李博峰，秦園陽，陳廣鄂

同濟(jì)大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092

高精度位置服務(wù)依賴模糊度固定的毫米級精度的載波相位觀測值，而城市復(fù)雜遮擋環(huán)境導(dǎo)致的頻繁相位周跳和中斷給模糊度固定帶來巨大挑戰(zhàn)，因此有效地探測和修復(fù)相位周跳和中斷能大大地減輕模糊度固定的負(fù)擔(dān)，從而提升高精度定位的連續(xù)性和可用性。

在GPS應(yīng)用之初，諸多學(xué)者便針對GPS雙頻信號開展了基于組合觀測值探測周跳的研究，提出了基于Melbourne-Wübbena(MW)組合[1-2]和無幾何組合(geometry free, GF)的TurboEdit方法[3]，該方法具有程序?qū)崿F(xiàn)簡單、大周跳探測準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，但依然無法準(zhǔn)確地確定周跳發(fā)生頻率和具體數(shù)值，因此該方法通常只用來探測而不修復(fù)。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[4—6]在特定應(yīng)用場景下改進(jìn)了TurboEdit方法，使其具備探測并修復(fù)雙頻小周跳的能力。三頻信號的推出為周跳探測和修復(fù)提供了更多更優(yōu)的組合觀測值。文獻(xiàn)[7]從成功概率角度公式推導(dǎo)并分析了單臺接收機(jī)的多頻相位周跳檢測能力。文獻(xiàn)[8]從理論和試驗(yàn)上論證了三頻信號對周跳探測模型的改善和探測效果的提升。文獻(xiàn)[9]以周跳估值方差最小為準(zhǔn)則，選取了探測周跳的GPS三頻最優(yōu)組合，并推導(dǎo)了周跳探測的閾值條件。為了提升窄巷周跳探測與修復(fù)效果，文獻(xiàn)[10]給出了一種三頻無幾何相位組合探測周跳方案。文獻(xiàn)[11]采用聯(lián)合偽距和相位無幾何組合的周跳分步檢測和修復(fù)方法。以上方法對高采樣的周跳探測與修復(fù)效果良好，但當(dāng)采樣間隔較大時，效果依然不佳，其原因在該情景下的電離層變化劇烈，簡單地忽略電離層會導(dǎo)致周跳探測錯誤。為此，如何削弱電離層對周跳探測影響得到了廣泛關(guān)注，基于無周跳或周跳修復(fù)的歷元數(shù)據(jù)計算電離層延遲變化量，在此基礎(chǔ)上采用線性模型[12]或二階模型[13]預(yù)報模型補(bǔ)償當(dāng)前歷元的電離層延遲變化量，從而提高了電離層活躍期的周跳修復(fù)。文獻(xiàn)[14—15]構(gòu)建了觀測衛(wèi)星聯(lián)合周跳處理的幾何模型，充分利用了“干凈”衛(wèi)星數(shù)據(jù)輔助其他衛(wèi)星的周跳處理，有效解決了大采樣間隔下連續(xù)周跳問題。

北斗三號系統(tǒng)(BDS-3)已開通了全球服務(wù)，可向全球播發(fā)四頻甚至五頻觀測值(表1)，為用戶提供了更多更優(yōu)的組合觀測值方案[16-18]，這在理論上和實(shí)踐上為準(zhǔn)確估計復(fù)雜環(huán)境下的相位周跳和中斷提供了保障。因此，本文研究BDS-3的四頻和五頻相位周跳探測和修復(fù)方法，研究適用于周跳探測的最優(yōu)無幾何組合觀測值，建立聯(lián)合GF組合觀測值和電離層補(bǔ)償?shù)臑V波模型，從而實(shí)現(xiàn)低采樣和數(shù)分鐘間隔的周跳實(shí)時探測和修復(fù)。在城市復(fù)雜的遮擋環(huán)境下，除了頻繁的歷元間周跳外，數(shù)分鐘的載波相位頻繁中斷導(dǎo)致模糊度頻繁初始化是影響城市高精度定位的瓶頸，因此，本文方法有效實(shí)現(xiàn)數(shù)分鐘的周跳修復(fù)有望解決該瓶頸。

表1 北斗三號系統(tǒng)的信號頻率

1 多頻相位周跳及中斷探測和修復(fù)模型

1.1 無幾何組合周跳探測模型

由于周跳的繼承性，通常利用歷元差分觀測值探測周跳，歷元差分的相位Δφj和偽距Δpj觀測方程為[15]

Δφj=Δρ+Δδtr,j-Δδts,j-μjΔι-λjΔaj+εΔφj

(1)

Δpj=Δρ+Δdtr,j-Δdts,j+μjΔι+εΔpj

(2)

為不失一般性，令任意f個頻率的組合系數(shù)為z=[z1,z2,…,zf]T，則組合觀測值Δφz為

(3)

式中，矩陣Λ=diag([λ1,λ2,…,λf])；ef為元素全為1的f維列向量。組合波長λz、組合電離層系數(shù)μz和組合模糊度az為

(4)

若取所有頻率的相位觀測值等精度σφ，則組合觀測值的方差為

(5)

類似地，令偽距的組合系數(shù)為w=[w1,w2,…,wf]T，則偽距組合觀測值為

(6)

在非差觀測值中，不同頻率的相位和偽距接收機(jī)鐘差可分別表示為

(7)

相同頻率的相位和偽距接收機(jī)鐘差可表示為

δtr,j=dtr,j+DPCBj

(8)

式中，IFPB1j和IFCB1j分別表示頻間相位和偽距偏差；DPCBj表示相位和偽距的通道延遲。對于衛(wèi)星鐘差，有完全類似的關(guān)系。大量文獻(xiàn)研究表明，這些偏差和延遲量在短時間內(nèi)非常穩(wěn)定以至于可以視為常數(shù)[19-21]，因此，單差后的接收機(jī)鐘差和衛(wèi)星鐘差為

(9)

在相位和偽距組合觀測值的基礎(chǔ)上，可構(gòu)成GF組合觀測模型

Δpw-Δφz=λzΔaz+(μz+μw)Δι+εΔpw-εΔφz

(10)

類似地，兩個組合相位觀測值之間也可以構(gòu)成GF組合觀測模型，令兩個相位組合觀測值為Δφz1和Δφz2，則

Δφz1-Δφz2=λz2Δaz2-λz1Δaz1+(μz2-μz1)Δι+

εΔφz1-εΔφz2

(11)

顯然，GF模型消掉了衛(wèi)地距、對流層延遲、衛(wèi)星鐘差和接收機(jī)鐘差，只剩余組合周跳和電離層延遲，因此可用于探測周跳。

1.2 偽距-相位GF模型的超寬巷周跳探測

式(11)包含了兩個相位組合周跳，顯然需事先確定其中一個組合周跳，才有可能確定另外一個組合周跳。而式(10)中只包含了一個相位組合周跳，但受到歷元間電離層變化量和偽距組合噪聲的影響?？紤]到f個頻率信號可構(gòu)造f-1個獨(dú)立的超寬巷(extra-wide-lane,EWL)或?qū)捪?wide-lane,WL)觀測值[22]，超寬巷的波長可達(dá)到數(shù)米，以至于式(10)中的歷元間電離層變化量和偽距噪聲對周跳的整數(shù)影響較小，從而正確固定周跳，即偽距-相位GF模型計算的周跳浮點(diǎn)解及精度為

(12)

對應(yīng)的偏差為

(13)

通過給定不同的整數(shù)系數(shù)得到不同的組合。為了實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的周跳效果，系數(shù)組合應(yīng)具有長組合波長，盡量小的電離層延遲因子和組合噪聲系數(shù)。國內(nèi)外眾多學(xué)者提出了許多挑選組合系數(shù)的方法，但基本都是通過平衡波長和電離層延遲因子來枚舉得到。本文以周跳四舍五入固定解的成功概率最大為準(zhǔn)則選取最優(yōu)EWL/WL組合，考慮周跳浮點(diǎn)解偏差的影響，則周跳固定解的成功概率為[23]

(14)

表2 北斗三號系統(tǒng)四頻和五頻最優(yōu)EWL組合的信息

由表2可以看出，由于EWL具有幾米甚至20 m長的波長，電離層誤差和偽距誤差對其影響極小，EWL周跳的固定成功率在所有的情景下幾乎都是100%。只有當(dāng)歷元間電離層變化量達(dá)到1 m時，四頻和五頻最差的EWL組合固定率分別為99%和99.7%。事實(shí)上，通常歷元間的電離層變化遠(yuǎn)小于1 m，因此，采用偽距-相位GF組合模型固定EWL周跳是可行的。

1.3 相位-相位GF模型的窄巷周跳探測

(15)

對應(yīng)的偏差為

(16)

同樣，以基于式(11)計算的成功概率最大為準(zhǔn)則，選取了不同電離層延遲情況下的NL最優(yōu)組合，表3給出了這些組合對應(yīng)NL周跳固定的成功概率。顯然，NL周跳固定對電離層延遲非常敏感，只有當(dāng)Δι≤0.02 m時，才能獲得100%的固定成功概率；當(dāng)Δι=0.04 m時，成功概率銳減至約50%。因此，為了可靠地固定NL周跳，就必須對電離層延遲進(jìn)行有效補(bǔ)償。

表3 北斗三號系統(tǒng)四頻和五頻最優(yōu)NL組合的信息

2 顧及電離層影響的窄巷周跳探測濾波模型

如果兩個連續(xù)歷元的相位觀測值沒有周跳或其周跳已被成功修復(fù)，則歷元間電離層變化量可用式(17)計算

(17)

式中，下標(biāo)k表示第k-1和k歷元的差分值。一般而言，電離層歷元間變化相對比較平穩(wěn)，即使在復(fù)雜的情況下，采用二階模型足以刻畫其復(fù)雜變化，因此，電離層時間變化的動力學(xué)模型可表示為

(18)

(19)

式(19)只利用了一個EWL觀測值。事實(shí)上，所有的EWL周跳都較為容易固定，因此，為了充分利用(f-1)個EWL/WL觀測值信息，可將(19)中的第1個方程改造為

(20)

式中，zf表示NL組合系數(shù)；z1,z2,…,zf-1為f-1個EWL/WL組合系數(shù)。

值得說明的是，①考慮到采用式(17)求解電離層延遲時，頻率越近噪聲越大，故建議選擇[B1C,B3I]、[B1I,B3I]、[B1C,B2a]或者[B1I,B2a]組合計算，或者同時采用這4個組合采用最小二乘計算電離層延遲的加權(quán)平均值。②由于電離層在短時間內(nèi)的變化較為緩慢，計算的電離層變化較小，即當(dāng)電離層非常平靜期時，可以忽略其影響以簡化模型提高計算效率。③當(dāng)無周跳發(fā)生時，保持計算模型式(18)以持續(xù)預(yù)報電離層延遲，以便后續(xù)使用。④當(dāng)發(fā)生數(shù)據(jù)中斷時，只需將歷元間隔調(diào)整為中斷時長即可實(shí)現(xiàn)中斷期間電離層延遲預(yù)測和中斷修復(fù)后的模糊度連接。

一旦f-1個EWL/WL周跳及NL周跳固定，則可通過逆變換求得各個頻率的周跳

(21)

在周跳探測中盡管EWL探測不出周跳，而NL探測出周跳的極端情況發(fā)生概率幾乎為零。但在實(shí)際應(yīng)用中，一旦出現(xiàn)此類情況，將重新初始化模糊度。

3 試驗(yàn)分析

使用Trimble-Alloy接收機(jī)采集3 d靜態(tài)數(shù)據(jù)(2021年4月18日—2021年4月20日)，采樣頻率為30 s，試驗(yàn)中截至高度角設(shè)置為10°。為了統(tǒng)計分析周跳探測效果，本文模擬試驗(yàn)對6顆MEO衛(wèi)星(C23、C25、C28、C34、C41、C43)和3顆IGSO衛(wèi)星(C38、C39、C40)進(jìn)行周跳和數(shù)據(jù)中斷模擬，分析不同模型的周跳探測效果。

3.1 周跳探測和修復(fù)

分析采用偽距-相位GF模型探測EWL周跳和基于相位-相位GF模型探測NL周跳的效果。圖1給出了所有衛(wèi)星歷元間電離層延遲變化量，不同顏色代表不同衛(wèi)星，30 s間隔的電離層延遲變化量在2 cm范圍內(nèi)波動，顯然本次試驗(yàn)處于電離層平靜期。(根據(jù)上文分析，如此小的電離層延遲變化量所引起的EWL偏差式(13)和NL偏差式(16)不會對周跳成功探測造成影響，因此可直接采用偽距-相位GF模型式(12)求解EWL周跳、采用相位-相位GF模型式(15)求解NL周跳。)

圖1 2021年4月18日30 s采樣的歷元間電離層延遲

在所有衛(wèi)星的所有頻點(diǎn)都模擬1周的周跳，由于EWL組合系數(shù)之和等于0，因此EWL周跳真值等于0；而NL組合系數(shù)之和等于1，因此NL周跳真值為1。以18號數(shù)據(jù)為例，圖2和圖3分別給出了C41衛(wèi)星四頻信號和C40五頻信號基于GF模型的EWL和NL周跳浮點(diǎn)解。結(jié)果表明，四頻和五頻EWL組合的周跳浮點(diǎn)解均非常接近0，且其噪聲非常小，說明偽距-相位GF模型能有效探測EWL小周跳；NL組合的周跳浮點(diǎn)解均在真值1處波動，且大部分噪聲波動小于0.5周，這也說明基于相位-相位GF模型在電離層變化較小的情況下也有能力探測出小周跳。

圖2 基于偽距-相位GF模型求解的C41衛(wèi)星四頻信號的EWL和NL組合周跳浮點(diǎn)解

圖3 基于相位-相位GF模型求解的C40衛(wèi)星五頻信號的EWL和NL組合周跳浮點(diǎn)解

為了統(tǒng)計GF模型固定周跳的性能，本文引入固定率Pfix和固定成功率Psuc評價指標(biāo)[24]

(22)

(23)

式中，Ntotal、Nfix和Nsuc分別表示所有周跳個數(shù)、固定的周跳個數(shù)及正確固定的周跳個數(shù)。實(shí)際應(yīng)用中，為了提高固定的可靠性，本文在四舍五入法中給定0.3周作為閾值，即周跳浮點(diǎn)解與其四舍五入整數(shù)解的偏差大于閾值0.3周時，則標(biāo)記該周跳固定失敗。

分別計算3 d四頻數(shù)據(jù)和五頻數(shù)據(jù)的周跳探測結(jié)果，其統(tǒng)計結(jié)果如圖4所示。所有衛(wèi)星的固定率大于93%以上，且固定成功率大于94%，所有衛(wèi)星的固定率均值和固定成功率均值都大于96%。此外，對比四頻和五頻信號，五頻的固定率和固定成功率都比四頻有所提升。在有些歷元，五頻能固定四頻因舍入誤差而無法固定的周跳。表4給出了測試時間段內(nèi)每顆衛(wèi)星五頻固定成功而四頻失敗的總次數(shù)。

圖4 四頻和五頻信號周跳固定率Pfix和固定成功率Psuc

表4 四頻失敗但五頻成功的總次數(shù)

3.2 數(shù)據(jù)中斷修復(fù)

本文進(jìn)一步測試數(shù)據(jù)中斷修復(fù)，所謂數(shù)據(jù)中斷是指在城市復(fù)雜遮擋環(huán)境下，衛(wèi)星數(shù)據(jù)被短時間遮擋導(dǎo)致重新接收到信號時需要探測這中斷情況下衛(wèi)星是否發(fā)生周跳。在原始數(shù)據(jù)中，每個歷元對每顆衛(wèi)星分別模擬3 min數(shù)據(jù)中斷，且當(dāng)在信號重新跟蹤的歷元模擬1周的周跳。3 min的數(shù)據(jù)中斷將帶來電離層變化顯著，若不對電離層延遲變化量進(jìn)行補(bǔ)償，難以用相位-相位的GF模型直接探測NL周跳，結(jié)果如圖5所示。在不對電離層延遲變化量修正情況下，周跳的平均固定率僅為約50%，這顯然難以滿足實(shí)際應(yīng)用的需求，這也恰恰說明必須對電離層延遲變化量予以補(bǔ)償。

圖5 采用GF模型探測四頻和五頻數(shù)據(jù)中斷的固定率Pfix和固定成功率Psuc

分析基于顧及電離層的濾波模型探測數(shù)據(jù)中斷的效果，此時通過卡爾曼濾波對電離層變化量進(jìn)行預(yù)報。試驗(yàn)統(tǒng)計結(jié)果如圖6所示。大部分衛(wèi)星四頻平均固定率和固定成功率分別在94%、96%以上，衛(wèi)星C34、C41、C43的固定率和固定成功率相對較低，但也達(dá)到了92%、91%、91%和93%、88%、93%，然而大部分衛(wèi)星五頻平均固定率、固定成功率在97%、98%以上，僅衛(wèi)星C34的固定率和固定成功率為95%和96%?？紤]到模擬中斷時長在3 min，即使個別衛(wèi)星最低成功率在88%，這樣的結(jié)果依然是可觀的。

圖6 采用顧及電離層的濾波模型探測四頻和五頻數(shù)據(jù)中斷的固定率Pfix和固定成功率Psuc

4 結(jié) 論

針對北斗三號系統(tǒng)，本文提出了一種多頻相位周跳及中斷實(shí)時探測和修復(fù)方案，包括基于偽距-相位無幾何組合模型探測f-1個超寬巷周跳，以及基于電離層延遲補(bǔ)償?shù)南辔?相位無幾何窄巷周跳，通過理論和試驗(yàn)分析得出以下結(jié)論。

(1)偽距-相位無幾何組合超寬巷周跳探測模型簡單易操作，即使在電離層延遲變化量達(dá)到1 m時的周跳成功固定率也幾乎達(dá)到100%。

(2)相位-相位無幾何組合窄巷周跳探測模型受電離層延遲變化量影響較大，在30 s的采樣間隔下電離層延遲變化不顯著時，四頻和五頻的固定率和固定成功率分別在93%、94%以上；但在3 min數(shù)據(jù)中斷情況下，電離層延遲變化量顯著影響窄巷周跳探測效果，成功率僅為約50%。

(3)本文提出的顧及電離層延遲變化量的相位-相位無幾何組合的卡爾曼濾波模型能有效抑制電離層對窄巷周跳探測的影響，可將3 min數(shù)據(jù)中斷的探測成功率從50%提升至90%以上。