摘要：通過平面向量數量積與向量投影的關系體會向量代數的抽象性與幾何的直觀性.把向量問題轉移到幾何意義的應用中，往往是解題的關鍵并能收到事半功倍的效果.

關鍵詞：數量積;投影;幾何意義

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0042-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：陳喜楊（1977-），女，福建省莆田人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.[FQ）]

高考中對平面向量數量積最值題目的考查常用其幾何意義，這種題型涉及的條件通常是一個向量已知、另一個向量運動變化，考查學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng)，以及學生運用運動變化的思想分析問題、解決問題的能力.向量具有代數和幾何的雙重身份，不但有數的特征，而且有形的特點，是把代數與幾何很好地連接起來的紐帶，是數形結合的天然橋梁，向量中的很多問題常常借助于圖形的幾何性質，可以給抽象的運算以直觀的解釋，顯得簡捷方便.

通過向量數量積解決問題使學生深入理解數學各知識之間的滲透，體會數學知識的抽象性、概括性和應用性，從而提高學生解題的正確率.

1 從幾何角度理解平面向量數量積的定義

平面向量數量積的公式：a·b=a·bcosθ，其中θ=<a，b>，bcosθ叫做向量b在向量a方向上的投影，因此投影是一個數量，不是向量.當θ=0°時投影為b，當θ為銳角時投影為正，當θ=90°時投影為0，當θ為鈍角時投影為負，當θ=180°時投影為-b.故平面向量數量積a·b的幾何意義是：向量a的長度a與向量b在向量a方向上的投影bcosθ的乘積.

平面向量數量積是向量的核心內容，屬高考?？純热?利用平面向量數量積可以解決長度問題、夾角問題、垂直問題以及平行問題等.

2 平面向量數量積的應用

2.1基底與數量積的綜合應用

當長度已知、向量夾角已知時，首先考慮用向量的三角形法則和平行四邊形法則，選擇兩個長度已知、夾角已知的向量為基底來表示要求的向量，再結合平面向量數量積的幾何意義求解.

例1在Rt△ABC中，∠ACB=π2，AB=4，AC=2，若AD=32AB，則CD·CB=.

分析由Rt△ABC中邊角已知且有垂直關系，可知向量的基底便于選擇和確定.在向量基底的表示中常用的方法是：先找一個以要求向量的起點和終點為回路的幾個向量的和差，如圖1中的向量CD，我們找C→A→D的回路表示出向量CD，再向所選基底轉化.

解法1如圖1，由∠ACB=π2，AB=4，AC=2，可得CB=23.

故CD·CB=（CA+AD）·CB

=CA+32AB·CB

=CA·CB+32BA·BC.

因為BA在BC方向上的投影為BC，

所以CD·CB=0+32BC2=18.

解法2如圖2，過點D作DE⊥CB交CB延長

線于點E，則向量CD在向量CB方向上的投影為CE.

因為AD=32AB，AC∥DE，

所以CE=32CB，

即CD·CB=CE·CB=32CB2=18.

2.2 平面幾何知識與數量積的幾何意義的融合

幾何與代數是高中數學課程的主要內容之一，在向量數量積幾何意義的應用中，整合了數學中的代數運算和幾何圖形，引導學生通過數形結合，提升直觀想象、數學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng).

例2在ΔABC中AO=AB=1，2AO=AB+AC，O為△ABC的外心，則AO·AC的值為.

解析由2AO=AB+AC，可得O為邊BC的中點.

因為O為△ABC的外心，所以△ABC為直角三角形且∠BAC=90°.

根據AO=AB=1 ，可得

BC=2，AC=3，∠OAC=∠C=30°.如圖3，

過點O作OF⊥AC交AC于點F，則向量AO在向量AC方向上的投影為AF=12AC.

所以AO·AC=AF·AC=12AC2=32.

評注此題出現(xiàn)了三角形外心的條件，要能根據外心的條件直接聯(lián)想到一些學過的平面幾何的知識，并學以致用、聯(lián)想推理從而達到解決問題的目的.題目中的已知條件反映了圖形的幾何性質，通過圖形使得幾何條件及各數量之間的關系得以直觀地呈現(xiàn)出來.

2.3 平面向量的應用與轉化思想

向量數量積常用的方法之一是轉化，轉化思想是指在解題時根據題目中的已知條件，結合定義、圖象、性質或者公式把問題轉化成我們能解決的數學問題，從而達到解題的目的.這個過程通常是把未知轉化為已知、抽象轉化為具體、復雜轉化為簡單，使我們能夠用已學過的知識來解決遇到的問題.

例3在平面內AB=AC=6，AB·AC=0，動點P，M滿足AP=1，PM=MC，則BM·BC的最大值是.解析（向量數量積幾何意義）

由AP=1知點P是在以點A為圓心以1為半徑的圓上的動點.

由AB·AC=0，可得AB⊥AC .

由于 AB=AC=6，所以BC=23.

因為PM=MC，所以M為PC的中點.

故BM=12（BP+BC）.

所以BM·BC=12（BP+BC）·BC

=12（BP·BC+BC2）

=12BP·BC+6.

由此，求BM·BC的最大值也就轉化為求BP·BC的最大值.因為BC為定向量，BP為動向量，所以即求BC與向量BP在向量BC方向上的投影的積的最大值.由于BC=23是定值，即求向量BP在向量BC方向上的投影的最大值.

因為AP=1，所以點P是在以點A為圓心1為半徑的圓上的動點，如圖4，過點A作直線P1P2∥BC交圓A于點P1，P2，AF⊥BC于點F，分別過點P1，P2作P1D⊥BC于點D，P2E⊥BC于點E，則AP1=DF=AP2=EF=1，BF=3，由圖5可知，當點P在點P1時，向量BP在向量BC方向上的投影最大，最大值為BD=BF+DF=3+1.因此（BP·BC）max=23（3+1）=6+23，所以（BM·BC）max=12（6+23）+6=9+3.

此題使用了數量積的幾何意義，應用轉化思想把抽象的數學問題通過直觀想象作出圖象，使問題具體化、可視化，考查學生在處理數學問題時的遷移和應用.對比兩種解法，由于本題是填空題，小題小做，故將數量積的幾何意義聯(lián)系數形結合進行求解，計算量較小，用到的知識點較少，更方便得出結果，而且也更容易判斷出取最大值時點P的位置.

2.4 數量積幾何意義在求數量積取值范圍的應用

例4已知點P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則AP·AB的取值范圍是.

分析本題是2020年新高考全國Ⅰ卷的題目，先根據題意作出草圖，從草圖中理解題目，得到AP·AB中AP為動向量，AB為定向量，故而利用向量數量積的幾何意義比較方便.

解析分別過點F，C作FM⊥AB，CN⊥AB交直線AB于點M，N，則點F，C在直線AB上的投影分別為點M，N.

如圖5，根據正六邊形圖形的性質，得∠FAB=∠CBA=120°，故AM=BN=1.

因此，當點P在點F時，向量AP在向量AB方向上的投影最小值為-AM，（AP·AB）min=-2.

當點P在點C時，向量AP在向量AB方向上的投影最大值為AN，（AP·AB）max=2×3=6.

由于點P在正六邊形內部，故AP·AB的取值范圍為（-2，6）.

應用向量數量積幾何意義求數量積時，注意投影是在向量所在有向線段的方向上還是在其反向延長線上，前者數量積為正，后者數量積為負，如本題中向量AF在向量AB方向上的投影是在有向線段AB的反向延長線上，故AP·AB<0.

向量是高中很多知識點之間的一個連接點，是聯(lián)系各個知識點的橋梁，是高中數學中重要的內容之一，發(fā)揮著舉足輕重的作用.復雜背景下求向量數量積的最大值、最小值，關鍵是挖掘隱含條件來達到已知與未知的轉化，化數為形，從而解決問題.

參考文獻：

[1]?陳杰.期末復習中的生態(tài)課堂——以向量數量積復習為例[J].中學數學教學參考，2020（13）：35-38.

[2] 林運來，蔡海濤.關于向量是溝通代數、幾何與三角的橋梁的思考[J].數學通訊，2020（04）：9-11+16.

[責任編輯：李璟]