湖北師范大學(xué)附屬中學(xué)（黃石一中） 楊瑞強(qiáng) （郵編：435000）

1 問(wèn)題引入

人民教育出版社編寫(xiě)的普通高中教科書(shū)《數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)第26 頁(yè)例1 是這樣的：

由三點(diǎn)共線(xiàn)定理可知，若λ+μ=1，則點(diǎn)C的軌跡是直線(xiàn)AB.于是，自然會(huì)思考：若λ+μ≠1，則點(diǎn)C的軌跡又是什么呢？通過(guò)進(jìn)一步探究，可以發(fā)現(xiàn)更多結(jié)論.

圖1

2 問(wèn)題探究

圖2

分 析由于又因?yàn)锳、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)，由三點(diǎn)共線(xiàn)定理可得=1，所以λ+μ=k為定值.

探究2如圖3，在探究1的條件下，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)l ∥AB，在l上任取一點(diǎn)C′，連接OC′交AB于點(diǎn)D′，則λ、μ，k又滿(mǎn)足什么關(guān)系？

圖3

圖4

分析 根據(jù)△OCC′∽△ODD′，可知由探究1 可得′對(duì)應(yīng)以為基底向量時(shí)的系數(shù)和依然為同一個(gè)定值.稱(chēng)這樣的“與AB平行或重合的直線(xiàn)”為“等和線(xiàn)”，其中與AB重合時(shí)λ+μ=1.

探究3反過(guò)來(lái)，如圖5，若是平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，平面內(nèi)的向量滿(mǎn)足且λ+μ=k（定值），則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是什么？

圖5

3 向量等和線(xiàn)定理

根據(jù)上述問(wèn)題的探究與分析可知，向量的等和線(xiàn)有如下結(jié)論：

當(dāng)運(yùn)用“等和線(xiàn)”這一概念時(shí)，經(jīng)常會(huì)涉及下述性質(zhì)：

（1）當(dāng)?shù)群途€(xiàn)恰為直線(xiàn)AB時(shí)，k=1；

（2）當(dāng)?shù)群途€(xiàn)在點(diǎn)O和直線(xiàn)AB之間時(shí)，k∈(0,1)；

（3）當(dāng)直線(xiàn)AB在點(diǎn)O和等和線(xiàn)之間時(shí)，k∈(1,+∞)；

（4）當(dāng)?shù)群途€(xiàn)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，k=0；

（5）若兩等和線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，則定值k互為相反數(shù)；

（6）定值k的變化與等和線(xiàn)到點(diǎn)O的距離成正比.

4 向量等和線(xiàn)定理的妙用

“等和線(xiàn)”定理是專(zhuān)門(mén)解決有關(guān)基向量中系數(shù)之和的秒殺工具，對(duì)于處理向量分解時(shí)的系數(shù)之和以及系數(shù)最值有關(guān)問(wèn)題，均可以嘗試使用向量系數(shù)“等和線(xiàn)”定理.下面分類(lèi)加以說(shuō)明向量“等和線(xiàn)”定理的妙用.

類(lèi)型1基底起點(diǎn)相同

4.1 求共起點(diǎn)向量線(xiàn)性運(yùn)算的系數(shù)和

根據(jù)等和線(xiàn)求共起點(diǎn)向量線(xiàn)性運(yùn)算的系數(shù)和的步驟：(1)確定值為1 的等和線(xiàn)；(2)平移(旋轉(zhuǎn)或伸縮)該線(xiàn)，作出滿(mǎn)足條件的等和線(xiàn)；(3)從長(zhǎng)度比或點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算滿(mǎn)足條件的等和線(xiàn)的值.

圖6

例1（2017 年江蘇高考）如圖7，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量的模分別為1、1與的夾角為α，且tanα=7，與的夾角為45°.若()m、n∈R，則m+n=_____.

圖7

評(píng)析利用等和線(xiàn)定理知，求共起點(diǎn)向量線(xiàn)性運(yùn)算的系數(shù)和可以轉(zhuǎn)化為找等和線(xiàn)，在等和線(xiàn)上取一點(diǎn)Q，求

4.2 求共起點(diǎn)向量線(xiàn)性運(yùn)算系數(shù)和的最值（范圍）

根據(jù)等和線(xiàn)求共起點(diǎn)向量線(xiàn)性運(yùn)算系數(shù)和的最值(范圍)的步驟：(1)確定值為1 的等和線(xiàn)；(2)平移(旋轉(zhuǎn)或伸縮)該線(xiàn)，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的可行域，分析何處取得最大值和最小值；(3)從長(zhǎng)度比或點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算最大值和最小值.

例2（2017 全國(guó)新課標(biāo)III 卷）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則λ+μ的最大值為（）

解析如圖8，由平面向量的等和線(xiàn)定理可知，當(dāng)?shù)群途€(xiàn)l與圓相切時(shí)，λ+μ最大，此時(shí)λ+μ==3.故選A.

圖8

評(píng)析對(duì)于動(dòng)向量問(wèn)題,如果向量的終點(diǎn)不在等和線(xiàn)上,則這類(lèi)問(wèn)題往往涉及求系數(shù)和的最值或者范圍.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段比值的最值或者范圍問(wèn)題來(lái)解決.

4.3 求向量線(xiàn)性運(yùn)算的系數(shù)的線(xiàn)性關(guān)系式

在利用等和線(xiàn)定理求解兩系數(shù)的線(xiàn)性關(guān)系式的值時(shí)，需要先通過(guò)變換基底向量，使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和，再去找基底向量的等和線(xiàn)，轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段比例關(guān)系求解.

圖9

評(píng)析當(dāng)有的等和線(xiàn)問(wèn)題并不是直接求向量系數(shù)和的值或最值時(shí)，而是求類(lèi)似于λx+μy（其中λ、μ為常數(shù)）這種形式的相關(guān)問(wèn)題.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新向量的等和線(xiàn)問(wèn)題來(lái)解決.

類(lèi)型2基底起點(diǎn)不同

運(yùn)用等和線(xiàn)定理時(shí),需要注意三個(gè)向量應(yīng)該共起點(diǎn),對(duì)于不是共起點(diǎn)的問(wèn)題,可通過(guò)找相等向量，從而把相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等和線(xiàn)問(wèn)題.

圖10

評(píng) 析本 題中的三個(gè)向量并不是共起點(diǎn)的，由于高中階段所學(xué)向量均為自由向量，向量平移后得到相等向量，所以在用等和線(xiàn)求解問(wèn)題時(shí)，平面向量共線(xiàn)定理表達(dá)式中的三個(gè)向量的起點(diǎn)一致，若兩向量的起點(diǎn)不同，可以將向量平移實(shí)現(xiàn)起點(diǎn)重合.

類(lèi)型3基底一方或兩方可變

對(duì)于動(dòng)向量問(wèn)題,如果向量的終點(diǎn)不在等和線(xiàn)上,則這類(lèi)問(wèn)題往往涉及求系數(shù)和的最值或者范圍.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段比值的最值或者范圍問(wèn)題來(lái)解決.

例5在正方形ABCD中,如圖11，E為AB中 點(diǎn)，P以A為圓心，AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn),設(shè),則x+y的最小值______.

圖11

圖12

評(píng)析當(dāng)基向量的終點(diǎn)是變化的，使系數(shù)和λ+μ=1 的等和線(xiàn)也是變化的，所以滿(mǎn)足條件的等和線(xiàn)也相應(yīng)保持平行變化，從而求解問(wèn)題的關(guān)鍵在于探求保持平行變化中滿(mǎn)足條件的等和線(xiàn)位置.

例6如圖13，在平行四邊形ABCD中，M、N為CD的三等分點(diǎn)，S為AM與BN的交點(diǎn)，P為 邊AB上一動(dòng) 點(diǎn)，Q為 三 角 形SMN內(nèi)一點(diǎn)(含邊界),若＝x＋y(x、y∈R)，則x＋y的取值范圍是_______..

圖13

圖14

評(píng)析平面向量共線(xiàn)定理的表達(dá)式中的三個(gè)向量的起點(diǎn)務(wù)必一致，若不一致，本著少數(shù)服從多數(shù)的原則，優(yōu)先平移固定的向量；若需要研究?jī)上禂?shù)的線(xiàn)性關(guān)系，則需要通過(guò)變換基底向量，使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和.

類(lèi)型4基底可以合理調(diào)節(jié)

有時(shí)候所要求解的量是系數(shù)的一般線(xiàn)性關(guān)系式，而非系數(shù)和，考慮到可以通過(guò)數(shù)乘運(yùn)算將向量進(jìn)行同向或者反向伸長(zhǎng)、壓縮，所以從理論上講，所有系數(shù)的線(xiàn)性關(guān)系式都可以通過(guò)合理調(diào)節(jié)向量的基底，將所求系數(shù)的線(xiàn)性關(guān)系式變?yōu)閮蓚€(gè)新的基向量的系數(shù)和.

圖15

解析依題意如 圖16，作------OB′=重新調(diào)整基底為設(shè)k=x+3y，顯然，當(dāng)C在A點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過(guò)k=1 的等和線(xiàn)，當(dāng)C在B點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過(guò)k=3 的等和線(xiàn)，這兩條線(xiàn)分別是最近與最遠(yuǎn)的等和線(xiàn)，所以x+3y的取值范圍是[1,3].故填[1,3].

圖16

評(píng)析本題求的是系數(shù)的一般線(xiàn)性關(guān)系式x+3y，而非直接求系數(shù)和，通過(guò)作向量將基底向量壓縮，進(jìn)而得到′，則所求問(wèn)題迅速轉(zhuǎn)化成求新基向量的系數(shù)和.

總之，向量的等和線(xiàn)巧妙地將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問(wèn)題，將系數(shù)和的代數(shù)式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為了距離的比例運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效直接的體現(xiàn).向量的等和線(xiàn)法將復(fù)雜的不等式問(wèn)題、范圍問(wèn)題、數(shù)量積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、直接、操作方便的點(diǎn)到直線(xiàn)距離問(wèn)題，很多時(shí)候用相似即可迅速解決.等和線(xiàn)在解決平面向量中雙變量代數(shù)式求取值范圍或最值問(wèn)題時(shí)，具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì).