葉誠(chéng)理 林新建 林品玲

摘要：將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式結(jié)合的綜合問(wèn)題是近年來(lái)高考的熱門題型.解題者遵循“求和看通項(xiàng)”這種化整為零的思路破解這類試題，而命題者則遵循“從通項(xiàng)生成和”這種逆向思維命制試題，本文試圖從命題者的角度出發(fā)，探析這一類數(shù)列不等式求和問(wèn)題的命題背景并進(jìn)行深入剖析，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，讓解題更自然，找到高效的解題方法.

關(guān)鍵詞：化歸轉(zhuǎn)化;化整為零;數(shù)學(xué)直觀

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）07-0045-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡(jiǎn)介：葉誠(chéng)理（1979.4-），男，福建省福清市人，教育碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)為背景的數(shù)列求和取值范圍問(wèn)題，是近年來(lái)高考?jí)狠S題的常客.對(duì)非常規(guī)的數(shù)列求和問(wèn)題學(xué)生往往束手無(wú)策，需要從數(shù)學(xué)思想方法的高度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化、構(gòu)造賦值，難度極高.那么，有沒(méi)有比較自然的解題策略呢？下面舉一道典型例題加以剖析.

1 試題呈現(xiàn)

例1已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）-x-2x+2（a>0，x≥0）.

（1）當(dāng)a=12時(shí)，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性;

（2）若不等式f（x）≥1在x∈[0，+

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）時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

（3）證明：13+15+17+…+12n+1<12ln（n+1）（n∈N*）.

2 命題意圖分析

本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，旨在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立問(wèn)題以及構(gòu)造函數(shù)證明數(shù)列不等式的方法，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng).

3 解答難點(diǎn)剖析

本題難在第（3）問(wèn)，對(duì)于這類出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的數(shù)列求和不等式問(wèn)題，常見(jiàn)的解題套路是對(duì)接前面的函數(shù)不等式結(jié)論，對(duì)變量x有效賦值，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，從而構(gòu)造與結(jié)論相匹配的數(shù)列通項(xiàng)，利用數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消法證得不等式.

證明由（2）知：當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）>1在x∈（0，+

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）時(shí)恒成立，即ln（x+1）>2xx+2對(duì)x∈（0，+

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）恒成立.

令x=1k（k∈N*），

得ln（1k+1）>21+2k.

即11+2k<12[ln（k+1）-lnk].

所以13<12（ln2-ln1），

15<12（ln3-ln2），

17<12（ln4-ln3），

…，12n+1<12[ln（n+1）-lnn].

將上述式子相加可得：

13+15+17+…+12n+1

<12[ln（n+1）-ln1]

=12ln（n+1）.

原不等式得證.

評(píng)析對(duì)考生而言，完成以上這樣的對(duì)接賦值具有極高的難度，需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象能力和直觀想象能力，他們往往束手無(wú)策，望題興嘆而已！

4 難點(diǎn)突破策略

事實(shí)上，從數(shù)列求和的角度考查，待證不等式的左邊是通項(xiàng)公式為an=12n+1的數(shù)列的和，雖然它不是常規(guī)的數(shù)列，在高中范疇內(nèi)無(wú)法直接求和，但它給了我們啟示，右邊的12ln（n+1）可看作是某個(gè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.

由此可運(yùn)用化整為零策略，令

Sn=12ln（n+1），

當(dāng)n≥2時(shí)，則

bn=Sn-Sn-1=12lnn+1-12lnn=12lnn+1n=12ln1n+1.

由此只需證明

an=12n+1<12ln1n+1=bn.

即證22n+1<ln1n+1.

即證2n2+1n<ln1n+1.

因而構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（x+1）-2x2+x，x∈（0，1）.

求導(dǎo)或利用第（2）問(wèn)的結(jié)論便可輕松予以證明.

又當(dāng)n=1時(shí)，a1=13<S1=12ln2=b1成立.

故對(duì)任意n∈N*，an<bn，便可證得原不等式都成立.

5 命題路徑探秘

將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式結(jié)合的綜合問(wèn)題是近年來(lái)高考的熱門題型.解題者遵循“求和看通項(xiàng)”這種化整為零的思路破解這類試題，而命題者則遵循“從通項(xiàng)生成和”這種逆向思維命制試題，命題過(guò)程中充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、化整為零的數(shù)學(xué)思想，本種命題手法在全國(guó)高考卷中屢見(jiàn)不鮮.

例2（2017年全國(guó)Ⅲ卷理科22）已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx.

（1）若f（x）≥0，求a的值;

（2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，

（1+12）（1+122）·…·（1+12n）<m，求m的最小值.

評(píng)析第（2）問(wèn)不等式左邊的式子是積的結(jié)構(gòu)，與第一步結(jié)論：當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，x-1-lnx>0很難直接建立聯(lián)系.若我們能夠運(yùn)用化整為零的思想，聯(lián)想到對(duì)數(shù)的運(yùn)算特征：化積為和，就很容易想到不等式兩邊取對(duì)數(shù)，即轉(zhuǎn)化成證明不等式：ln（1+12）+ln（1+122）+…+ln（1+12n）<lnm恒成立.

于是令x=1+12n>1，得ln（1+12n）<12n.

進(jìn)而不等式兩邊分別構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，其中右邊轉(zhuǎn)化成常規(guī)的等比數(shù)列求和，問(wèn)題便水到渠成.

例3（2014年高考全國(guó)Ⅱ卷理科17題）已知an滿足a1=1，an+1=3an+1.

（1）證明an+12是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式;

（2）證明1a1+1a2+…+1an<32.

評(píng)析（1）用配湊法，得到an=3n-12;（2）{1an}求和沒(méi)有辦法，故考慮把左邊通項(xiàng)1an進(jìn)行適當(dāng)放大，轉(zhuǎn)化成有熟悉的等比數(shù)列求和問(wèn)題.所以右邊的數(shù)可看成某個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.根據(jù)等比數(shù)列求和性質(zhì)，若一個(gè)數(shù)列公比q滿足q<1，則該數(shù)列為無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和極限為a11-q（取不到等號(hào)），由結(jié)果想到過(guò)程，結(jié)合an通項(xiàng)，若存在一個(gè)數(shù)列bn，滿足b1=1，q=13，bn=13n-1，則其前n項(xiàng)和的極限恰好為32，利用化整為零的思想，則問(wèn)題只需轉(zhuǎn)化成證明1an=23n-1≤13n-1，利用分析法，該不等式對(duì)一切自然數(shù)n恒成立，從而證明原不等式成立.

6 教學(xué)研究感悟

為什么有許多學(xué)生解決不了一些并不復(fù)雜甚至是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？除了極少數(shù)學(xué)生不知道相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)外，絕大部分學(xué)生不是不會(huì)方法，而是由于沒(méi)有站在思想的高度來(lái)思考和引領(lǐng)方法，或者是因?yàn)樗枷氩幻鞔_而想不起來(lái)用什么方法來(lái)處理問(wèn)題.

上述試題的自然解法源于數(shù)學(xué)思想的指引，善于觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征，把不等式兩邊看成兩個(gè)數(shù)列的求和，從而構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，把研究和的大小轉(zhuǎn)化成判斷通項(xiàng)的大小，體現(xiàn)了化整為零、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用.

解題是命題的基礎(chǔ)，命題是解題的超越.作為一線數(shù)學(xué)老師，不但要研究試題的解題方法、分析試題的產(chǎn)生背景，還要揣摩命題者的思路、懂得試題的命制原理，這樣才能促使自己在教學(xué)中能更好地引領(lǐng)學(xué)生把握試題的本質(zhì)，從數(shù)學(xué)思想方法的高度提高解題的能力和素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 林新建.我的教學(xué)主張——自然數(shù)學(xué)[M].廈門：廈門大學(xué)出版社，2020.

[責(zé)任編輯：李璟]