陳應(yīng)全

(廣東省茂名市廣東高州中學(xué) 525200)

一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，若能從多個視角分析，往往會有多種解題思路，從而促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解、厘清其內(nèi)在本質(zhì)，同時(shí)也讓學(xué)生在探究數(shù)學(xué)問題過程中獲得良好的思維啟迪.教育部從2020年開始在試點(diǎn)高校實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃至今已有兩年時(shí)間，其校測考試考點(diǎn)看似與高考相同，實(shí)際上題目靈活多變，內(nèi)涵豐富，不少考題堪稱經(jīng)典，值得我們認(rèn)真研究.下面以2021年中國科技大學(xué)強(qiáng)基校考第2題為例進(jìn)行多視角切入剖析，以期拋磚引玉.

1 題目呈現(xiàn)

分析二元函數(shù)最值問題一直都是數(shù)學(xué)競賽的熱點(diǎn)問題之一，此類問題解法多樣，方法靈活，對學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力要求較高，因此它成為甄別思維差異，選拔創(chuàng)新人才的好素材.破解此類問題的關(guān)鍵在于從哪個角度找到切入點(diǎn).

2 解法探討

視角1 (函數(shù)+導(dǎo)數(shù))通過對題目進(jìn)行分析，目標(biāo)函數(shù)有兩個變量，而兩個變量有關(guān)系，因此考慮消元，把目標(biāo)函數(shù)變?yōu)橐辉瘮?shù)，再利用導(dǎo)數(shù)知識求其最小值.

令u=x-8(u>0)，

所以t(u)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增.

所以t(u)min=t(2)=125.

此時(shí)u=2，x=10,y=5.

圖1

當(dāng)OP⊥PR時(shí)，|OP|≤|OR|≤|OQ|.

即fmin=|OP|.

設(shè)P(x0,y0)，則kOP·kPR=-1.

解得x0=10 ，y0=5.

視角3 (重要不等式鏈)根據(jù)題干結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造調(diào)和平均數(shù)不大于平方平均數(shù)，

解法3由條件可得

所以x=10,y=5時(shí)取等號.

=|AP|+|BP|

點(diǎn)評求代數(shù)式最值問題常見思維視角：①化歸為一元函數(shù)最值問題；②利用重要不等式求最值；③對條件賦予一定的幾何意義后利用數(shù)形結(jié)合思想或轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解，它們都是解決最值問題的有效途徑.解法1利用消元思想把目標(biāo)式子化為一元函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)知識求最小值，需要注意的是不能忽略定義域的限制；解法2將條件變形后理解為某個函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為求解該函數(shù)圖象上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小值，其難點(diǎn)在于如何確定取得最小值時(shí)點(diǎn)的位置，思維巧妙；解法3利用重要不等式鏈中的調(diào)和平均數(shù)不大于平方平均數(shù)，結(jié)合目標(biāo)通過巧妙的配湊得以奏效，此解法過程簡潔，但技巧性強(qiáng)；解法4挖掘出條件隱藏的幾何意義，通過引入輔助角將目標(biāo)式子轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)后，再借助均值不等式求解，此法轉(zhuǎn)換較多，對知識的掌握以及方法熟練程度要求較高；解法5結(jié)合條件的特點(diǎn)，聯(lián)想到借助權(quán)方和不等式的二維形式，通過合理配湊后達(dá)到求解，由于權(quán)方和不等式不屬于高考范圍必須掌握知識，對參加過競賽輔導(dǎo)的同學(xué)而言是比較容易想到的.縱觀以上的解題多維視角，可以說殊途同歸，其中利用化歸思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題是最自然的思路，也是必須要掌握的方法，此法對數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)要求較高；其次利用數(shù)形結(jié)合思想，要根據(jù)數(shù)式的特點(diǎn)從幾何角度理解其幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，此法對直觀想象素養(yǎng)要求較高；此外利用重要不等式求解的前提是要對這些不等式比較熟悉方可，往往這些不等式是課外拓展的內(nèi)容，對競賽生而言難度不大，此法對數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算要求較高.

在教學(xué)中，通過對經(jīng)典例題進(jìn)行多維視角探討，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生對知識的綜合應(yīng)用能力，拓寬學(xué)生思維的廣度與深度，從而助推關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)在教學(xué)中的落實(shí).