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        從2021、2020兩年高考試題看不等式選講解題方略

        2022-04-26 07:19:00游少華
        數(shù)理化解題研究 2022年10期
        關(guān)鍵詞:分類學(xué)生

        游少華

        (貴州省遵義市第四中學(xué) 563000)

        課標(biāo)卷中的兩道選作題,學(xué)生如何選擇,如何解答非常重要,甚至決定學(xué)生考試的成敗.這兩道題都體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)——數(shù)形結(jié)合的思想.但對(duì)不等式而言,無(wú)論是有變量問(wèn)題還是定量不等式問(wèn)題,學(xué)生都習(xí)慣分類討論求解.分類討論除分類不清外,還存在求交集錯(cuò)誤問(wèn)題,不等關(guān)系其本質(zhì)上是函數(shù)圖象的上下關(guān)系.如果能作圖象解不等式,不但直觀展現(xiàn)大小關(guān)系,更能方便看出不等關(guān)系的變量范圍.

        2021年與2020年兩年的考題都體現(xiàn)這一解題思想.

        題1 (2021年全國(guó)文理甲卷)已知函數(shù)f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.

        (1)在圖1中畫(huà)出y=f(x)和y=g(x)的圖象;

        (2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范圍.

        圖2

        g(x)=|2x+3|-|2x-1|

        畫(huà)出函數(shù)圖象如圖3:

        圖3

        (2)f(x+a)=|x+a-2|,

        如圖4,在同一個(gè)坐標(biāo)系里畫(huà)出f(x),g(x)圖象,

        圖4

        y=f(x+a)是y=f(x)平移了|a|個(gè)單位得到,

        則要使f(x+a)≥g(x),需將y=f(x)向左平移,即a>0.

        題2(2020年全國(guó)文理Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.

        (1)在圖5中畫(huà)出y=f(x)的圖象;

        圖5

        (2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.

        圖6

        (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位,可得函數(shù)f(x+1)的圖象,如圖7所示:

        圖7

        這兩年考題都是平移折線圖看變量范圍,若改為分類討論求解,就很難計(jì)算,用圖象能非常直觀地求解.在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多作圖,多從圖象的上下關(guān)系去理解不等關(guān)系,學(xué)生就能從圖象移動(dòng)中找到不等關(guān)系存在時(shí)的變量范圍.其實(shí)這種考題不僅在2021年與2020年出現(xiàn),我們?cè)倏辞靶┠昕碱},其方法都一樣,利用作圖可直接方便求解.

        題3 (2018年全國(guó)Ⅲ卷文理)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|.

        (1)在圖8中畫(huà)出y=f(x)的圖象;

        圖8

        (2)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

        y=f(x)的圖象如圖9所示.

        圖9

        (2)由(1)知,y=f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3.

        故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí),

        f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,

        因此a+b的最小值為5.

        題4 (2013年全國(guó)Ⅰ卷文理)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.

        (1)當(dāng)a=-2時(shí),求不等式f(x)

        解析(1)當(dāng)a=-2時(shí),不等式f(x)

        設(shè)函數(shù)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

        其圖象如圖10所示,從圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)x∈(0,2)時(shí),y<0.

        圖10

        所以原不等式解集是{x|0

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