楊蓓蓓 王 佳

(安徽省阜陽市紅旗中學(xué) 236000)

近年來高考數(shù)學(xué)習(xí)題對構(gòu)造法的考查較為頻繁.很多學(xué)生不注重構(gòu)造法的應(yīng)用，導(dǎo)致在解題中走了不少彎路，因此，教學(xué)中為使學(xué)生認(rèn)識到構(gòu)造法在解題中的重要性，掌握運(yùn)用構(gòu)造法解題的相關(guān)技巧與細(xì)節(jié)，有必要為學(xué)生講解構(gòu)造法在高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

1 構(gòu)造法解不等式習(xí)題

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，相關(guān)習(xí)題的解題思路靈活多變.教學(xué)中為避免學(xué)生思維定勢，掉進(jìn)命題人設(shè)置的陷阱之中，既要注重與學(xué)生一起總結(jié)不等式習(xí)題解答思路，又要示范構(gòu)造法的應(yīng)用，使學(xué)生體會構(gòu)造法在解題中的便利，更好地把握相關(guān)習(xí)題特點(diǎn)，逐漸提升其運(yùn)用構(gòu)造法解題的意識.

例1(2020年全國Ⅱ卷第12題)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

該題目給出的已知條件較為簡單，但卻考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、構(gòu)造法等知識點(diǎn)，是一道不錯的好題.

解析因為2x-2y<3-x-3-y，

所以2x-3-x<2y-3-y.

令f(t)=2t-3-t，因為2t為增函數(shù)，-3-t為增函數(shù)，所以f(t)為增函數(shù).

又因為f(x)=2x-3-x

所以x

即y-x>0，y-x+1>1.

由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，ln(y-x+1)>0.

而y和x的大小未知，因此無法判斷|x-y|，|x-y|和1的大小關(guān)系.故選A.

2 構(gòu)造法解方程習(xí)題

方程與函數(shù)有著密切的聯(lián)系，在解答方程類的問題時常常將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.但高考中的部分習(xí)題綜合性較強(qiáng)，不容易直接觀察出相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，因此，解題中應(yīng)具備靈活的思維，積極聯(lián)系所學(xué)基礎(chǔ)知識，通過觀察方程特點(diǎn)構(gòu)造出相關(guān)函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)加以巧妙突破.

例2(2020年全國Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

該題目屬于函數(shù)與方程綜合題目，具有一定難度.解答該題需要具有靈活思維，能夠從給出的已知條件中找到突破口.觀察給出的等式形式可知需要運(yùn)用構(gòu)造法進(jìn)行解答.

解析令f(x)=2x+log2x，因為2x，log2x均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù).

觀察給出的四個選項，可令

F(x)=f(a)-f(2b)=2a+log2a-22b-log22b，

又因為4b=22b，2log4b=log2b，

2a+log2a=4b+2log4b，

所以2a+log2a=22b+log2b.

所以F(x)=22b+log2b-22b-log22b

=log2b-log22b

所以a<2b，故選B.

3 構(gòu)造法解數(shù)列習(xí)題

數(shù)列相關(guān)知識較為抽象，是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)知識.相關(guān)習(xí)題在高考中常作為壓軸題，考查學(xué)生對數(shù)列知識的理解深度以及靈活運(yùn)用程度.教學(xué)中為提高學(xué)生解答不同數(shù)列習(xí)題的能力，應(yīng)優(yōu)選高考中代表性較強(qiáng)的題目，做好構(gòu)造法的應(yīng)用講解，使學(xué)生更好地把握數(shù)列知識本質(zhì)，掌握構(gòu)造法解答數(shù)列習(xí)題的思路，在解題中能夠融會貫通、舉一反三.

例3(2019年全國Ⅱ卷)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bn-an-4.

(1)證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an-bn}是等差數(shù)列；

(2)求{an}和{bn}的通項公式；

解答該題目可從要求解的問題入手進(jìn)行分析，從中可以看到需要運(yùn)用構(gòu)造法進(jìn)行解答.

解析(1)因為4an+1=3an-bn+4，

①

4bn+1=3bn-an-4，

②

①+②整理，得

4(an+1+bn+1)=2(an+bn).

又因為a1+b1=1，

③

①-②整理,得

4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8.

所以(an+1-bn+1)-(an-bn)=2.

又因為a1-b1=1，

所以{an-bn}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列.

即an+bn=1+(n-1)×2=2n-1.

④

(2)③+④,③-④整理,得

4 構(gòu)造法解導(dǎo)數(shù)習(xí)題

構(gòu)造法在解答高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)習(xí)題中有著廣泛的應(yīng)用.教學(xué)中為提高學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法解答導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的能力，一方面，為學(xué)生總結(jié)導(dǎo)數(shù)習(xí)題中常用的構(gòu)造思路，并在課堂上通過設(shè)計問題與學(xué)生互動，使其更好地把握構(gòu)造法應(yīng)用的相關(guān)細(xì)節(jié).另一方面，與學(xué)生一起分析相關(guān)的高考習(xí)題，使其明確高考導(dǎo)數(shù)習(xí)題的考查知識點(diǎn)、考查方向，使其深刻體會構(gòu)造法在解題中的具體應(yīng)用，以后遇到相關(guān)習(xí)題，能夠迅速、正確地構(gòu)造出相關(guān)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)順利解題.

例4(2020年全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；

該題目中的第(1)問考查學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題，第(2)問考查學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法求函數(shù)最值問題.

解析(1)因為f(x)=ex+x2-x，則

f′(x)=ex+2x-1.

則f″(x)=ex+2>0.

所以f′(x)在R上單調(diào)遞增.

又因為f′(x)=0時，x=0，

則當(dāng)x<0時，f′(x)<0；

當(dāng)x>0時，f′(x)>0.

即f(x)的遞減區(qū)間為(-∞，0)，遞增區(qū)間為(0，+∞).

(2)當(dāng)x=0時，f(x)=1≥1成立，此時a∈R；

問題轉(zhuǎn)化為求h(x)的最大值，則

則g′(x)=ex-x-1，g″(x)=ex-1>0，表明g′(x)單調(diào)遞增.

又因為g′(0)=ex-x-1=0，

所以當(dāng)x>0時，g′(x)>0，

因為g(x)min=g(0)=0，

所以當(dāng)x>0時，g(x)>0.

當(dāng)00；

當(dāng)x>2時，h′(x)<0，則

構(gòu)造法對學(xué)生的各項能力要求較高，既要能夠牢固掌握、深入把握所學(xué)知識本質(zhì)，又要掌握不同題型的構(gòu)造技巧，因此，教學(xué)中不僅要為學(xué)生講解構(gòu)造法相關(guān)理論，傳授相關(guān)的構(gòu)造技巧，又要做好構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用講解，鼓勵其做好聽課的總結(jié)，及時彌補(bǔ)學(xué)習(xí)中的不足.