二體Lambert 問題中的目標(biāo)位置進行修正，以=-Δ作為下一次求解二體Lambert 問題的目標(biāo)位置。

重復(fù)步驟1～5，直到|Δ|＜時，輸出轉(zhuǎn)移軌道起始位置和目標(biāo)位置的速度、。

2 基于Pork-chop 圖的單脈沖轉(zhuǎn)移速度增量分析

2.1 Pork-chop 圖

Pork-chop圖是一種搜索軌道轉(zhuǎn)移窗口的經(jīng)典方法，被廣泛應(yīng)用于深空任務(wù)的設(shè)計與規(guī)劃，也可被借鑒用于高軌抵近任務(wù)的優(yōu)化分析。最早由SERGEYEVSKY 等提出Pork-chop 圖，通過給定預(yù)期的機動時間和到達時間，對時間組合進行離散網(wǎng)格化，再針對每個二維時間點求解Lambert問題得到對應(yīng)的速度增量矩陣，即可繪出Pork-chop等高圖。

Pork-chop 圖可以直觀地顯示給定時間段內(nèi)速度沖量大小的變化規(guī)律，展示不同出發(fā)抵達“時間對”之間的能量對比，為任務(wù)決策提供全局參考。速度增量Δ定義為機動前后速度矢量差的模：

2.2 追蹤星轉(zhuǎn)移速度增量分析

對于處于理想地球靜止軌道的2 顆衛(wèi)星來說，由于兩星共軌，且相對位置始終保持不變，追蹤星攔截目標(biāo)星的速度增量不隨出發(fā)時間變化。星下點地理經(jīng)度相差20°的2 個高軌衛(wèi)星抵近的Porkchop圖如圖3所示。

圖3 抵近理想GEO 衛(wèi)星的速度增量Pork-chop 圖Fig.3 Pork-chop diagram of velocity increment when approaching the ideal GEO satellite

在圖3 中：左側(cè)繪制地慣系軌道圖，示意追蹤星和目標(biāo)星初始位置；右側(cè)繪制Pork-chop 圖，橫坐標(biāo)為相對初始時刻的延遲出發(fā)時間，縱坐標(biāo)為抵達目標(biāo)位置的軌道轉(zhuǎn)移時間；顏色條示意消耗速度脈沖的大小。圖4～圖7 解釋同上。由圖3 分析可知，地球靜止軌道衛(wèi)星抵近速度增量的大小僅和轉(zhuǎn)移時間相關(guān)，與機動時刻不相關(guān)。簡單來說，在理想GEO上啟動抵近任務(wù)，任意時刻的燃料消耗都等價。

然而，非合作目標(biāo)衛(wèi)星往往不位于理想GEO，其偏心率和軌道傾角都會同靜止軌道存在一定偏差。假設(shè)追蹤星處于地球靜止軌道，目標(biāo)星處于定位點經(jīng)度與追蹤星相差20°的近地球同步軌道。以下分別選取了偏差為=0.01、=0.05、=1°、=10°等目標(biāo)星軌道進行仿真分析，繪制時間約束為2 d 的Pork-chop 速度增量等高圖，如圖4～圖7所示。

圖4 目標(biāo)星e=0.01 的速度增量Pork-chop 圖Fig.4 Pork-chop diagram of velocity increment when the eccentricity of the target satellite is 0.01

圖5 目標(biāo)星e=0.05 的速度增量Pork-chop 圖Fig.5 Pork-chop diagram of velocity increment when the eccentricity of the target satellite is 0.05

圖6 目標(biāo)星軌道傾角為1°的速度增量Pork-chop 圖Fig.6 Pork-chop diagram of velocity increment when the orbit inclination of the target satellite is 1°

圖7 目標(biāo)星軌道傾角為10°的速度增量Pork-chop 圖Fig.7 Pork-chop diagram of velocity increment when the orbit inclination of the target satellite is 10°

可見，當(dāng)目標(biāo)星軌道的偏心率或軌道傾角相對靜止軌道存在偏差時，最優(yōu)機動時刻周期性復(fù)現(xiàn)規(guī)律。該周期為0.5 d，即半個軌道周期。在執(zhí)行高軌抵近任務(wù)時，由于不存在絕對理想的地球靜止軌道衛(wèi)星，任務(wù)時間約束內(nèi)，追蹤星何時機動，何時抵達最優(yōu)，在時間上并不均勻。

3 多脈沖抵近優(yōu)化設(shè)計

3.1 多脈沖抵近的數(shù)學(xué)模型

多脈沖抵近就是通過在轉(zhuǎn)移過程中多次點火施加速度脈沖的方式，使衛(wèi)星從初始軌道上的一點轉(zhuǎn)移到目標(biāo)附近打靶點的抵近方式。本節(jié)以三脈沖抵近為例進行建模，整個抵近過程如圖8 所示。

圖8 三脈沖抵近Fig.8 Schematic diagram of triple-pulse proximity

假設(shè)追蹤星位于初始軌道Ⅰ，目標(biāo)星位于其運行所在的軌道Ⅱ。任務(wù)起始時刻，追蹤星在地慣系下的空間位置為。經(jīng)Δ的無動力滑行，至空間位置，第一次點火施加速度脈沖Δ。經(jīng)Δ的無動力滑行，至空間位置，第二次點火施加速度脈沖Δ。再經(jīng)Δ的無動力滑行，至目標(biāo)星附近打靶點位置，實現(xiàn)抵近。最終通過第三次點火施加速度脈沖Δ，進入目標(biāo)軌道。定義首次速度脈沖Δ為起漂脈沖，末端速度脈沖Δ為剎車脈沖，首末之間的速度脈沖Δ為中間脈沖。已知Ⅰ、Ⅱ軌道參數(shù)、任務(wù)起始時間和目標(biāo)附近打靶點，當(dāng)確定了Δ、Δ、Δ，由于衛(wèi)星按照式（2）在空間中運行，、、可通過軌道積分確定。當(dāng)確定了中間脈沖點，通過2.3節(jié)方法求解Lambert 問題可得出脈沖Δ、Δ。根據(jù)給出的目標(biāo)附近打靶點參數(shù)可求出脈沖Δ。故三脈沖抵近要確定的獨立變量有3 個滑行時間以及1 個3 自由度的中間脈沖點坐標(biāo)，共6 個獨立變量。

基于以上分析推廣，對于給定目標(biāo)附近打靶點的脈沖轉(zhuǎn)移問題，轉(zhuǎn)移過程中包含1 個起漂脈沖Δ，-2 個中間脈沖Δ，Δ，…，Δv，以及1 個剎車脈沖Δv。故脈沖抵近要確定的獨立變量有個漂移時間Δ，Δ，…，Δt以及-2 個3 自由度中間脈沖點坐標(biāo)，，…，r，共4-6 個獨立變量。

然而，考慮到3 自由度中間脈沖點坐標(biāo)搜索區(qū)間范圍過于龐大，導(dǎo)致模型的優(yōu)化求解難以收斂。本文提出虛擬Lambert 滑行拼接的方法解決該問題。以三脈沖轉(zhuǎn)移為例，尋中間脈沖點時，首先求解漂脈沖位置和剎車脈沖位置在Δ+Δ時間區(qū)間內(nèi)的Lambert 問題，虛擬遞推該軌道，并在時刻Δ處取點，作半徑為Δ的中間脈沖點尋優(yōu)域。如此便將中間脈沖點范圍很大的地慣系坐標(biāo)，，…，r，轉(zhuǎn)換為范圍較小的相對坐標(biāo)Δ，Δ，…，Δr，有利于優(yōu)化算法收斂。中間脈沖點尋優(yōu)域如圖9所示。

圖9 中間脈沖點尋優(yōu)域Fig.9 Schematic diagram of the optimizing domain for the middle pulse point

3.2 約束條件與性能指標(biāo)

高軌衛(wèi)星抵近任務(wù)中要考慮以下各種約束。

3.2.1 運動狀態(tài)約束

追蹤星在脈沖位置之間按照式（2）運行。以為追蹤星狀態(tài)矢量（3 個位置量和3 個速度量），將式（2）表示(，)，則在脈沖點（包括初始位置和抵近打靶點）之間的運動狀態(tài)約束可表示為

3.2.2 時間約束

假設(shè)任務(wù)從起始時刻開始，必須在時間約束Δ內(nèi)完成抵近。每次施加速度脈沖后的漂移時間（包括起漂脈沖前的等待時間）滿足約束：

3.2.3 能量約束

追蹤星攜帶燃料有限，假設(shè)一次抵近任務(wù)所能耗費的最大速度脈沖為Δ，則抵近過程中施加的速度脈沖滿足約束：

3.2.4 性能指標(biāo)

以能量消耗最小作為性能指標(biāo)，表示為

綜合以上約束，多脈沖抵近軌跡優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型表示為

3.3 差分進化算法（DE）

DE由Storn 和Price于1995年首次提出，主要用于求解實數(shù)優(yōu)化問題。該算法是一類基于群體的自適應(yīng)全局優(yōu)化算法，屬于演化算法的一種，具有結(jié)構(gòu)簡單、容易實現(xiàn)、收斂快速、魯棒性強等特點。DE 的基本思想如下：從一個隨機生成的初始種群開始，將種群中任意2 個個體的向量差加上第3 個個體的和生成新的個體，然后將這個新的個體與種群中相應(yīng)的當(dāng)代個體相比較，如果新個體的適應(yīng)度優(yōu)于當(dāng)前個體的適應(yīng)度，則是在下一代個體中取新替換舊，或仍保持舊個體。通過不斷的進化，可以保留好的個體，淘汰差的個體，引導(dǎo)搜索接近最優(yōu)解。其具體進化步驟如下：

首先確定DE 的控制參數(shù)，確定其適應(yīng)度函數(shù)。DE 控制參數(shù)主要包括：種群大小、縮放因子與交叉概率；

隨機產(chǎn)生初始種群；

根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)對初始種群進行評價，計算種群中個體的適應(yīng)度函數(shù)值；

判斷終止條件或進化代數(shù)是否達到最大，若是則停止進化搜索，將搜索到的最佳個體作為最優(yōu)解進行輸出，若否則繼續(xù)進化；

進行變異和交叉操作，得到中間種群；

在原種群和中間種群中選擇個體，得到新一代種群；

進化代數(shù)=+1，轉(zhuǎn)步驟4。

在DE 的主要控制參數(shù)中，種群規(guī)模在算法中主要反映了種群信息的大小。值越大，種群信息越豐富。但結(jié)果會使計算量變大，不利于求解。相反，種群多樣性是有限的，這不利于算法獲得全局最優(yōu)解，甚至導(dǎo)致搜索停滯。交叉概率主要反映后代與父代之間以及交叉過程中中間變異個體之間的信息交換量。值越大，信息交換程度越高。相反，如果值過小，種群多樣性會迅速下降，不利于整體優(yōu)化。與相比，縮放因子對算法性能的影響更大，主要影響算法的全局優(yōu)化能力。越小，算法的局部搜索能力越好。

4 仿真算例

假設(shè)任務(wù)起始時間為UTC 時2021 年4 月1 日12：00：00.000，追蹤星和目標(biāo)星都處于近地球靜止軌道。任務(wù)初始時刻，追蹤星和目標(biāo)星的瞬時軌道根數(shù)如下：

式中：為近地點幅角；為升交點赤經(jīng)；為真近點角。

不考慮入軌相對構(gòu)型，假設(shè)以目標(biāo)星位置作為打靶點，目標(biāo)星軌道作為打靶軌道，分別對不同時間約束下的雙脈沖抵近、三脈沖抵近和四脈沖抵近進行軌道優(yōu)化求解。設(shè)置DE 的種群規(guī)模=12，縮放因子=0.85，交叉概率=0.85。設(shè)置最大迭代次數(shù)為100，并對每組輸入數(shù)據(jù)進行5 組優(yōu)化計算實驗。當(dāng)任務(wù)時間約束分別為12、24、48 h 時，仿真結(jié)果見表1～表3。24 h 時間約束下的雙脈沖抵近、三脈沖抵近和四脈沖抵近的軌跡圖如圖10～圖12 所示。

圖10 24 h 約束下雙脈沖抵近優(yōu)化算例Fig.10 Schematic diagram of the dual-pulse proximity optimization example under the 24 h constraint

表1 12 h 約束的仿真數(shù)據(jù)Tab.1 Simulation data under the 12 h constraint

表2 24 h 約束的仿真數(shù)據(jù)Tab.2 Simulation data under the 24 h constraint

表3 48 h 約束的仿真數(shù)據(jù)Tab.3 Simulation data under the 48 h constraint

圖11 24 h 約束下三脈沖抵近優(yōu)化算例Fig.11 Schematic diagram of the triple-pulse proximity optimization example under the 24 h constraint

圖10～圖12 中標(biāo)注的DV1、DV2、DV3 和DV4分別指第1 次脈沖大小、第2 次脈沖大小、第3 次脈沖大小和第4 次脈沖大小，對應(yīng)紅色星號示意施加脈沖的位置。

圖12 24 h 約束下四脈沖抵近優(yōu)化算例Fig.12 Schematic diagram of the quadruple-pulse proximity optimization example under the 24 h constraint

由以上算例可以總結(jié)出：1）延長任務(wù)約束時間可以有效降低總沖量；2）三種脈沖次數(shù)的轉(zhuǎn)移方式的優(yōu)化結(jié)果，耗費總沖量相差較小；3）在中短期抵近任務(wù)中，雙脈沖轉(zhuǎn)移由于獨立變量少所以最優(yōu)解穩(wěn)定易得，四脈沖轉(zhuǎn)移優(yōu)化收斂性較差，而三脈沖轉(zhuǎn)移優(yōu)化效果相對較好。

5 結(jié)束語

本文對高軌衛(wèi)星遠程抵近問題建立了數(shù)學(xué)模型，使用Pork-chop 圖探討了非理想地球靜止軌道偏心率和軌道傾角偏差對攔截速度增量的影響，分析了任務(wù)時間約束內(nèi)遠程抵近軌道最優(yōu)解的分布規(guī)律。給出多脈沖抵近問題涉及的獨立變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)，建立了多脈沖抵近軌道優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型。最后使用DE，通過多組算例對該問題進行優(yōu)化求解，得出三脈沖抵近方案在中短期任務(wù)中優(yōu)化效果相對較好的結(jié)論。