夏存言，張剛，耿云海

哈爾濱工業(yè)大學 衛(wèi)星技術研究所，哈爾濱 150001

隨著航天事業(yè)發(fā)展，在軌航天器之間的交互需求也隨之增加，不論是非接觸式的相互通信、觀測等目的，還是接觸式的軌道攔截或交會，均離不開航天器在軌軌道機動。軌道機動從目標約束條件不同可以分為軌道轉移、軌道攔截和軌道交會3類。從航天器自身機動方式上又可以分為脈沖機動和連續(xù)推力機動。其中軌道轉移問題往往不會對機動位置和機動時間做嚴格約束。但是軌道攔截問題則對終端時刻的位置有著嚴格的要求，軌道交會問題還同時有著嚴格的速度匹配要求。

在軌道轉移、軌道攔截和軌道交會問題中，軌道轉移任務通常只涉及到燃料或時間的優(yōu)化問題，而軌道攔截和交會任務在現代航天中扮演著越來越重要的角色。不論是需要近距離飛掠或交會的近地小行星探測任務，或是需要近距離觀測的大型航天器在軌服務任務及近距離捕捉的空間碎片清除任務，抑或是需要精確攔截的假想空間攻防對抗任務等，都需要軌道攔截策略作為理論研究基礎?？紤]軌道機動的形式為脈沖機動時，軌道攔截及交會問題即為經典的Lambert問題，對此也已經有很多學者提出了多種有效解決方法，并且在經典Lambert問題的基礎上，考慮了長飛行時間的條件，即多圈Lambert問題；以及考慮實際飛行環(huán)境中的攝動力影響條件下的受攝Lambert問題?？紤]到實際任務中雖然對于終端位置速度等條件有著較為嚴格的約束，但是對于脈沖時刻及飛行時長等其他條件往往并不會嚴格要求，所以此類任務通常還會涉及到對于燃料或時間的優(yōu)化過程。當攔截器與待攔截航天器軌道共面時，還可以考慮當脈沖方向受限情況下的攔截優(yōu)化問題。

雖然經典的脈沖式軌道攔截問題不論在解法上或者優(yōu)化過程上都已經得到了較為成熟的發(fā)展，但是往往相關理論研究均建立在一次脈沖或多次脈沖對應單一目標的基礎之上。然而隨著現在航天任務的增多，任務對于低成本、高效率的需求更加迫切。在很多任務中，往往存在著飛掠、攔截或交會多個空間目標的需求。針對大規(guī)模目標的攔截或飛掠任務，單次脈沖攔截或飛掠多個目標可以提升任務效率。在實際工程背景下，航天器脈沖機動的次數有時也會有著比較嚴格的限制，例如，對于傳統(tǒng)的固體助推火箭推進系統(tǒng)，難以在軌多次開關機，通常均為一次性推進使用。另外，目前大多數工程應用中，航天器軌道機動需要地面測控系統(tǒng)的支持；脈沖機動次數越多，需要的地面資源越多。

單脈沖攔截多目標這一理論問題，當脈沖時刻和飛行時間均自由時，在理論上存在單脈沖攔截二目標的可行解。而對于共面情況，理論上存在單脈沖攔截三目標的可行解。與傳統(tǒng)的單脈沖對單目標不同，該問題增加了一項終端位置約束，使得即使在二體條件下，也無法推導出此問題的完整解析解。在2019年的國際軌道優(yōu)化設計大賽(GTOC-X)中，“銀河系移民”賽題里也包含著單脈沖攔截多目標這一子問題，這一子問題的求解也是競賽取得高分的一個關鍵點。競賽的冠軍隊伍結果中給出的解決方法是“打靶+優(yōu)化”。其思路可以概括為先隨機給定速度脈沖，然后通過數值積分得到其飛行軌跡，并在賽題給定的10萬個備選目標中搜索出與其軌跡接近的目標集，之后再通過對脈沖矢量進行修正得到更精確的攔截解。由于備選目標數量龐大，該方法可以通過搜索有效地得到一系列可行解集。但針對空間中給定的二到三個目標，如何從理論上進行求解，目前并無相關研究報道。

結合前文所述，本文將通過理論推導和研究，將共面條件下的單脈沖攔截二、三目標問題化簡總結為求解只包含兩個自由變量的非線性方程組問題，并給出求解初值搜索方法，再通過牛頓迭代，得到共面條件下二維方程組的數值解。此外，對于二目標情況，其解不唯一，將通過數值優(yōu)化得到燃料最優(yōu)解。

1 問題描述

為表達簡潔，問題描述以單脈沖攔截三目標為例，單脈沖攔截二目標的情況可視為在此基礎上減少一個待攔截目標和對應終端約束。

考慮地球二體引力模型下飛行軌道共面的4個航天器，包括1個攔截器和3個待攔截航天器,,。需要注意的是，待攔截航天器的編號與攔截目標的編號并無直接對應關系，攔截目標編號以攔截順序為依據，即若攔截順序為→→，則目標2為航天器，目標3為航天器(見圖1)。

問題中共涉及5個時刻，分別為整體任務的初始時刻、施加脈沖機動時刻、3個目標器的攔截時刻、、。在初始時刻，其初始位置點分別為0,,1,,2,,3,，對應的位置矢量分別為0,,1,,2,,3,。在時刻(≥)，攔截器施加脈沖機動Δ，使攔截器的飛行軌道由其初始軌道變?yōu)閿r截軌道，并使其在,,(<<<)時刻分別與3個目標完成軌道攔截，如圖1所示。求解此問題即為求解脈沖時刻，攔截時刻,,及脈沖矢量Δ。

不難分析，當目標數量為2時，由于共面條件的存在，未知量個數為5個(,,及速度脈沖在平面內的2個分量)，而終端約束方程為4個(即攔截器與目標的位置矢量在平面內2個分量分別相等)。未知量的個數多于約束方程的個數，所以理論上共面單脈沖攔截二目標問題存在無窮多組解，同時也為該問題在固定脈沖時刻或者某一目標的攔截時刻下的求解提供了條件。對應的，當目標數量為3時，未知量個數為6個，終端

圖1 單脈沖攔截二/三目標過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of two/three-target orbit interception problem with a single impulse

約束方程也為6個，即共面條件下單脈沖攔截三目標問題在給定的范圍內，只有有限個數的可行解。

雖然該問題易于定性分析，但是不論是4個或6個方程構成的高度非線性的方程組，在求解時都有著很高的難度和復雜度，并且很難找到合理的初值。所以，如果可以通過軌道理論將自由變量和方程的個數減少，求解過程將得以極大簡化。此過程將在之后的內容中具體推導和介紹。需要說明的是，文中所給出的理論方法均建立在二體引力模型下，當考慮J2攝動時，本文方法得到的結果仍可以保證攔截器與目標近距離飛掠。

2 單脈沖攔截二目標

2.1 終端約束非線性方程組

在二體引力模型下，航天器在其軌道某確定真近點角,(=0,1,2,3,4 and=0,1,2,3)處的位置矢量,可表示為

,=,,

(1)

(2)

,=

(3)

式中：,為位置矢量,的大??；,為地心慣性系下的位置矢量方向單位矢量；為半長軸；為偏心率；為真近點角；為軌道傾角；為升交點赤經；為近地點幅角。

通過Gibbs三矢量定軌方法可知，在共中心引力體的前提下，3個共面的位置矢量可以確定一條開普勒軌道?？紤]到本問題中共面的條件天然滿足，因此若,,已知，與之分別唯一對應的3個位置矢量0,,1,,2,即可唯一確定一條航天器飛行軌道，即本問題中的攔截軌道。由Gibbs方法可以推導出攔截器在攔截軌道上對應時刻的速度矢量表達式:

(4)

(5)

考慮到攔截所需的終端位置相等，式(5)中的相關矢量有著如下等式關系：

(6)

即式(4)中的所有變量均可表示為關于,,的函數。

通過狀態(tài)矢量，可以表示出攔截軌道的相關軌道根數：

1) 半長袖

(7)

2) 偏心率矢量

(8)

(9)

由真近點角與偏近點角、平近點角間的轉換關系可得到對應位置處的平近點角表達式為

(10)

式中：=0,1,2,3,4且=0,1,2,3。

由開普勒方程建立關于目標1和目標2的終端時刻位置約束方程組：

(11)

不難發(fā)現，在式(11)中，等號右側各量均是關于、、的函數，即方程組的自由變量只有、、。所以關于共面單脈沖攔截二目標問題，可以通過Gibbs三矢量定軌方法將其轉化為求解包含3個自由變量的二維非線性方程組，即式(11)的問題。但是由于自由變量個數多于方程個數，該方程組在理論上存在無窮多組解，這給此問題人為增加期望的約束條件提供了可能。

通過人為給定、、其中之一，問題便可轉換為固定出發(fā)時刻或攔截目標之一時刻條件下的共面單脈沖攔截二目標問題。在2.2節(jié)中將具體介紹對于此問題的分析和求解過程。

2.2 給定t0、t1、t2之一的方程組求解

方程組(11)可以寫為

(12)

(13)

(14)

式中：為方程組的Jacobi矩陣，

(15)

(16)

式(16)中涉及到的各偏導數實際上均可通過數學推導得到解析表示，由于過程較為繁瑣，為避免冗繁，在此處不做詳細推導。取而代之則可以通過數值方法得到近似偏導數矩陣。2.3節(jié)將給出牛頓迭代求解方程組的初值搜索方法。

另外，當3個時刻均自由時，此問題還可以對燃料進行優(yōu)化求解。如限制脈沖時刻在攔截器一個軌道周期內條件下，傳統(tǒng)方法大多由進化算法等全局優(yōu)化+序列二次規(guī)劃等局部優(yōu)化尋得約束條件下的燃料最優(yōu)解；傳統(tǒng)方法的優(yōu)化變量包括脈沖時刻、攔截兩個目標的時刻及共面脈沖向量的2個分量(共5個變量)，終端約束條件是攔截2個目標的位置(共4個方程)。而本文首先針對給定脈沖時刻，求解二維方程組得到經過兩目標的解，然后僅優(yōu)化脈沖時刻，得到燃料最優(yōu)解，可以使整個問題的維度降低。

2.3 迭代初值搜索

對于此問題而言，由于其非線性程度很高，很難通過理論分析推導給出合理的初值，所以需要借助數值搜索算法進行方程組迭代初值的獲取。得益于已經將此問題的自由變量個數減少為2個，經典的等高線圖，即PCP(Pork-Chop Plot)搜索算法可以有效地搜索合理的初值點。PCP法是一種在深空探測任務發(fā)射窗口搜索中十分重要的方法。通過將給定區(qū)間范圍的兩自由變量按照一定的步長網格化，對每一個網格點計算指標函數值，最后將數據通過等高線圖的形式可視化，合理的初值點即可輕松獲取。

PCP法對只有2個自由變量的初值搜索問題十分有效，因此同樣適用于單脈沖攔截二目標問題。仍以固定脈沖時刻為例，則2個自由變量為、，令搜索的指標函數為攔截兩個目標的時間誤差之和，表示為

(17)

若足夠小，則表示攔截目標1和目標2的時間誤差均足夠小，與其對應的[,]便可以認為是合理的初值點。

通常來說，傳統(tǒng)意義上PCP法搜索初值點是通過人工在等高線圖上進行選取。但為了求解計算的程序化，可以為PCP法增加一個篩選的過程，即在對每個網格點計算指標函數值后，若小于給定的容許值(例如500 s)，則該點即可被視為是一個合理的初值點。通過這種策略得到的初值點，大部分都可以在迭代后收斂得到精確的可行解，其余無法收斂至=0的初值點則會被舍棄。最終得到的解，便是在給定區(qū)間范圍內的所有單脈沖攔截二目標的可行解。

3 單脈沖攔截三目標

與單脈沖攔截二目標不同，攔截三目標時，若仍選擇Gibbs三矢量定軌法建立方程組，則易知方程維數和自由變量的個數均為3。雖然數量上只增加了一個，但是對于方程組求解的復雜度來說，其提升是巨大的。如Jacobi矩陣的待計算項將會由4項增至9項，且初值搜索由于自由變量個數增加了一個，導致網格點的數量會增加2～3個數量級。以上條件均表明關于共面單脈沖攔截三目標問題，三矢定軌確定攔截軌道的策略不再適用。所以，為了使該問題同樣可以得到充分的簡化以便于求解，一種通過Lambert解以減少自由變量個數的策略將在下文中介紹。

需要說明的是，與經典的三脈沖攔截三目標任務相比，單脈沖攔截三目標有著更為嚴苛的約束條件。對于三脈沖攔截三目標，自由變量包括三次脈沖的時刻、攔截3個目標的時刻、以及三次脈沖分量(共12個變量)，約束方程包括攔截3個目標時位置矢量(共6個約束條件)。對于單脈沖攔截三目標，優(yōu)化變量和約束方程均為6個。因此，單脈沖攔截三目標問題并不存在優(yōu)化空間，在一定的時間范圍約束下，該問題是否存在解以及存在解的個數，只能通過數值計算得到。

3.1 終端約束非線性方程組

由于增加了1個待攔截目標，使得終端約束方程的數量增加，因此若仍期望使方程的數量為2，則需要令3個終端約束之一始終滿足，而Lambert理論則恰好適用。當脈沖時刻以及攔截其中某一目標(以目標1為例)的時刻給定時，通過Lambert算法即可獲得一條可以保證滿足攔截目標1的攔截軌道，同時由于所有的初始軌道均天然滿足共面條件，所以用Lambert算法得到的攔截軌道也必然處在同一平面內。換言之，攔截軌道可以由[,]唯一確定。

當攔截軌道的相關參數確定后，通過共面軌道的相關參數和幾何關系，可以得到其與目標2、目標3的軌道交點處各自的真近點角，過程如下。

當兩軌道共面時，設兩軌道分別以A、B表示，則若二者有交點，交點處有=。由式(2) 可得

(18)

從真近點角的定義可知在交點處兩條軌道上的真近點角滿足如下關系：

(19)

令

(20)

則結合式(19)，可將式(18)變換為

+cos+sin=0

(21)

(22)

由三角函數關系求解方程(21)，并結合式(19) 即可求得及。通過以上分析，令攔截軌道為A軌道，目標2、目標3的軌道分別作為B軌道，則可以得到攔截軌道與目標2、3軌道交點處各真近點角4,,4,,2,,3,。通過式(10)轉至平近點角，并建立相應的開普勒時間方程為

(23)

在方程組(23)中，所有變量都是關于,的函數。通過加入Lambert方法，將共面單脈沖攔截三目標問題也轉化為求解只包含兩個自由變量的非線性方程組的問題。與2.1節(jié)中單脈沖攔截二目標的不同之處在于，式(23)中的各變量雖然是關于,的函數，但是由于Lambert問題的求解算法并不是完全解析的，導致式(23)的方程組無法解析表示，從而無法推導出其解析形式的Jacobi矩陣，只能通過數值方法近似得到其Jacobi矩陣再進行牛頓迭代求解。

雖然求解過程只能使用數值方法，但是由于自由變量的個數為2，相比于3個自由變量的情況，綜合考慮初值搜索和求解的復雜度，該方法仍然有著明顯的優(yōu)勢。

3.2 方程組數值求解

方程組(23)可寫為

(24)

(25)

3.3 迭代初值搜索

對于單脈沖攔截三目標問題，由于3.1節(jié)中工作已經將問題的自由變量個數如攔截二目標一樣減少為2。所以初值搜索仍然可以選擇2.3節(jié)中介紹的Pork-Chop圖法。只需將指標函數的形式改寫為

(26)

由式(26)為指標搜索得到的初值點即可代入迭代方程對方程組進行求解。值得注意的是，對于單脈沖攔截三目標問題，雖然通過引入Lambert理論將自由變量個數減少為2個，但是對于問題本身，其終端約束仍然比攔截二目標更強，以至于在較短的時間范圍內(如攔截器初始軌道的一個軌道周期內出發(fā)，目標2的一個軌道周期內攔截)，有可能出現無法搜索到合理初值點的情況。所以，對于單脈沖攔截三目標問題，在初值搜索時，若難以尋得合理初值點，可以考慮在滿足任務要求的前提下，將搜索區(qū)間適當擴大以尋求可行解。

4 仿真算例

4.1 單脈沖攔截二目標

針對單脈沖攔截二目標問題，初始攔截器及二目標軌道參數如表1所示。

表1 攔截二目標問題初始軌道參數

以給定脈沖時刻為例，對攔截目標1和目標2的時間,進行搜索，值得注意的是，由于對于攔截順序并沒有約束，所以目標1既可以是，也可以是。以目標1為為例，令脈沖時刻=1 500 s，對于目標1和目標2的搜索的時間區(qū)間分別為(,]、(,],,分別為目標1、目標2的一個軌道周期。搜索時間步長為100 s。將初值搜索結果中>1 000 s的結果舍去，從而形成等高線圖，結果見圖2。

從圖2中可以看出，當以為目標1時，脈沖時刻固定為1 500 s條件下，有著可以使指標函數足夠接近0的點，而在這些點處對應的及則可以視為足夠接近精確解，可作為求解方程組的初值點。

需要說明的是，在實際的仿真求解該問題的過程中，繪制等高線圖的過程是不必要的，只需要通過程序選擇指標函數<500 s的點作為初值集合即可。此處給出等高線圖僅供讀者便于理解此過程。

圖2 S1為目標1條件下初值搜索等高線圖Fig.2 Contour map of initial value search with S1 as target 1

表2中，1號解的結果是一條雙曲線軌道，雖然速度增量遠遠超過實際應用可以接受的范圍，但這也只是針對如表1的初始條件以及前文介紹的相關約束條件下的特殊情況，仍然可以說明本文對該問題的相關研究同樣適用于攔截軌道為雙曲線軌道的情況。2號解及3號解的速度增量則分別為3.777 km/s 及0.534 km/s。相應的攔截所需時間也依次增加，在實際工程應用時則可以根據任務需求，綜合燃料及時間因素進行選擇。

同時，可以看出在本文的條件設置下，該問題的解中沒有攔截順序為→→的情況，這說明在初值搜索時便沒有使指標函數足夠小的點，說明對于以為目標1的情況，在給定的時間約束條件下，沒有可以實現單脈沖攔截二目標的解。

以表2中1～3號解中的速度增量最小的3號解為例，繪制航天器飛行軌跡如圖3所示，可以看出攔截器在脈沖后與二目標實現了精準攔截。

表2 攔截二目標問題解集Table 2 Solutions of two-target interception problem

注:序號1～3為固定脈沖時刻=1 500 s條件下的解;序號“*”為燃料最優(yōu)解

圖3 最小速度增量解飛行軌跡Fig.3 Trajectories of the minimum-fuel solution

另外，考慮到單脈沖攔截二目標的脈沖時刻可以任意給定，所以在一定的時間區(qū)間約束下，可以對所需燃料進行優(yōu)化，并得到對應的燃料最優(yōu)解。例如在攔截器的一個軌道周期內施加速度脈沖并尋找燃料最優(yōu)解，則可以通過將脈沖時刻按一定步長搜索，得到相應的最小脈沖隨脈沖時刻變化曲線。針對表2所示初始參數，以10 s為步長，畫出相應曲線如圖4所示。

從圖4可以看出，對于給定的初始軌道參數，單脈沖攔截二目標所需的最小速度增量隨攔截器脈沖時刻變化在大部分情況下可認為是連續(xù)的，且可以從結果數據中得到近似最小速度增量解，在其附近減小步長即可搜索得到最小速度增量解，見表2中序號“*”。可以看出最小速度增量解所需速度增量為0.520 km/s，相比于本節(jié)設置的1 500 s脈沖時刻初始條件下求得的最小速度增量0.534 km/s所需燃料更少。

圖4 最小速度增量隨脈沖時刻變化曲線Fig.4 Minimum-fuel solution with different impulse times

另外，圖4中=3 390 s時，最小脈沖出現“跳躍”的情況，是由于此時刻附近求解得到的攔截軌道偏心率趨近于1，從慣性系中觀察，軌道的運行方向即將反向，攔截軌道的軌道傾角即將從60°跳變?yōu)?20°(同時升交點赤經由90°跳變?yōu)?70°)所致。

4.2 單脈沖攔截三目標

對于單脈沖攔截三目標問題，初始軌道參數如表3所示。

由于攔截順序并不作約束，單脈沖攔截三目標問題的攔截順序與攔截二目標相比選擇性更多?？紤]到理論求解方法一致，所以在此處僅以其中一種攔截順序為例，攔截順序為→→→。首先對此情況進行初值搜索，令脈沖時刻范圍在的一個軌道周期之內，即∈[0,]，攔截的時刻在的一個軌道周期之內，即∈(,]。搜索步長100 s，舍去>1 000 s 的點，得到等高線圖結果如圖5所示。求解得到單脈沖攔截三目標結果見表4。

表3 攔截三目標問題初始軌道參數

圖5 攔截三目標問題初值搜索等高線圖Fig.5 Contour map of initial value search of three-target interception problem

以表4中1號解為例，繪制航天器飛行軌跡如圖6所示。從圖中可以看出，攔截器成功通過一次脈沖實現了對3個目標的攔截。

表4 單脈沖攔截三目標問題解集Table 4 Solutions of three-target interception problem

圖6 攔截三目標問題飛行軌跡Fig.6 Trajectories of three-target interception problem

4.3 針對三目標攔截的單脈沖和三脈沖結果比較

由于三脈沖攔截三目標由于有著6個維度的自由變量空間，可通過全局優(yōu)化算法(如遺傳算法等)得到最優(yōu)解。針對本文的特定初始軌道參數，給出單脈沖攔截三目標的可行解與三脈沖攔截三目標優(yōu)化解的對比結果，結果見表5。結果表明，當攔截所有目標的任務總時長約束在的1或2倍軌道周期內時，遺傳算法得到的燃料最優(yōu)解與本文單脈沖攔截三目標的結果一致。但是當時間約束放寬至3或4倍時，遺傳算法得到的優(yōu)化解優(yōu)于單脈沖攔截三目標的結果。

值得注意的是，單脈沖攔截三目標問題解的存在性與最優(yōu)性與初始軌道直接相關，在某些初始條件下存在解，并且可能是較短時間約束下的最優(yōu)解；但在某些初始條件下不存在解，或單脈沖解所需燃料大于多目標解。在實際工程應用中，可根據脈沖次數和脈沖大小等實際因素進行方案選擇。

表5 針對攔截三目標的單脈沖和三脈沖結果對比Table 5 Comparison of single-impulse and three-impulse three-target interception results

5 結 論

本文通過分析固定脈沖或攔截某一目標時刻的情況，對共面單脈沖攔截二目標問題進行了求解。對于二目標的情況，其解不唯一，通過分析求解得到了燃料最優(yōu)解。同時對于脈沖時刻及攔截時刻均自由條件下的共面單脈沖攔截三目標問題進行了分析和數值求解。在二體模型下，分別利用Gibbs方法、Lambert理論，將2個理論問題轉化為僅含兩個自由變量的非線性方程組的求解問題。之后分別通過解析推導、數值計算得到二者的雅各比矩陣，并通過牛頓迭代實現了問題的求解。初始猜測由等高線圖法給出。采用提出的單脈沖多目標攔截方法，在二體模型下實現了二/三目標的精確攔截。數值結果表明，在一些初始條件和時間約束下，本文提出的單脈沖攔截三目標方法的解與三脈沖攔截三目標數值優(yōu)化解相同。