李 杰

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215011)

1 利用直接求根解“隱定點(diǎn)”定值問(wèn)題

(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0.

即2my1y2+(3t+6)y2-(t-2)y1=0.

代入化簡(jiǎn),得

化簡(jiǎn),得

解得t=-1或t=±2(過(guò)頂點(diǎn)，舍).

故直線l過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，△FMN的周長(zhǎng)為4a=8.

在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、周長(zhǎng)、面積等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無(wú)關(guān)，這類(lèi)問(wèn)題統(tǒng)稱(chēng)為定值問(wèn)題．本例從k1=3k3入手，看到不可見(jiàn)的直線過(guò)隱定點(diǎn)——左焦點(diǎn)，只有這樣三角形的周長(zhǎng)才能是定值，否則兩個(gè)變量求定值，很難實(shí)現(xiàn).

本例還可以推廣到一般性結(jié)論：

2 利用韋達(dá)定理解“隱定點(diǎn)”最值問(wèn)題

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)動(dòng)直線l與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，已知AP⊥AQ，設(shè)點(diǎn)A到動(dòng)直線l的距離為d，求d的最大值．

故雙曲線方程為x2-2y2=1．

(2)①若動(dòng)直線l的斜率不存在，則設(shè)l：x=t，代入雙曲線方程可得

由AP⊥AQ，可得

解得t=3或t=1(舍).

此時(shí)點(diǎn)A到l的距離為d=2.

②若動(dòng)直線l的斜率存在，則可設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l：y=kx+t，代入雙曲線方程可得 (1-2k2)x2-4ktx-(2t2+1)=0.

由AP⊥AQ，知(x1-1)(x2-1)+y1y2=0．

由y=kx+t可知

(x1-1)(x2-1)+(kx1+t)(kx2+t)=0.

化簡(jiǎn),得

(1+k2)x1x2+(kt-1)(x1+x2)+t2+1=0.

化簡(jiǎn),得 (3k+t)(k+t)=0．

若k+t=0，則直線經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn)A，舍去；

故3k+t=0.

即直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(3，0)，則d

綜上①②，d的最大值為2．

本題若看見(jiàn)AP⊥AQ垂直關(guān)系，就在學(xué)生原有知識(shí)和所要解決的目標(biāo)間搭建看得見(jiàn)的“腳手架”，有效分散最值問(wèn)題的難點(diǎn)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解問(wèn)題的本質(zhì)，讓學(xué)生順著隱定點(diǎn)“腳手架”來(lái)成功登頂．以后只要看到任意一個(gè)限定AP與BP條件(如kAP·kBP=定值，kAP+kBP=定值)，直線AB依然會(huì)過(guò)定點(diǎn)都應(yīng)該聯(lián)想到隱定點(diǎn)問(wèn)題．

3 利用隱藏結(jié)論解“隱定點(diǎn)”探究性問(wèn)題

例3已知拋物線C:y2=4px(p>0)的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)M(1,2)到點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸距離大p.

(1)求拋物線C的方程；

解析(1)由題意知點(diǎn)M(1,2)到點(diǎn)F的距離與到x=-p距離相等，所以點(diǎn)M(1,2)在拋物線C:y2=4px(p>0)上.

監(jiān)理是連接施工現(xiàn)場(chǎng)和企業(yè)總部的關(guān)鍵崗位，其工作中要嚴(yán)格按照相關(guān)規(guī)定執(zhí)行各項(xiàng)任務(wù)。企業(yè)需定期對(duì)監(jiān)理人員進(jìn)行培訓(xùn)，逐步強(qiáng)化其職責(zé)意識(shí)，使其明確現(xiàn)場(chǎng)管理應(yīng)該完成的工作內(nèi)容[4]。對(duì)于施工環(huán)節(jié)的不合理現(xiàn)象，監(jiān)理需要及時(shí)指出，并秉承著公正、客觀的態(tài)度，監(jiān)督施工人員進(jìn)行改正。企業(yè)同時(shí)要制定監(jiān)理工作標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)范其行為，保證工作效率。

所以4p=4,解得p=1.

所以?huà)佄锞€方程為y2=4x.

(2)結(jié)論：過(guò)拋物線y2=2px上點(diǎn)M(x0,y0)作兩相互垂直的弦MA,MB，則直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p+x0,-y0).

當(dāng)點(diǎn)為M(1,2)時(shí)，直線AB過(guò)定點(diǎn)(5,-2).

所以MA·MB=AB·d，

所以(m+1)2[(m+1)2+4]=32.

解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍).

本題是一道探究性問(wèn)題，由解法2看出此題在設(shè)置的過(guò)程中是利用“隱定點(diǎn)”結(jié)論來(lái)倒置探究性問(wèn)題，這個(gè)“隱定點(diǎn)”問(wèn)題難度較大，需要學(xué)生積累大量經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)還要有很強(qiáng)的數(shù)字感知能力.

4 利用定義法解“隱定點(diǎn)”定點(diǎn)問(wèn)題

(1)求證：直線l過(guò)定點(diǎn)；

(2)是否存在定點(diǎn)D1,D2使得|BD1|+|BD2|為定值？若存在，求出點(diǎn)D1,D2坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

解析(1)由題意知：

A(-4,0),F(2,0).

當(dāng)x0≠2時(shí)，直線l的方程為

當(dāng)x0=2時(shí)，直線l的方程為x+1=0，直線l過(guò)定點(diǎn)D2(-1,0).

(2)存在定點(diǎn)D1(-3,0),D2(-1,0)滿(mǎn)足題意.

記橢圓C左焦點(diǎn)是F′(-2,0)，

則AF′的中點(diǎn)為D1(-3,0).

綜上存在定點(diǎn)D1(-3,0),D2(-1,0)滿(mǎn)足題意.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，我們不僅要看懂定理的證明，更要努力去思考當(dāng)時(shí)這條定理是怎么被想出來(lái)的，最原始的思路是什么.只有這樣，我們才能面對(duì)像例4這樣問(wèn)題時(shí)從被動(dòng)地接受，變?yōu)橹鲃?dòng)地探索.

新課程數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中將傳統(tǒng)的“雙基”(基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能)發(fā)展為“四基”(基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))，這新增的基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就是要引導(dǎo)我們?cè)诮虒W(xué)中關(guān)注那些潛在的、隱性的數(shù)學(xué)素養(yǎng).基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)從本質(zhì)上看是培養(yǎng)學(xué)生的一種數(shù)學(xué)直覺(jué).基本思想中所說(shuō)的抽象、推理和模型都是人的一般思維方式，它們對(duì)于人的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越數(shù)學(xué)學(xué)科.從人的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展來(lái)看，這些遠(yuǎn)比知識(shí)和技能本身更重要，意義更深遠(yuǎn).