宋光浩
(1.河北省地質礦產勘查開發(fā)局第八地質大隊,河北 秦皇島 066000)
沉降預測的常用方法是選取擬合模型,通過實測數據計算擬合參數,根據擬合參數預測未知點沉降狀態(tài),這種預測方法計算快捷、原理簡單,但限制于擬合模型的特點,將已知數據代入模型中依然存在誤差,在預測已知點之間的沉降情況時效果通常不好[1-8]。數據插值法具有與已知點完全符合的特性,很多研究對插值法在沉降預測中的適用性展開了探討,李諄[9]提出一種基于三次樣條插值和灰色GM(1,1)模型的組合預測算法,通過三次樣條插值法處理原始非等間距數據,將其轉變?yōu)榈乳g距序列,繼而用傳統(tǒng)GM(1,1)模型進行預測,克服了單一預測模型的局限性;王征博[10]建立基于分形插值的預測模型,并將此算法應用于橋墩沉降數據的預測中;王彥之[11]分別采用三次樣條插值技術和1stOpt軟件進行仿真插值,并對結果進行比較。上述研究缺少對常用插值方法適用性的總結,尤其是在內插預測中插值方法的優(yōu)劣比較,因此本文使用幾種數據插值方法進行沉降預測研究,探討插值法在預測沉降中的適用性與精度,并與常見的2種擬合方法進行對比[12-15]。
設一組二維數據,自變量xi(i=0,1,2,3,…,n),因變量yi(i=0,1,2,3,…,n),插值函數為f(x),其中n為已知數據的個數。
1)線性插值。線性插值表達形式比較簡單,其系數僅為一次,可以認為是一次多項式插值法,其求解式如式(1)所示:
2)三次樣條插值。三次樣條插值中,將區(qū)間[a,b]分成n個區(qū)間,[(x0,x1),(x1,x2),…,,(xn-1,xn)],共有n+1個點,其中區(qū)間[a,b]的端點即為x0和xn,三次樣條方程滿足以下3個條件:在每個小區(qū)間上f(x)都是一個三次方程;f(x)與已知數據相符合;f(x)曲線光滑,f(x)與其一次二次導數都是連續(xù)的;則此三次方程可以組成如式(2)所示的形式:
4)三次多項式插值。三次插值多項式的一般形式如式(4)所示:
式中,αi為待定系數,可由2個端點的函數值及其導數值列4個方程聯立求解。
5)拉格朗日插值。拉格朗日插值多項式的基本形式如式(5)所示:
式中,lk(xj)表示自變量x取第j個時的第k個插值基函數,具體形式如式(6)所示:
6)牛頓插值。牛頓插值法公式如式(7)所示:
式中,f(x0,x1)表示差商,例如,
路基沉降案例使用文獻[16]的實測數據。圖中可知路基沉降共有380 d,其中0~120 d為路基的填筑期,120~220 d為恒載期,220~380 d為穩(wěn)定期,本次計算選用K12+505樁號的斷面進行計算,由20 d起始,每間隔40 d作為已知數據,則已知數據由20 d至380 d共計10組,將空缺的9組數據作為模型內插的已知數據,分別使用線性插值、三次樣條插值、分段三次埃爾米特插值、三次多項式插值、拉格朗日插值和牛頓插值法進行內插預測。已知數據如表1所示,其中備注為已知點的是作為已知數據的10組點,備注未知點式作為待內插數據的9組點。
表1 已知數據
根據已知點對待定點進行插值,列舉成果時略過10組已知點,僅比較9組未知點,為方便比較,將文獻[16]中的GM(1,1)與Verhulst的成果也合并列出,內插成果表如表2所示。
表2 內插成果對比/mm
由上表可知,插值法內插成果明顯優(yōu)于擬合方法的擬合成果,內插成果與真值相差維持在3 mm以內,但擬合成果在許多時間上與真值出入較大,例如第40 d。幾種內插方法中,拉格朗日與牛頓插值成果在小數點后兩位相同,其實際計算結果并不相同,但其區(qū)別很小,在小數點后10位才有所差別,在這種近似的誤差下,考慮到牛頓插值法對新引入數據的差商接續(xù)性,應當舍棄拉格朗日插值的預測方法(拉格朗日插值對新數據沒有接續(xù)性,加入新數據就需要重新計算參數,牛頓插值法由于存在差商表,繼續(xù)沿表計算即可獲得加入新數據的內插結果);線性插值精度較于其他幾種內插方法精度明顯偏低,三次樣條插值、分段三次埃爾米特插值及三次多項式插值精度區(qū)別不大,因此引入平均相對誤差進一步評價其精度。相對誤差成果如表3所示,其中最后一行為平均相對誤差;表3成果曲線如圖1所示,其中縱軸為相對誤差,橫軸為天數。
圖1 相對誤差曲線
表3 平均相對誤差對比
由表3可見,內插方法中三次樣條插值精度最高,平距相對誤差僅為0.55%,分段三次埃爾米特插值、拉格朗日插值與牛頓插值精度相對,均為0.61%~0.62%,三次多項式插值與線性插值精度最低(三次多項式插值本質也是線性插值),說明線性插值方法不能很好地內插預測沉降曲線;兩種擬合方法精度偏低,其平均相對誤差與內插方法相差一個數量級。
本文由實測數據等間隔分割得到實驗數據,對比了常用的數據內插方法及文獻中的擬合成果,結果表明,數據內插方法能夠比較準確地預測路基沉降值,其中三次樣條插值精度最高,分段三次埃爾米特插值、牛頓插值和拉格朗日插值精度次之;數據內插方法具備與已知點相符合的特性,其預測精度遠高于常規(guī)擬合方法。推薦在實際應用中高精度需要時選擇三次樣條插值,當工程尚未結束時,考慮到數據的持續(xù)使用應當選擇牛頓插值或埃爾米特插值。
本文僅對比了數據內插時的預測情況,驗證了內插方法對比擬合方法具備的優(yōu)勢;后續(xù)研究將在有關數據外插方法與擬合模型的對比方面展開,當數據外插時,插值法不再具備與已知數據符合的優(yōu)勢(外插數據在已知范圍以外),其與擬合方法的應用取舍制需進一步探討。