北京理工大學(xué)附屬中學(xué) 金永濤 （郵編：100089）

1 問題提出

數(shù)學(xué)教學(xué)“重結(jié)論輕過程”的現(xiàn)象由來已久，導(dǎo)致學(xué)生多以低階的學(xué)習(xí)活動為主，缺少深度參與和深度思考.學(xué)生對數(shù)學(xué)知識及知識所蘊含的數(shù)學(xué)思想更多地停留在淺層次的認(rèn)知水平，缺少深刻的領(lǐng)悟.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，只有教師具有深度教研的意識、能力和素養(yǎng)，在日常教學(xué)中一貫堅持指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計與實踐，才能確保深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.羅增儒教授指出：數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)教師創(chuàng)造了對數(shù)學(xué)知識的理解.伴隨著學(xué)生深度學(xué)習(xí)的持續(xù)發(fā)生，學(xué)生和教師都會取得更大的提升，更好地實現(xiàn)教學(xué)相長.

2 對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)性質(zhì)探究

2.1 教學(xué)現(xiàn)狀與設(shè)想

在對數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，經(jīng)常遇到形如下面的問題：

已知函數(shù)f(x)=log2(-x2+2x+3)，求函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間，或求函數(shù)的最大值等問題.

學(xué)生通常是利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性口訣“同增異減”進行解答，而對這類函數(shù)的性質(zhì)了解甚少，這也是解題會出現(xiàn)重結(jié)論、套路化的重要原因.為了改變學(xué)生機械化和被動接受式的學(xué)習(xí)方式，強化學(xué)生的深度學(xué)習(xí)和高階思維參與，設(shè)置學(xué)習(xí)專題：系統(tǒng)研究函數(shù)f(x)=ln(ax2+bx+c)(a≠0)的性質(zhì)，應(yīng)用性質(zhì)解決實際問題.進而，利用函數(shù)性質(zhì)，嘗試畫出函數(shù)圖象——圖象是對函數(shù)性質(zhì)的直觀呈現(xiàn).

2.2 教學(xué)設(shè)計與實施

學(xué)習(xí)任務(wù)研究函數(shù)f(x)=ln(ax2+bx+c)(a≠0)的性質(zhì).

引導(dǎo)問題1怎么開展研究？以前有無類似的經(jīng)歷？

引導(dǎo)學(xué)生對要研究的函數(shù)進行分析、類比、聯(lián)想和思考，確定出研究的策略：類比研究二次函數(shù)的過程與方法.在此基礎(chǔ)上，再確定研究思路：采用從特殊到一般的研究方式，從特殊的、簡單的函數(shù)入手，利用函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系逐步深入，系統(tǒng)掌握函數(shù)的性質(zhì).

引導(dǎo)問題2需要考慮哪些影響因素？

引導(dǎo)學(xué)生梳理在研究函數(shù)性質(zhì)時，需要考慮a＞0 與a＜0，還要考慮△=b2-4ac的正負(fù)取值情況及函數(shù)的定義域.

引導(dǎo)問題3如何開展具體的研究？

活動一先研究函數(shù)f(x)=lnx2的性質(zhì).注意到定義域為{x|x≠0}，零點為-1 和1，且f(x)是偶函數(shù)，可將函數(shù)進行變形f(x)=lnx2=2 ln |x|，這樣一來，f(x)就與熟悉的函數(shù)y=lnx建立起聯(lián)系，可作出函數(shù)f(x)的圖象（圖1）.

圖1

活動二研究函數(shù)f(x)=lnax2（a＞0 且a≠1）的性質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用對數(shù)的運算性質(zhì)，可得f(x)=lnx2+lna，注意到lna可以是任意非零的實數(shù)，f(x)可由y=lnx2通過向上或向下平移得到.由此可以猜想，當(dāng)函數(shù)的真數(shù)部分是關(guān)于x的二次函數(shù)時，f(x)與y=lnx存在密切的聯(lián)系，并非陌生的曲線.

引導(dǎo)問題4下面又該研究哪個函數(shù)呢？研究過程需要關(guān)注哪些因素？

活動三研究一般形式的函數(shù)f(x)=ln(ax2+bx+c)(a＞0) 的性質(zhì).此時，函數(shù)仍然有對稱軸且為x=-，要考慮定義域的變化，即ax2+bx+c＞0.當(dāng)△＜0 時，ax2+bx+c＞0 在實數(shù)集R 上恒成立，定義域為R.如f(x)=ln(x2+2x+2)，變形可得f(x)=ln [(x+1)2+1]，可知最小值f(-1)=0，f(x) 在(-∞,-1) 內(nèi)遞減且在(-1,+∞)內(nèi)遞增，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)圖象（圖2）；當(dāng)△≥0 時，記方程ax2+bx+c=0 的兩個實根為x1和x2且x1≤x2，則定義域為(-∞,x1)?(x2,+∞)，如f(x)=ln(x2+2x-3)，定義域為(-∞,-3)?(1,+∞)，對稱軸為x=-1 即f(x)=f(-2+x) 成 立，x=-3 和x=1 是兩條漸近線，即

圖2

x→1 ?x2+2x-3 →0 ?f(x)→-∞且

x→-3 ?x2+2x-3 →0 ?f(x)→-∞，f(x)在(-∞,-3)內(nèi)遞減且在(1,+∞)內(nèi)遞增，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出圖象（圖3）.觀察可知，f(x)在(1,+∞)內(nèi)的圖象類似于我們熟悉的對數(shù)函數(shù).

圖3

引導(dǎo)問題5對于這一類型的函數(shù)，我們的研究全面嗎？

活動四研究f(x)=ln(ax2+bx+c)(a＜0)的性質(zhì)，此時須滿足ax2+bx+c＞0 存在實數(shù)解，函數(shù)仍然存在軸對稱且對稱軸為x=-.如f(x)=ln(-x2+2x+3)，定義域為(-1,3)，對稱軸為x=1，最大值f(1)=ln 4，x=-1 和x=3 是兩條漸近線即x→-1 ?x2+2x-3 →0 ?f(x)→-∞且x→3 ?x2+2x-3 →0 ?f(x)→-∞，f(x)在(-1,1)內(nèi)遞增且在(1,3)內(nèi)遞減，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出圖象（圖4）.

圖4

2.3 評價與反饋

反饋練習(xí)已知f(x)=log2，解不等式f(a)＜f(-a).

解析分析可得f(x)在定義域(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，再由f(0)=0，解得0 ＜a＜1.

3 教學(xué)感悟

（1）深度教研是深度學(xué)習(xí)的根本前提

指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計，首先需要教師具備深度教學(xué)的意識、能力和素養(yǎng)，以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律為基礎(chǔ)，以實現(xiàn)知識理解的系統(tǒng)性和深刻性、探究和把握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)為根本，以揭示知識蘊含的數(shù)學(xué)思維、靈活運用數(shù)學(xué)思想方法創(chuàng)造性地分析和解決問題為核心，進行深度教學(xué)設(shè)計、深度學(xué)法指導(dǎo)設(shè)計和多元評價與反饋.

（2）學(xué)法指導(dǎo)是深度學(xué)習(xí)的根本保障

教師不僅要研究教學(xué)，還要研究學(xué)法，站在學(xué)生的視角審視數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).引導(dǎo)學(xué)生有效開展觀察與分析、數(shù)學(xué)運算與邏輯推理、交流與反思，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力和素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的意識，提升學(xué)習(xí)的效率和質(zhì)量；培養(yǎng)學(xué)生的探究意識，努力揭示知識的本質(zhì)和問題的本源；培養(yǎng)學(xué)生的多元思維，提升遷移能力、逆向思維和批判思維能力.

（3）深度學(xué)習(xí)是提升思維能力，落實核心素養(yǎng)的根本途徑

波利亞說：“解題就像采蘑菇一樣，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個蘑菇時，它的周圍可能有一個蘑菇圈.”深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會用聯(lián)系的觀點、發(fā)展的觀點看問題，用辯證的方式分析和思考問題，有助于提升學(xué)生的“四能”.依托深度學(xué)習(xí)，不斷培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力和思維品質(zhì)，切實落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).