廣東省中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉 強(qiáng) （郵編：528400）

2017 年12 月，教育部組織修訂并頒布了《普通高中課程方案和語(yǔ)文等學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》（簡(jiǎn)稱新課程），從2022 年秋季學(xué)期起，全國(guó)各?。▍^(qū)、市）均啟動(dòng)實(shí)施新課程新教材.新課程對(duì)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了削枝強(qiáng)干，刪去了算法初步、推理與證明、程序框圖、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題、三視圖等內(nèi)容，突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率三大知識(shí)主線.新課程重視數(shù)學(xué)應(yīng)用，在新教材中設(shè)計(jì)了大量數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動(dòng).新課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化的滲透，在新教材的正文和閱讀材料中有大量的文化背景知識(shí).為了適應(yīng)新時(shí)代的要求，筆者將題根引入課堂，借助題根突破重難點(diǎn)題型，引導(dǎo)學(xué)生圍繞題根開(kāi)展探究活動(dòng)等，取得了不錯(cuò)的效果.

1 題根簡(jiǎn)介

黃坪和尹得好老師在《高中數(shù)學(xué)題根》一書的封面上有一句話“記單詞想詞根，解難題找題根”，這給了題根一個(gè)形象的類比.他們還對(duì)題根進(jìn)行了描述性的定義，認(rèn)為題根是一個(gè)題族的根祖，一個(gè)題系中的根基，一個(gè)題群中的代表.抓到了一個(gè)題根，就等于抓到了這個(gè)題族，這個(gè)題群，這個(gè)題系.

上述的描述性定義可以借助集合論的語(yǔ)言進(jìn)行抽象.題根是某個(gè)問(wèn)題的根源，是一類問(wèn)題的共同特征.每個(gè)題根都對(duì)應(yīng)一個(gè)問(wèn)題集，此集合中的每個(gè)題目都具備某共同特征，這個(gè)共同特征就是我們所說(shuō)的題根.但由于共同特征表達(dá)起來(lái)過(guò)于抽象，不容易理解，為了直觀通常從這個(gè)集合中選取一個(gè)典型來(lái)代表題根.例如錯(cuò)位相減法求一類數(shù)列的前n項(xiàng)和是一個(gè)題根，但直接用語(yǔ)言來(lái)描述錯(cuò)位相減法的適用條件、操作步驟和注意事項(xiàng)等，會(huì)讓大多數(shù)人看得一頭霧水、不知所云.而舉個(gè)具體的例子大家就知道錯(cuò)位相減是怎么一回事了.因此題根是一類問(wèn)題的共同特征，但常常以問(wèn)題的形式出現(xiàn).

方亞斌老師在《一題一課.源于課本的高考數(shù)學(xué)題賞析》中描述，許多高考題往往源于課本有關(guān)例（習(xí)）題，而又高于課本有關(guān)例（習(xí)）題，即在課本中往往能夠找到高考題的題源.因此課本中的一些典型例題、典型習(xí)題、典型方法，就是某類題目的“題根”.著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生在《數(shù)學(xué)教育“中國(guó)路”》一書中專門提到“題根教學(xué)”，評(píng)價(jià)道：“如果積以時(shí)日，尋求‘題根’與變式，也許會(huì)成為中國(guó)數(shù)學(xué)教育的又一抹亮色.”

2 高中數(shù)學(xué)題根教學(xué)的常用模式

2.1 專題式

專題式教學(xué)是圍繞某個(gè)題根進(jìn)行各種變式擴(kuò)展，旨在一次課講透一類問(wèn)題，能增加教學(xué)深度，適用于講解重要題型或重要方法時(shí).方亞斌老師著作的《一題一課.源于世界數(shù)學(xué)名題的高考題賞析》《一題一課.源于課本的高考數(shù)學(xué)題賞析》《一題一課.源于中華傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的高考題賞析》是一個(gè)系列，此系列是運(yùn)用題根進(jìn)行專題式教學(xué)的典范.每篇都是從一道高考題引入，分析背景、覓其源流、挖掘題根，并進(jìn)行多角度的延伸演變得到變式題組、題鏈.在平時(shí)教學(xué)中，善用題根進(jìn)行專題式教學(xué)往往能起到事半功倍的效果.

2.2 滲透式

受限于教學(xué)進(jìn)度的要求，在日常教學(xué)中不可能大量進(jìn)行專題教學(xué)，有些重要知識(shí)與方法也很難一蹴而就，因此在教學(xué)中還經(jīng)常采用滲透式.以二次函數(shù)求最值為例，它的身影出現(xiàn)在高中學(xué)習(xí)的各個(gè)地方，不僅能求解一類基本不等式問(wèn)題，還可以通過(guò)換元法與各類函數(shù)結(jié)合在一起.再比如投影向量，最早出現(xiàn)在平面向量數(shù)量積，在應(yīng)用空間向量求解立體幾何中的距離問(wèn)題時(shí)又大顯身手，平面解析幾何中的點(diǎn)到直線的距離公式也是用投影向量證明最簡(jiǎn)單.

3 數(shù)學(xué)題根在教學(xué)中的價(jià)值

3.1 題根是解決難題的有力武器

正如黃坪和尹得好老師所說(shuō)的“記單詞想詞根，解難題找題根”，題根概念的提出就是為了方便解題.題根可以幫助學(xué)生有效地避開(kāi)誤區(qū)，快速找到正確的解題思路.

例1（2008 年高考江蘇卷）滿足條件AB=2,AC=BC的△ABC的面積的最大值是___.

分析這道題從表面上看怎么看都是一道解三角形的問(wèn)題，但是如果用正余弦定理去做就會(huì)落入命題人的圈套，運(yùn)算十分復(fù)雜.這道題的題根是“阿波羅尼斯圓”，學(xué)生如果了解“平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”這個(gè)結(jié)論，就可以迅速求解此題.

解如圖1，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，很容易得到點(diǎn)C的軌跡方程為：(x-3)2+y2=8.

圖1

點(diǎn)C到x軸距離最大值為，此時(shí)△ABC面積最大,

例2（2020 年新高考全國(guó)卷1（山東）數(shù)學(xué)）已知橢圓C=1(a＞b＞0)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)A(2,1).

（1）求C的方程：（2）點(diǎn)M、N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值.

分析本題單從結(jié)果來(lái)看，很難入手，因?yàn)辄c(diǎn)Q和點(diǎn)D都不知道，距離|DQ|更是無(wú)從表示.本題最關(guān)鍵的條件是AM⊥AN，如果了解題根“過(guò)橢圓上一定點(diǎn)做橢圓的兩條互相垂直的弦，則兩弦端點(diǎn)的連線過(guò)定點(diǎn)”，則很容易想到先求MN恒過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而得到下列解法.

解（1）由題意可得橢圓方程為：=1.

圖2

(2) 設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)，直 線MN的方程為：y=kx+m，代入橢圓方程消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0，

整理化簡(jiǎn)得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0，

因?yàn)锳（2,1）不在直線MN上，所以2k+m-1 ≠0，故2k+3m+1=0，

3.2 題根是題型分類的主要依據(jù)

數(shù)學(xué)題目浩如煙海，永遠(yuǎn)也做不完，但數(shù)學(xué)題型是有限的.在教學(xué)中對(duì)題目進(jìn)行合理分類，可以降低學(xué)生理解難度，提高教學(xué)效率.題型分類的方式有很多，依據(jù)題根進(jìn)行分類是很有效的一種.因?yàn)橐活愵}目都屬于同一題根，有相似的解法，便于學(xué)生深入理解.以基本不等式求最值為例，這部分內(nèi)容在新教材里作為預(yù)備知識(shí)出現(xiàn).因?yàn)轭}目千變?nèi)f化、技巧性強(qiáng)，學(xué)生學(xué)起來(lái)很吃力.但如果從題根角度來(lái)看，這部分的題根只有兩個(gè)：二次函數(shù)型最值與對(duì)勾函數(shù)型最值.

再比如圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題，除了上面的例2，還有如下題型：

例3（2020 年全國(guó)新課標(biāo)1卷理科）

圖3

已知A、B分別為橢圓E:+y2=1(a＞1)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)=8，P為直線x=6 的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.

（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

這兩題雖然都是定點(diǎn)問(wèn)題，但題根完全不同.本題的題根是極點(diǎn)極線問(wèn)題，最佳處理方法是先猜后證.如果不了解題根就會(huì)籠統(tǒng)地把它們歸為定點(diǎn)問(wèn)題，不能反應(yīng)各自的本質(zhì).因此，根據(jù)題根可以把圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題分為內(nèi)接三角形類和極點(diǎn)極線類.

3.3 題根是數(shù)學(xué)建模的強(qiáng)大助手

高中數(shù)學(xué)人教版新教材十分重視數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)作為4 條主線之一.如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和探究能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的新課題，在實(shí)際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)運(yùn)用題根思想可以幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)建模的能力.因?yàn)椋\(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決各類實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先需要將它轉(zhuǎn)化成為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，然后完成數(shù)學(xué)模型的解答，最后回歸為實(shí)際問(wèn)題的解答.這個(gè)數(shù)學(xué)模型就是一類問(wèn)題的根源，建模的過(guò)程就是尋找根源的過(guò)程.

例4如圖4，在寬8 米的矩形教室MEFN正前方有一塊長(zhǎng)6 米的黑板AB，學(xué)生座位區(qū)域CEFD距黑板最近1米，在教室左側(cè)邊CE上尋找黑板AB的最大視角點(diǎn)P（即使∠APB最大），則CP=______時(shí)，∠APB最大.

圖4

例5如圖5 所示，某人在一山坡P處觀看對(duì)面山項(xiàng)上的一座鐵塔，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l且點(diǎn)P在直線l上，l與水平地面的夾角為α，tanα=，試問(wèn)此人距水平地面多高時(shí)，觀看塔的視角∠BPC最大.

圖5

分析這兩道題都屬于最大視角問(wèn)題，可以由正切函數(shù)結(jié)合基本不等式求解，但計(jì)算量較大.如果了解這類問(wèn)題的題根，則很容易建立合適模型，輕松得到解答.

題根（米勒定理）如圖6，設(shè)M、N是銳角∠ABC的一邊BA上的兩定點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)△PMN的外接圓與邊BC相切時(shí)，∠MPN最大.

圖6

解答如圖7，延長(zhǎng)AP交y軸于點(diǎn)M，由已知可得OM=100.由切割線定理知MP2=MB·MC=320×400=12800，所以MP=,AP=MPMA=，可得P點(diǎn)坐標(biāo)為P(320,60).

圖7

故當(dāng)此人距水平地面60 米高時(shí)，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.

3.4 題根是數(shù)學(xué)探究的基本方向

數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，自主探索、學(xué)習(xí)的過(guò)程.與數(shù)學(xué)建模不同，數(shù)學(xué)探究是數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系和應(yīng)用，而數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)外部的應(yīng)用.要想提高學(xué)生的探究能力，需要老師適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生去自主探索數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系和應(yīng)用.在探究過(guò)程中如果了解一類問(wèn)題的題根，將會(huì)為探究活動(dòng)指明方向.

例6如圖8，放置的正方形ABCD，AB=2，A、D分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，求的最大值.

圖8

分析本題看似是一道簡(jiǎn)單的數(shù)量積問(wèn)題，但如果設(shè)∠ODA=θ，然后用θ表示四個(gè)頂點(diǎn)，則很容易得出錯(cuò)誤解答，因?yàn)檎叫卧诓煌笙迺r(shí)，點(diǎn)的表達(dá)式是不同的.這就需要老師引導(dǎo)學(xué)生去探究題目的根源.

問(wèn)題1當(dāng)AD移動(dòng)時(shí)，∠AOD有什么特點(diǎn)？

問(wèn)題2如果讓正方形不動(dòng)，你能求出O點(diǎn)的軌跡嗎？

通過(guò)上述引導(dǎo)，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：無(wú)論AD如何移動(dòng)，∠AOD都是直角，也就是說(shuō)O點(diǎn)落在以AD為直徑的圓上.根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的思想，可以把正方形固定，讓O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，則O點(diǎn)的軌跡是以AD為直徑的圓，由圓的參數(shù)方程可得以下解法.解如圖9，建立新的 坐 標(biāo)系，可得A(1,0)，D(-1,0)，B(1,2)，C(-1,2),O(cosθ,sinθ)，則=(-1-cosθ,2-sinθ),=(1-cosθ,2-sinθ)=-1+cos2θ+4-4 sinθ+sin2θ=4-4 sinθ.

圖9

故當(dāng)θ=時(shí)取得最大值8.

變式1等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，A、B兩點(diǎn)分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，P、Q分別為AC、BC的中點(diǎn)，求的取 值范圍.

變式2矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸滑動(dòng)，其中AD=2,AB=1，求的取值范圍.

通過(guò)探究，可知這類問(wèn)題的題根是圓的參數(shù)方程，運(yùn)用了相對(duì)運(yùn)動(dòng)思想.這種探究可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)不能被題目的表象所迷惑，感受數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系與應(yīng)用.

3.5 題根是數(shù)學(xué)文化的傳播途徑

在漫長(zhǎng)的數(shù)學(xué)發(fā)展史中，形成了無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)文化瑰寶，例如趙爽弦圖、楊輝三角、祖暅原理、秦九韶公式、鱉臑陽(yáng)馬等等.每一個(gè)文化瑰寶都是一個(gè)題根，為了充分展示它們的魅力，可以借助題根的滲透性，圍繞它們進(jìn)行各種變式，與高中數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，滲透到日常教學(xué)中去.下面以趙爽弦圖為例.

例7（與三角結(jié)合）“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖10），若大、小正方形的面積分別為25 和1，直角三角形中較大的銳角為θ，則cos 2θ=_________.

圖10

例8（與向量結(jié)合）受“趙爽弦圖”啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)圖形，該圖形是由三個(gè)全等的鈍角三角形與中間的一個(gè)小正三角形拼成的一個(gè)大正三角形，如圖11所示，若AD=4，BD=2，那么=______.

圖11

例9（與數(shù)列結(jié)合）第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)就是以“趙爽弦圖”為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的.如圖12，四邊形A1B1C1D1是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形ABCD拼成的一個(gè)大正方形.如果小正方形ABCD的面積為1，再以正方形A1B1C1D1為“小”正方形向外作“弦圖”，得到正方形A2B2C2D2……按此做法進(jìn)行下去，記∠AA1B1=θ，)，正方形An BnCn Dn的面積為an(n∈N*).若tanθ=則an=________.

圖12

可見(jiàn)，題根有強(qiáng)大的生命力，可以在數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面發(fā)揮重要作用.研究數(shù)學(xué)題根不僅對(duì)老師在教學(xué)和解題方面有重要意義，還能幫助學(xué)生跳出題海、深入理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵進(jìn)而發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能根據(jù)新課程的特點(diǎn)，充分發(fā)揮題根教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，一定能成為教育的又一抹亮色.