張可為，袁海燕

(黑龍江工程學(xué)院 理學(xué)院，哈爾濱 150050)

中立型隨機(jī)延遲微分方程被廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、金融、生物、醫(yī)學(xué)、物理等科學(xué)領(lǐng)域的模型建立，因其在理論和實(shí)踐中具有重要意義，引起了越來越多學(xué)者的關(guān)注，例如文獻(xiàn)[1-4]研究了中立型隨機(jī)微分方程模型在傳染病和族群動態(tài)中的應(yīng)用，文獻(xiàn)[5-6]研究了中立型隨機(jī)微分方程模型在金融、物理和工程模型中的應(yīng)用。

非線性期望理論,特別是彭實(shí)戈[7]提出的次線性期望G-期望，由于其在不確定性問題、風(fēng)險(xiǎn)度量、金融飛速發(fā)展等方面的潛在應(yīng)用，引起了研究者的極大興趣。彭實(shí)戈在文獻(xiàn)[7]中建立了時(shí)間相容的G-期望和G-條件期望的基本理論，其中，G是非線性熱方程的無窮小生成元?；贕-期望的框架，在文獻(xiàn)[8]引入G-高斯分布和G-布朗運(yùn)動，并利用它們建立相應(yīng)的積分。另外，胡明上和彭實(shí)戈文獻(xiàn)[8]中提到存在一個(gè)弱緊的概率測度族，它可以用來表示重要的次線性期望G-期望，從而定義了相關(guān)的容量。自此，關(guān)于G-布朗運(yùn)動的隨機(jī)微分方程的研究逐漸展開。由于隨機(jī)微分方程解析解顯示表達(dá)式很難獲得，解的存在唯一性及數(shù)值方法的相關(guān)研究顯得尤為重要。關(guān)于隨機(jī)泛函微分方程解的存在唯一性研究結(jié)論可以參閱文獻(xiàn)[9-12]。關(guān)于G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的非線性中立型隨機(jī)延遲微分方程解的存在性及數(shù)值研究目前還沒有找到相應(yīng)文獻(xiàn)，文中將給出G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的非線性中立型隨機(jī)延遲微分方程解的存在性及唯一性分析。

1 預(yù)備知識

文中研究如下形式的非線性中立型隨機(jī)延遲微分方程

d[y(t)-Ny(t-τ)]=f(t,y(t),y(t-τ))dt+

g(t,y(t),y(t-τ)dωt+h(t,y(t),

y(t-τ))d〈ω〉t,t∈[0,T].

(1)

滿足下列初始條件

y0=ξ={φ(θ),θ∈[-τ,0]}.

(2)

滿足初始條件(2)的中立型隨機(jī)延遲微分方程(1)可以等價(jià)為下面的積分微分方程

y(t)-Ny(t-τ)=ξ(0)-N(ξ(0-τ))+

(3)

為了研究解的存在唯一性，假設(shè)函數(shù)f,g和h滿足下列條件：

(H1) Lipschitz條件。存在正常數(shù)L，使得不等式

|f(t,x1,y1)-f(t,x2,y2)|2∨|g(t,x1,y1)-

g(t,x2,y2)|2∨|h(t,x1,y1)-h(t,x2,y2)|2≤

L(|x1-x2|2+|y1-y2|2)

(4)

對所有的x1,y1,x2,y2∈Rd及t≥0成立。

由式(4)可以得到線性增長條件。

(H2)線性增長條件。存在常數(shù)G1>0，使得不等式

|f(t,x,y)|∨|g(t,x,y)|∨|h(t,x,y)|≤

G1(1+|x|2+|y|2)

(5)

對于所有的(t,x,y)∈R+×Rd×Rd都成立。

(H3)存在常數(shù)κ∈(0,1)，使得對于所有x,y∈Rd及t≥0，下面不等式成立

|N(x)-N(y)|≤κ|x-y|.

(6)

另外，假設(shè)t≥0時(shí)，N(t,0)=0，由式(6)得N(x)≤κ|x|。

2 解的存在唯一性

本部分給出非線性中立型隨機(jī)延遲微分方程解的存在唯一性結(jié)論及證明。

定理1 假設(shè)f,g及h滿足Lipschitz條件，且存在非負(fù)常數(shù)λ>0使得不等式

〈z,f(t,z,0)〉≤-λ|z|2

(7)

(8)

證明分為三步給出定理的證明。

1)有界性。

對于T>0及整數(shù)n≥1，定義截?cái)鄷r(shí)間

τn=T∧inf{t∈[0,T]∶|y(t)|≥n}.

顯然，τn↑Ta.s.記yn(t)=y(t∧τn),t∈[0,T]，則yn(t)滿足方程

yn(t)-N(yn(t-τ))=ξ(0)-N(ξ(-τ))+

(9)

令

應(yīng)用Yang不等式及H?lder不等式，有

(10)

兩側(cè)同時(shí)取G-期望，得到

(11)

由于

所以有

(12)

yn(s-τ))I[[0,τn]](s)d〈ω〉(s)|2.

(13)

結(jié)合H?lder不等式和線性增長條件，可以得到

(14)

由文獻(xiàn)[8]中的推論8及Doob鞅不等式，可以得到

(15)

同樣，可以得到

(16)

將式(14)—(16)代入式(13)，得到

代入式(12)可得

(17)

由Gronwall不等式，得

令n→∞可得式(8)。

2)唯一性。

(18)

類似于有界性的證明，有

應(yīng)用Gronwall不等式，得到

3)存在性。

yn(t)=ξ+N(yn-1(t-τ))-N(ξ(-τ))+

(19)

|yn(t)|2≤5E|ξ|2+5|N(yn-1(t-τ))-

(20)

兩側(cè)同時(shí)取G-期望，由式(11)、文獻(xiàn)[8]中的推論8及Doob鞅不等式(取p=2)可得

(21)

應(yīng)用線性增長條件，可以得到

G1|yn-1(s)|2+G1|yn-1(s-τ)|2)ds+

(22)

其中

因此，對于任意k≥1，可以推得

注意到

可以得到

(23)

由k的任意性，可以得到對所有0≤t≤T,n≥1。

(24)

由初等不等式，可以得

|y1(t)-y0(t)|2=|y1(t)-y0|2≤

4|N(y0(t-τ))-N(y-1(-τ))|2+

y0(s-τ))d〈ω〉(s)|2.

(25)

式(25)兩側(cè)同時(shí)取G-期望，由式(11)、文獻(xiàn)[8]中的推論8及G-It積分性質(zhì)，可得

(26)

即

取t=T，則有

對于n≥0及0≤t≤T，有不等式

|yn+1(t)-yn(t)|2≤4|N(yn(t-τ))-

yn(s-τ))-f(s,yn-1(s),yn-1(s-τ))]ds|2+

yn(s-τ))-h(s,yn-1(s),yn-1(s-τ))]d〈ω〉(s)|2.

(27)

應(yīng)用Lipschitz條件(4)及不等式(6)可以得到

yn(s-τ))-h(s,yn-1(s),yn-1(s-τ))|2ds≤

(28)

令式(24)中n→∞，則有

對所有的0≤t≤T成立。因此,有y(·)∈M2([0,T];Rd)。

下面證明y(t)滿足方程(1)。

yn(s-τ))-f(s,y(s),y(s-τ))|2ds+

yn(s-τ))-h(s,y(s),y(s-τ))|2ds≤2L[(1+

(29)

y(s),y(s-τ))d〈ω〉(s)|2≤2L[(1+

對于0≤t≤T，對式(19)兩側(cè)取極限，可得

即

y(t)-N(y(t-τ))=ξ(0)-N(ξ(-τ))+

0≤t≤T.

以上證明了y(t)是方程(1)的解。定理證畢。