楊蓓蓓 王 佳
(安徽省阜陽市紅旗中學(xué) 236000)
近年來高考數(shù)學(xué)習(xí)題對構(gòu)造法的考查較為頻繁.很多學(xué)生不注重構(gòu)造法的應(yīng)用,導(dǎo)致在解題中走了不少彎路,因此,教學(xué)中為使學(xué)生認(rèn)識到構(gòu)造法在解題中的重要性,掌握運(yùn)用構(gòu)造法解題的相關(guān)技巧與細(xì)節(jié),有必要為學(xué)生講解構(gòu)造法在高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.
不等式是高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn),相關(guān)習(xí)題的解題思路靈活多變.教學(xué)中為避免學(xué)生思維定勢,掉進(jìn)命題人設(shè)置的陷阱之中,既要注重與學(xué)生一起總結(jié)不等式習(xí)題解答思路,又要示范構(gòu)造法的應(yīng)用,使學(xué)生體會構(gòu)造法在解題中的便利,更好地把握相關(guān)習(xí)題特點(diǎn),逐漸提升其運(yùn)用構(gòu)造法解題的意識.
例1(2020年全國Ⅱ卷第12題)若2x-2y<3-x-3-y,則( ).
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
該題目給出的已知條件較為簡單,但卻考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、構(gòu)造法等知識點(diǎn),是一道不錯的好題.
解析因為2x-2y<3-x-3-y,
所以2x-3-x<2y-3-y.
令f(t)=2t-3-t,因為2t為增函數(shù),-3-t為增函數(shù),所以f(t)為增函數(shù).
又因為f(x)=2x-3-x 所以x 即y-x>0,y-x+1>1. 由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知,ln(y-x+1)>0. 而y和x的大小未知,因此無法判斷|x-y|,|x-y|和1的大小關(guān)系.故選A. 方程與函數(shù)有著密切的聯(lián)系,在解答方程類的問題時常常將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.但高考中的部分習(xí)題綜合性較強(qiáng),不容易直接觀察出相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系,因此,解題中應(yīng)具備靈活的思維,積極聯(lián)系所學(xué)基礎(chǔ)知識,通過觀察方程特點(diǎn)構(gòu)造出相關(guān)函數(shù),運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)加以巧妙突破. 例2(2020年全國Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,則( ). A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a 該題目屬于函數(shù)與方程綜合題目,具有一定難度.解答該題需要具有靈活思維,能夠從給出的已知條件中找到突破口.觀察給出的等式形式可知需要運(yùn)用構(gòu)造法進(jìn)行解答. 解析令f(x)=2x+log2x,因為2x,log2x均為單調(diào)遞增函數(shù),所以f(x)為增函數(shù). 觀察給出的四個選項,可令 F(x)=f(a)-f(2b)=2a+log2a-22b-log22b, 又因為4b=22b,2log4b=log2b, 2a+log2a=4b+2log4b, 所以2a+log2a=22b+log2b. 所以F(x)=22b+log2b-22b-log22b =log2b-log22b 所以a<2b,故選B. 數(shù)列相關(guān)知識較為抽象,是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)知識.相關(guān)習(xí)題在高考中常作為壓軸題,考查學(xué)生對數(shù)列知識的理解深度以及靈活運(yùn)用程度.教學(xué)中為提高學(xué)生解答不同數(shù)列習(xí)題的能力,應(yīng)優(yōu)選高考中代表性較強(qiáng)的題目,做好構(gòu)造法的應(yīng)用講解,使學(xué)生更好地把握數(shù)列知識本質(zhì),掌握構(gòu)造法解答數(shù)列習(xí)題的思路,在解題中能夠融會貫通、舉一反三. 例3(2019年全國Ⅱ卷)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列; (2)求{an}和{bn}的通項公式; 解答該題目可從要求解的問題入手進(jìn)行分析,從中可以看到需要運(yùn)用構(gòu)造法進(jìn)行解答. 解析(1)因為4an+1=3an-bn+4, ① 4bn+1=3bn-an-4, ② ①+②整理,得 4(an+1+bn+1)=2(an+bn). 又因為a1+b1=1, ③ ①-②整理,得 4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8. 所以(an+1-bn+1)-(an-bn)=2. 又因為a1-b1=1, 所以{an-bn}是以1為首項,以2為公差的等差數(shù)列. 即an+bn=1+(n-1)×2=2n-1. ④ (2)③+④,③-④整理,得 構(gòu)造法在解答高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)習(xí)題中有著廣泛的應(yīng)用.教學(xué)中為提高學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法解答導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的能力,一方面,為學(xué)生總結(jié)導(dǎo)數(shù)習(xí)題中常用的構(gòu)造思路,并在課堂上通過設(shè)計問題與學(xué)生互動,使其更好地把握構(gòu)造法應(yīng)用的相關(guān)細(xì)節(jié).另一方面,與學(xué)生一起分析相關(guān)的高考習(xí)題,使其明確高考導(dǎo)數(shù)習(xí)題的考查知識點(diǎn)、考查方向,使其深刻體會構(gòu)造法在解題中的具體應(yīng)用,以后遇到相關(guān)習(xí)題,能夠迅速、正確地構(gòu)造出相關(guān)函數(shù),實(shí)現(xiàn)順利解題. 例4(2020年全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x. (1)當(dāng)a=1時,討論f(x)的單調(diào)性; 該題目中的第(1)問考查學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題,第(2)問考查學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法求函數(shù)最值問題. 解析(1)因為f(x)=ex+x2-x,則 f′(x)=ex+2x-1. 則f″(x)=ex+2>0. 所以f′(x)在R上單調(diào)遞增. 又因為f′(x)=0時,x=0, 則當(dāng)x<0時,f′(x)<0; 當(dāng)x>0時,f′(x)>0. 即f(x)的遞減區(qū)間為(-∞,0),遞增區(qū)間為(0,+∞). (2)當(dāng)x=0時,f(x)=1≥1成立,此時a∈R; 問題轉(zhuǎn)化為求h(x)的最大值,則 則g′(x)=ex-x-1,g″(x)=ex-1>0,表明g′(x)單調(diào)遞增. 又因為g′(0)=ex-x-1=0, 所以當(dāng)x>0時,g′(x)>0, 因為g(x)min=g(0)=0, 所以當(dāng)x>0時,g(x)>0. 當(dāng)0 當(dāng)x>2時,h′(x)<0,則 構(gòu)造法對學(xué)生的各項能力要求較高,既要能夠牢固掌握、深入把握所學(xué)知識本質(zhì),又要掌握不同題型的構(gòu)造技巧,因此,教學(xué)中不僅要為學(xué)生講解構(gòu)造法相關(guān)理論,傳授相關(guān)的構(gòu)造技巧,又要做好構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用講解,鼓勵其做好聽課的總結(jié),及時彌補(bǔ)學(xué)習(xí)中的不足.2 構(gòu)造法解方程習(xí)題
3 構(gòu)造法解數(shù)列習(xí)題
4 構(gòu)造法解導(dǎo)數(shù)習(xí)題