胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué) 730900)

考生注意：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框.回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1.已知集合A={x|0

A.{x|x>0} B.{x|1≤x<4}

C.{x|x≥1} D.{x|x<4}

解析依題意A∪B={x|x>0}.故選A．

3.在一個(gè)文藝比賽中，12名專(zhuān)業(yè)人士和12名觀(guān)眾代表各組成一個(gè)評(píng)判小組，給參賽選手打分．根據(jù)兩個(gè)評(píng)判小組對(duì)同一名選手的打分繪制了如圖1的折線(xiàn)圖．

圖1

根據(jù)以上折線(xiàn)圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ).

A.A小組打分分值的最高分為55分，最低分為42分

B.A小組打分分值的標(biāo)準(zhǔn)差小于B小組打分分值的標(biāo)準(zhǔn)差

C.B小組打分分值的中位數(shù)為56.5

D.B小組更像是由專(zhuān)業(yè)人士組成的

故選C．

A.3 B.6 C.9 D.12

圖2

故z=3x+y的最大值是3×4-3=9，故選C．

8.已知兩條不同的直線(xiàn)l，m和不重合的兩個(gè)平面α,β，且l⊥β，有下面四個(gè)命題：①若m⊥β，則l∥m；②若α∥β，則l⊥a；③若α⊥β，則l∥α；④若l⊥m，則m∥β．其中真命題的序號(hào)是( ).

A.①② B.②③ C.②③④ D.①④

解析因?yàn)閮蓷l不同的直線(xiàn)l，m和不重合的兩個(gè)平面α,β，且l⊥β，

對(duì)于①，由l⊥β,m⊥β，可得l∥m，故①正確；

對(duì)于②，若l⊥β,α∥β，可得l⊥α，故②正確；

對(duì)于③，若l⊥β,α⊥β，則有可能l?α，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，當(dāng)l⊥β,l⊥m時(shí)，則有可能m?β，故④錯(cuò)誤．

綜上，真命題的序號(hào)是①②．故選A．

圖3

10.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a+c=2，則b的取值范圍是( ).

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得

所以1≤4-3ac<4.即1≤b2<4，解得1≤b<2.所以b的取值范圍是[1,2)．故選A．

圖4

解析如圖5，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使AB=BE,連接SE,CE,OC.

圖5

因?yàn)镈是母線(xiàn)SA的中點(diǎn)，所以SE∥BD.

所以∠CSE為異面直線(xiàn)SC與BD所成的角(或補(bǔ)角)．

由題意知OE=6，OC=2.

所以在Rt△COE中，

在△SCE中，SC=4，則由余弦定理,得

故選A．

A.b>a>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分).

圖6

圖7

①

又-lnx1>lnx2，故lnx1x2<0，即x1x2<1.

②

三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

(一)必考題：共60分.

①

②

由① - ②,得

18.2020年5月28日，十三屆全國(guó)人大三次會(huì)議表決通過(guò)了《中華人民共和國(guó)民法典》，自2021年1月1日起施行.《中華人民共和國(guó)民法典》被稱(chēng)為“社會(huì)生活的百科全書(shū)”，是新中國(guó)第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎(chǔ)性地位，也是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的基本法，為了增強(qiáng)學(xué)生的法律意識(shí)，了解法律知識(shí)，某校組織全校學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)《中華人民共和國(guó)民法典》知識(shí)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī)(單位：分)統(tǒng)計(jì)得到如下表格：

0,60 60,70 70,80 80,90 90,100 男51416134女31113156

規(guī)定成績(jī)?cè)赱90,100]內(nèi)的學(xué)生獲優(yōu)秀獎(jiǎng).

(1)根據(jù)以上成績(jī)統(tǒng)計(jì)，判斷是否有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生在知識(shí)競(jìng)賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)與性別有關(guān)？

(2)在抽取的100名學(xué)生中，若從獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記X為抽到獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的女生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：

PK2≥k 0.10.010.001k2.7066.63510.828

解析(1)依題意得，列聯(lián)表如下：

是否獲獎(jiǎng)性別 獲優(yōu)秀獎(jiǎng)未獲優(yōu)秀獎(jiǎng)合計(jì)男44852女64248合計(jì)1090100

假設(shè)H0：“該校學(xué)生在知識(shí)競(jìng)賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)與性別無(wú)關(guān)”.

當(dāng)H0成立時(shí)，P(K2≥2.706)≈0.1.

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算得

因?yàn)?.641<2.706，所以小概率事件未發(fā)生.從而接受假設(shè)H0.

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下可以推斷該校學(xué)生在知識(shí)競(jìng)賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)與性別無(wú)關(guān)，即有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生在知識(shí)競(jìng)賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)與性別無(wú)關(guān).

(2)依題意得，X的所有可能取值為0，1，2,3，

所以X的分布列為

X0123P1303101216

19.(12分)如圖8，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC⊥BC，A1C⊥AB，AC=1，AA1=2.

圖8

(1)求證：A1C⊥平面ABC；

解析(1)在△A1AC中，∠A1AC=60°，AC=1，AA1=2.

又因?yàn)锳1C⊥AB，AB∩AC=A，

所以A1C⊥平面ABC.

(2)由(1)知：CA,CB,CA1兩兩垂直.

圖9

解得b=1，可得點(diǎn)B(0,1,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C上存在兩點(diǎn)M，N，使得PM的斜率與PN的斜率之和為-1，直線(xiàn)MN是否過(guò)定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不是,說(shuō)明理由.

解得a2=16,b2=12.

(2)當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m．代入橢圓方程消去y并整理,得

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0.

設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)，則

①

所以(2k+1)x1x2+(m-2k-5)(x1+x2)+16-4m=0.

將①代入， 整理化簡(jiǎn),得

16k2+10km-24k+m2-3m=0.

即(2k+m-3)(8k+m)=0.

因?yàn)镻(2,3)不在直線(xiàn)MN上，

所以2k+m-3≠0.

所以m=-8k.

于是MN的方程為y=k(x-8).

所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(8,0)．

當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不存在時(shí)，可得N(x1,-y1)，不符合題意.

綜上所述，直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)(8,0)．

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值；

由f′(x)=0得x=e.由f′(x)>0得x>e，f′(x)<0得0

x0,e ee,+∞ f 'x -0+fx ↘極小值↗

所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+∞)上單調(diào)遞增.

xex-lnx-x-1≥0．

設(shè)g(x)=xex-lnx-x-1,

故g′(x)單調(diào)遞增．

當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增．

所以當(dāng)x=x0時(shí)，g(x)取得最小值．

(二)選考題(共10分.請(qǐng)考生在第22,23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑.按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分，不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分.)

(1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程；

解析(1)因?yàn)閤=ρcosθ,y=ρsinθ，

因?yàn)閤=ρcosθ,y=ρsinθ，

所以(ρcosθ)2+(ρsinθ-1)2=1.

所以ρ2-2ρsinθ=0.所以C2:ρ=2sinθ.

23.[選修4-5：不等式選講](10分)

已知函數(shù)f(x)=|2x+a|，g(x)=|x-b|.

(1)若a=1，b=3，解不等式f(x)+g(x)≥4；

當(dāng)x>3時(shí)，由3x-2≥4，解得x>3．

(2)當(dāng)a>0,b>0時(shí)，由不等式的性質(zhì)，得

f(x)-2g(x)=|2x+a|-2|x-b|=|2x+a|-|2x-2b|≤|2x+a-2x+2b|=a+2b.

所以a+2b=3．