安徽省渦陽(yáng)第四中學(xué) 蒿廣欽 王進(jìn)喜 孫傳彬 （郵編：233600）

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中指出，高考必須堅(jiān)持引導(dǎo)教學(xué)，高考有利于理順教考關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“以考促教、以考促學(xué)”的目的.不少試題體現(xiàn)了高考對(duì)教學(xué)的導(dǎo)向，有著重要的研究?jī)r(jià)值，如果將它們應(yīng)用于教學(xué)，將對(duì)教學(xué)有良好的促進(jìn)作用.對(duì)2021 年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)第11 題是一個(gè)特別不錯(cuò)的題目，在此將對(duì)此題運(yùn)用于教學(xué)的設(shè)想寫出來(lái)，以期與同仁交流.

1 試題呈現(xiàn)

此題考查了橢圓與不等式等方面的知識(shí)，既注重了知識(shí)的基礎(chǔ)性，又注重了綜合性，它的基礎(chǔ)性體現(xiàn)在解法上可運(yùn)用解析幾何中的坐標(biāo)法，這是解析幾何的靈魂；它的綜合性體現(xiàn)在要運(yùn)用橢圓、不等式和最值等方面的知識(shí)，具有較強(qiáng)的綜合性.本題也較好地考查了學(xué)生在邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，確實(shí)是一道很優(yōu)秀的數(shù)學(xué)試題.

2 教學(xué)設(shè)想

本題作為一道很好的數(shù)學(xué)試題，可應(yīng)用于課堂教學(xué)中去，以培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí).可從下面三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行設(shè)計(jì)：

2.1 把握本質(zhì)，直觀感知

本題是以橢圓和不等式為背景，實(shí)質(zhì)是關(guān)于橢圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的最大距離問(wèn)題，教學(xué)時(shí)教師在黑板（或屏幕）上展示本題圖形，記橢圓的下頂點(diǎn)為點(diǎn)D,右頂點(diǎn)為點(diǎn)A,讓學(xué)生思考：如果不考慮|PB|≤2b，橢圓上與定點(diǎn)B的最大距離的點(diǎn)可能出現(xiàn)在哪里？由于橢圓的對(duì)稱性，只考慮y軸及其右側(cè).學(xué)生會(huì)猜測(cè)到以下三種情形：（1）下頂點(diǎn)D處；（2）右頂點(diǎn)A處；（3）橢圓的第四象限部分的某點(diǎn)處.

教學(xué)估測(cè)第三種情形可能有的同學(xué)會(huì)忽略，教學(xué)時(shí)可以借助幾何畫板加以展示.

2.2 科學(xué)推證，尋求答案

在分析本題的解答時(shí)，教師主要從下面兩方面加以引導(dǎo)：（1）|PB| ≤2b，由于2b是短軸的長(zhǎng)，取等號(hào)時(shí)說(shuō)明橢圓上與定點(diǎn)B的最大距離的點(diǎn)出現(xiàn)在下頂點(diǎn)D處；（2）橢圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)B的距離屬于兩點(diǎn)距離的問(wèn)題，因而此問(wèn)題可以從兩點(diǎn)間距離入手，由此學(xué)生就會(huì)聯(lián)想到坐標(biāo)法，設(shè)出橢圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)來(lái).接下來(lái)學(xué)生去嘗試，教師適時(shí)點(diǎn)撥.

教學(xué)估測(cè)（1）學(xué)生嘗試時(shí)，可能會(huì)忽略y∈[-b,b]，造成解題障礙；（2）學(xué)生可能忽略二次函數(shù)的對(duì)稱軸與單調(diào)性的關(guān)系來(lái)探求最值，造成解題障礙.

2.3 探究規(guī)律，深度教學(xué)

引導(dǎo)學(xué)生探究更一般的情形:已知橢圓C:=1(a＞b＞0)，點(diǎn)B(0，m)，其 中m≥0，點(diǎn)P橢圓C上任意一點(diǎn)，探討何時(shí)橢圓上點(diǎn)P與定點(diǎn)B的距離最大？

學(xué)生先去嘗試，師生共同總結(jié).

由此可見(jiàn)，橢圓上與定點(diǎn)B的距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)可能在橢圓的頂點(diǎn)處，也有可能在象限內(nèi)，要具體問(wèn)題具體分析，這取決于m、a和b的關(guān)系.

說(shuō)明此題屬于第二種情形.

3 幾點(diǎn)思考

3.1 關(guān)注真題

高考題是命題專家精心打造的試題，體現(xiàn)命題者的智慧和心血，既能反映教學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)，又能體現(xiàn)高考的命題原則；既能考查學(xué)生掌握的知識(shí)，又能考查學(xué)生的能力和素養(yǎng).甚至一些問(wèn)題在高考卷中反復(fù)考，?？汲Ｐ?，對(duì)高三迎考復(fù)習(xí)有很好的指導(dǎo)作用，因而復(fù)習(xí)課上可以借鑒往年的高考真題組織教學(xué).比如今年全國(guó)乙卷文、理科數(shù)學(xué)第11 題反映的就是解析幾何中的典型問(wèn)題，即橢圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的最大距離問(wèn)題，其實(shí)這個(gè)問(wèn)題在往年的高考已經(jīng)出現(xiàn).1990 年全國(guó)理科數(shù)學(xué)試題：已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離是的點(diǎn)的坐標(biāo).

3.2 教師先行

教師要有研究高考真題的熱情和習(xí)慣，每年高考之后，教師要迅速投入到對(duì)當(dāng)年高考試題的研究之中，也可借助一些期刊雜志與同仁一起研究，教師只有先行研究，把高考題研究透徹，才能進(jìn)行有效篩選，更好地應(yīng)用于教學(xué)，發(fā)揮考題的潛在價(jià)值，加強(qiáng)高考復(fù)習(xí)的針對(duì)性和有效性.

在高考命題專家命題時(shí)，常常會(huì)對(duì)一些典型的問(wèn)題進(jìn)行具體化或某種情形，進(jìn)行創(chuàng)編高考試題，比如2021 年全國(guó)乙卷文、理科數(shù)學(xué)第11 題分別是橢圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的最大距離問(wèn)題的兩種情形，這就要求教師在研究高考試題時(shí)進(jìn)行深度探究，探求出一般規(guī)律，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生去探究，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

3.3 學(xué)生為本

在將高考試題運(yùn)用于課堂教學(xué)時(shí)，教師要樹立學(xué)生為本的教學(xué)理念，要嚴(yán)防教師唱獨(dú)角戲，教師要授之以漁，通過(guò)問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生步步逼近答案，讓學(xué)生大膽地去想，大膽地去嘗試，教師適時(shí)地做好幫扶，這樣才能由教師的深度研究帶來(lái)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生尋找科學(xué)的研究方法和培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探索精神，從而發(fā)揮考題的價(jià)值，提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性，達(dá)到素質(zhì)教育的目的.