安徽省寧國中學 陳曉明 （郵編：242399）

在有關集合的運算中，我們常常說“空集”像一個幽靈：來去匆匆，在運算中經(jīng)常忽略它的存在而付出代價！近來筆者發(fā)現(xiàn)漸近線更像是函數(shù)圖象中的幽靈，同樣我們會經(jīng)常忽略它的存在而功虧一簣！

下面是筆者所在學校參加的各級各類考試中學生出錯率相當高的一類試題，它們都與函數(shù)圖象中的漸近線有關.

例1已知直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2|的圖象有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是____.

錯解首先畫出函數(shù)y=2x的圖象（過定點(0,1)），然后向下平移2 個單位，得到函數(shù)y=2x-2 的圖象（過定點(0,-1)），再把x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方（翻折變換），從而得到函數(shù)y=|2x-2|的圖象，如圖1 所示.若直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2 |的圖象有兩個公共點，則只需2a＞0，即實數(shù)a的取值范圍是(0,+∞).

圖1

剖析該解法錯在忽略了函數(shù)圖象的漸近線的存在.因為函數(shù)y=2x的圖象的漸近線是x軸（y=0），圖象向下平移2 個單位后漸近線是y=-2，如圖2所示，把x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方后漸近線是y=2，因此，若直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2| 的圖象有兩個公共點，則0 ＜2a＜2，即實數(shù)a的取值范圍是(0,1).

圖2

變式（1）若直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2 |的圖象有一個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是__________.（答案：[1,+∞)?{ 0}）

（2）若直線y=2a與函數(shù)y=|2x-2 |的圖象沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是______.（答案：(-∞,0)）

（3）若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1（|a＞0 且a≠1）的圖象有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是_________（答案

（4）若函數(shù)y=的圖象與x軸有交點，則實數(shù)m的取值范圍是_________.（答案：(0,1]）

例2已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是___________.

圖3

圖4

例3函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1，若存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（）.

A.(2,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

錯解（分離參數(shù)法）因為f(x)=ax3-3x2+1，所以x=0 不是函數(shù)的零點.

通過g(x)的大致圖象可知，若函數(shù)h(x)=a（常數(shù)函數(shù)，圖象是一條水平直線）與g(x)=的圖象有唯一交點P(x0,y0)（且x0＞0）是不可能的，交點個數(shù)只可能是2或3 或4.因此該試題有誤.

剖析問題出在函數(shù)g(x) 的大致圖象上：如圖6所示，當x＞1 時，g(x)=＞0，故圖象應 在x軸上方；當x＜-1 時，g(x)=＜0，故圖象應在x軸下方.因此出錯的原因仍然是忽略了該函數(shù)圖象的一條漸近線：x軸.由圖6可知a的取值范圍是(-∞,-2)，故本題正確答案是C.

圖6

變式1若函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1 有唯一零點，求a的取值范圍.（答案：(2,+∞)?(-∞,-2)）

變式2若函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1 有兩個零點，求a的取值范圍.（答案：{0,2,-2}）

變式3若函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1 有三個零點，求a的取值范圍.（答案：(-2,0)?(0,2)）

圖5

例4已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-，若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

解析（分離參數(shù)法）若函數(shù)f(x)有兩個零點，即方程f(x)=(x-1)ex-=0 有兩個根.又f(0)=-1，所以0 不是方程f(x)=0 的根.當x≠0時，易知a=也即方程a=有兩個根.令g(x)=，也即直線y=a與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個交點.易求 得g′(x)=令g′(x)＞0，得x＞0；令g′(x)＜0，得x＜0.所以函數(shù)g(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且g(1)=0，又函數(shù)g(x)在(-∞,0)內(nèi)的值域為(-∞,0)，在(0,+∞)內(nèi) 的值域為R，所以要使直線y=a與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個交點，則a＜0.即當a＜0 時，函數(shù)f(x)有兩個零點.如圖7所示.

圖7

點評如圖7 所示，當x→-∞時，y→0，函數(shù)圖象在x軸下方無限逼近x軸負半軸，即x軸為函數(shù)圖象的一條漸近線，忽略這一點極易犯錯.另外，問題還可變式為判斷函數(shù)f()x有一個零點時實數(shù)a的取值范圍.

變式若函數(shù)f()x=x2ex-a恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是是（）.

點評如圖8 所示，當x→-∞時，y→0，函數(shù)圖象在x軸上方且無限逼近x軸負半軸，即x軸為函數(shù)圖象的一條漸近線，忽略這一點極易犯錯.另外，本問題還可變式為判斷函數(shù)f()x有兩個零點或沒有零點時實數(shù)a的取值范圍.還有，本試題解答中易漏掉實數(shù)a的取值范圍中的0.

圖8

圖9

由上述實例不難看出，試題中經(jīng)常出現(xiàn)以考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)圖象的漸近線問題，而它就像一個“幽靈”，我們很容易忽略它而它又讓你防不勝防，一不小心就會受到它的“致命一擊”！特別是函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后漸近線不再是x軸或y軸，而是另一條水平線或豎直線；另外，當出現(xiàn)它們的一些組合式時，更容易犯錯，應特別引起重視，如例2中：x∈(1,+∞) 時，＞0；例3 中，當x＞1 時，＞0；當x＜-1 時，g(x)=＜0；例4 中，當x＜0時，g(x)=＜0 等等.

當一類錯誤經(jīng)常發(fā)生時，我們要去反思錯誤產(chǎn)生的根源在哪里，從而在解題中引起重視.由本文可知，在解決求參數(shù)取值范圍等問題時我們通常要借助函數(shù)圖象來解決問題，而此時極易出現(xiàn)因為函數(shù)圖象中的“幽靈”（漸近線）而犯錯的現(xiàn)象.只要我們在學習中正視錯誤，剖析問題存在的原因，小心提防錯誤的發(fā)生，仔細觀察函數(shù)圖象的變化，那么“幽靈”一定會離我們遠去！