劉才華

(山東省泰安市寧陽第一中學(xué) 271400)

解三角形是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考考查的主要內(nèi)容之一.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對其有如下要求：(1)借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理；(2)能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實(shí)際問題.從近年來全國高考數(shù)學(xué)試題來看，解三角形一般是一道主觀解答題，總分12分，約占全卷總分的8%，難度整體上相對保持穩(wěn)定，難易適中.試題一般結(jié)構(gòu)簡單，內(nèi)涵豐富，除考查余弦定理和正弦定理外，還常常和三角變換公式、平面幾何、平面向量、函數(shù)和不等式等知識相結(jié)合，對學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、綜合解題能力有較高要求.

1 試題呈現(xiàn)

題目(2021年全國新高考Ⅰ卷第19題)如圖1，記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

圖1

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

這是2021年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第19題，屬于解三角形中的給值求值題型，試題以三角形為載體，簡潔明快，綜合考查了學(xué)生利用解三角形和三角變換等相關(guān)知識分析問題和解決問題的能力.

2 試題解析

2.1 第(1)問解析

所以BD=b.

2.2 第(2)問解析

對于第(2)問，如何利用好條件“b2=ac”和“AD=2DC”是解題的關(guān)鍵所在.

為行文方便，由題意我們約定CD=t，則AD=2t,AC=BD=3t，∠ADB=θ.

解法1不妨設(shè)CD=t=1，則由(1)和題意得b=BD=3，AD=2.

由余弦定理,得a2=9+1-6cos∠BDC，

c2=9+4-12cos∠BDA.

因?yàn)椤螧DC+∠BDA=π，

所以2a2+c2=33.

解法2 由(1)知BD=b.

在△ABD中，由余弦定理,得

在△ABC中，由余弦定理，得

即2a2+c2-33t2=0.

c4-33t2c2+162t4=0.

即(c2-6t2)(c2-27t2)=0.

則c2=6t2或c2=27t2.

解法3由(1)知BD=b.

在△ABD中，由余弦定理，得

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosθ.

即c2=13t2-12t2cosθ.

在△CDB中，由余弦定理,得

a2=10t2-6t2cos(π-θ)=10t2+6t2cosθ.

由b2=ac,得b4=a2c2.

則81t4=(10t2+6t2cosθ)(13t2-12t2cosθ).

則72cos2θ+42cosθ-49=0.

代入c2=13t2-12t2cosθ,得c2=6t2.

解法4由(1)知BD=b.

即csinA=bsinθ.

又asinB=bsinA，兩式相乘,得

acsinAsinB=b2sinAsinθ.

由b2=ac和sinA≠0，則sinB=sinθ.

在△ABC中，由余弦定理,得

b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2b2cosB.

則b2(1+2cosB)=a2+c2.

即9t2(1+2cosB)=a2+c2.

①

同理，

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosθ.

即c2=13t2-12t2cosθ.

在△CDB中，a2=10t2+6t2cosθ.

從而a2+c2=23t2-6t2cosθ.

②

若∠ABC=∠BDC，則cos∠ABC=-cosθ.

解法5由(1)知BD=b.則

從而sinABC=sinθ.

在△CDB中，BD>BC+CD，不成立.

解法6 由(1)知BD=b.

由AD=2DC,

整理,得11b2=6a2+3c2.

由b2=ac,得11ac=6a2+3c2.

即(2a-3c)(3a-c)=0.

此時(shí)c>a+b，不成立.

解法7由(1)知BD=b.

以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線BC為x軸建立直角坐標(biāo)系，則C(a,0)，A(ccos∠ABC,csin∠ABC).

設(shè)D(x,y)，則

(x-ccos∠ABC,y-csin∠ABC)=2(a-x,-y).

由|BD|=b,得

(2a+ccos∠ABC)2+(csin∠ABC)2=9b2.

③

11b2=6a2+3c2.

由b2=ac,得11ac=6a2+3c2.

即(2a-3c)(3a-c)=0.

此時(shí)c>a+b，不成立.

解法8由(1)知BD=b.

由b2=ac,

解法9(利用斯特瓦特定理)

由(1)知BD=b.由斯特瓦特定理,得

即2a2+c2=33t2.

結(jié)合b2=ac=9t2，得6a2-11a+3c2=0，

下同解法6.

托勒密定理圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.

解法10(利用托勒密定理) 由(1)知BD=b.設(shè)直線BD交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，由相交弦定理，得AD·CD=BD·ED.

由托勒密定理,得

AB·CE+BC·AE=AC·BE.

將相關(guān)數(shù)據(jù)代入,得6a2-11a+3c2=0.

下同解法6.

由AD=2DC,得S△ABD=2S△BCD.

將b2=ac=9t2代入，得6a2-11a+3c2=0.

下同解法6.

教學(xué)啟示通過對上述試題不同解法探討，啟發(fā)我們在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，要結(jié)合具體內(nèi)容，做好一題多解的訓(xùn)練，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有效地避免題海戰(zhàn)術(shù).通過加強(qiáng)一題多解訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，引導(dǎo)學(xué)生利用不同的視角、不同的方法和不同的運(yùn)算去分析同一道試題，發(fā)揮學(xué)生解題的靈活性和創(chuàng)新性，這對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)大有裨益.