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        應(yīng)用“A”與“X”模型證明著名平面幾何定理

        2022-04-26 07:08:44唐金芳
        數(shù)理化解題研究 2022年12期
        關(guān)鍵詞:模型

        曾 嬌 唐金芳 肖 剛

        (四川省宜賓學(xué)院理學(xué)部 644000)

        1 基本模型

        1.1 “A”型

        如圖1,在△ABC中,DE∥BC

        圖1 圖2

        注:代數(shù)中合比定理可由此模型理解.

        1.2 “X”型

        如圖2,DE∥BC,DC與BE交于點(diǎn)A

        2 平行線法在著名平面幾何定理中的應(yīng)用

        2.1 梅涅勞斯定理

        設(shè)A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點(diǎn)(即三點(diǎn)中或一點(diǎn)或三點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上),則A′、B′、C′共線的充要條件是( ).

        圖3

        關(guān)于梅涅勞斯定理教學(xué)分析:

        在上述的證明過程中,我們的方法是作輔助線過點(diǎn)“A”作與“梅氏線”平行的輔助線

        同理我們也作輔助線過點(diǎn)“B”或“C”作與“梅氏線”平行的輔助線,可以將六條線段轉(zhuǎn)化在直線AB或者AC上,可得到不同的作輔助線方法,但原理一致.

        如圖4,作輔助線過點(diǎn)“B”作與“梅氏線”A′C′平行的輔助線“AE”,利用“A”型將所有線段比轉(zhuǎn)化到AC上.

        圖4

        證畢.

        2.2 塞瓦定理

        設(shè)A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點(diǎn)(即三點(diǎn)中或一點(diǎn)或三點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上),則三直線AA′、BB′、CC′共點(diǎn)或平行的充要條件是

        證明必要性:如圖5,若AA′、BB′、CC′交于一點(diǎn)P,則過A作BC的平行線,分別交BB′,CC′的延長(zhǎng)線于D,E,得:

        圖5

        如圖6,若AA′、BB′、CC′三線平行,可類似證明.

        圖6

        故AA′∥BB′∥CC′.

        關(guān)于塞瓦定理教學(xué)分析:

        將六條線段轉(zhuǎn)化在一組平行線“ED”“BC”上.同理我們也可以將六條線段轉(zhuǎn)化在另外兩組平行線上,可得到不同的作輔助線方法,但原理一致.

        2.3 梅涅勞斯定理與塞瓦定理

        如圖7,利用梅涅勞斯定理證明塞瓦定理:

        圖7

        設(shè)A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點(diǎn)(即三點(diǎn)中或一點(diǎn)或三點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上),則三直線AA′、BB′、CC′共點(diǎn)或平行的充要條件是

        以共點(diǎn)為例:

        在△ABC中:

        △ABA′被直線CPC′所截:

        △ACA′被直線BPB′所截:

        反之:由塞瓦定理可以推導(dǎo)梅涅勞斯定理.

        對(duì)于平面幾何題,我們經(jīng)常思考“一題多解”、“多題一解”等問題,有助于我們發(fā)散思維.解同一幾何題,有不同的輔助線添加方法,則解題方法不一樣.掌握基本幾何模型以及作輔助線的技巧,一題就可能實(shí)現(xiàn)多解.著名平面幾何定理的欣賞,有利于我們提升自己的幾何素養(yǎng).本文我們總結(jié)了兩類模型以及在著名平面定理里的應(yīng)用,兩類模型的結(jié)論,均是與線段比例有關(guān),所以,有關(guān)線段比例問題,可考慮這兩類模型結(jié)論.轉(zhuǎn)化線段的方法,在三角形的相似、線段積與線段比的數(shù)量關(guān)系、面積問題等方面有著廣泛的應(yīng)用.

        梅涅勞斯定理、塞瓦定理、西姆松等著名平面幾何定理的學(xué)習(xí)與研究,不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力,增強(qiáng)學(xué)生的解題能力,而且可以向?qū)W生展現(xiàn)出平面幾何的美,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.應(yīng)用“A”與“X”模型證明著名平面幾何定理,重點(diǎn)闡述作輔助線的技巧與依據(jù),讓學(xué)生迅速舉一反三,類比遷移,有利于提高解題效率.

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