張營(yíng) 張賓

摘 要：針對(duì)目前大負(fù)載并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間小、曲面加工難度大的問題，現(xiàn)基于2-UPR+RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，提出一種新型6自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)，以期能夠在工業(yè)機(jī)器人加工領(lǐng)域得以應(yīng)用。研究方法為利用并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解對(duì)混聯(lián)機(jī)構(gòu)整體進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，通過MATLAB與ADAMS聯(lián)合對(duì)比仿真結(jié)果的正確性。

關(guān)鍵詞：混聯(lián)機(jī)構(gòu);運(yùn)動(dòng)學(xué);位姿逆解;虛擬仿真

中圖分類號(hào)：TP24 ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-5168（2022）6-0028-05

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.06.006

Research on a New Hybrid Mechanism and Its Kinematics

ZHANG Ying ?ZHANG Bin

（School of Mechanical Engineering， North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou 450045，China）

Abstract：Aiming at the problems of small workspace and difficult surface machining of high-load parallel mechanism， based on 2-UPR+RPU parallel mechanism， a new 6-DOF hybrid mechanism was proposed， which was expected to be applied in the field of industrial robot processing. The research method is to use the inverse solution of parallel mechanism to carry out kinematics analysis of the hybrid mechanism as a whole. The correctness of simulation results is compared by MATLAB and ADAMS

Keywords：hybrid mechanism;kinematics;position inverse solution;virtual simulation

0 前言

工業(yè)4.0的提出，加快了制造業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，一般的機(jī)床越來越難以滿足柔性加工的需求。1978年，Hunt[1]首次提出把Stewart 6自由度機(jī)構(gòu)作為并聯(lián)機(jī)器人操作器，直到20世紀(jì)90年代初，并聯(lián)機(jī)器人才引起眾多學(xué)者的關(guān)注[2]。由于其在結(jié)構(gòu)、剛度、載荷和精度方面的優(yōu)勢(shì)，使它在眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如航空航天、軍工、船舶大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)件的加工。其中1T2R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究較為突出[3]，通常在動(dòng)平臺(tái)的末端添加2自由度轉(zhuǎn)頭，形成5自由度混聯(lián)機(jī)器人，典型代表有Tricept[4]和Exechon[5]等。這使得并聯(lián)機(jī)構(gòu)在應(yīng)用上得到了很大的改善，但是其所呈現(xiàn)的工作空間依舊有限。對(duì)于機(jī)構(gòu)學(xué)的研究，冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高剛度、奇異性少的優(yōu)點(diǎn)，典型的兩類并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)冗余：在不改變并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)動(dòng)性的前提下增加主動(dòng)肢體，以及將主動(dòng)關(guān)節(jié)替換為被動(dòng)關(guān)節(jié)。前者提高了剛度、優(yōu)化了力分配，但使機(jī)構(gòu)更為復(fù)雜;后者在控制上則更加精確。其中Shin等人[6]對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化做出了許多貢獻(xiàn)。賀磊盈等人[7]對(duì)一種可整周回轉(zhuǎn)的新型3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了研究，并找到了奇異位型。

本研究以三條主動(dòng)支鏈的1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)，采用新的串聯(lián)方式，研究整體混聯(lián)機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)學(xué)，并基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，得到關(guān)于混聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解的表現(xiàn)形式，利用ADAMS仿真與MATLAB理論計(jì)算對(duì)比，驗(yàn)證模型正確性，為后續(xù)求解工作空間及動(dòng)力學(xué)分析提供依據(jù)。

1 新型混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型分析

2-UPR+RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)為1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)（其中U表示虎克副，相當(dāng)于兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副;P表示移動(dòng)副;R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副），由于其對(duì)稱布置，中間恰約束鏈在坐標(biāo)系下位姿耦合，在動(dòng)平臺(tái)滑軌上串聯(lián)可伸縮刀具構(gòu)成混聯(lián)機(jī)構(gòu)，它的逆解簡(jiǎn)單且正解解耦方便，穩(wěn)定性好。該混聯(lián)機(jī)構(gòu)具備兩個(gè)特點(diǎn)：①工作空間大，且整體呈錐形，即插即用可重構(gòu);②適用于復(fù)雜的曲線、曲面加工作業(yè)。如圖1所示。

1.1 機(jī)構(gòu)描述

包括定平臺(tái)A（底座）、動(dòng)平臺(tái)B（圓弧滑軌）、連接兩平臺(tái)的主動(dòng)支鏈、滑動(dòng)副P1、刀具伸縮移動(dòng)副P2和加工刀具處的轉(zhuǎn)動(dòng)副R及各連接件，其中驅(qū)動(dòng)件為連接動(dòng)靜平臺(tái)的主動(dòng)桿、滑動(dòng)副P1、移動(dòng)副P2和刀具處轉(zhuǎn)動(dòng)副R。其特征在于，定平臺(tái)A通過兩條UPR支鏈和一條RPU支鏈與動(dòng)平臺(tái)B相連接，并聯(lián)主動(dòng)副驅(qū)動(dòng)改變平臺(tái)位姿，滑動(dòng)副P1調(diào)整機(jī)械臂末端的位置，移動(dòng)副P2控制刀具伸縮，轉(zhuǎn)動(dòng)副R則控制刀具俯仰角。2-UPR+RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示。

靜、動(dòng)平臺(tái)的各鉸點(diǎn)[Ai]、[Bi（i=1，2，3）]以等腰直角三角形布置，三角形外接圓半徑分別為[a]、[b]，以各斜邊中點(diǎn)[OA]、[OB]為原點(diǎn)，在靜、動(dòng)平臺(tái)所在平面內(nèi)分別建立固定參考坐標(biāo)系[OA-xAyAzA]和動(dòng)坐標(biāo)系[OB-xByBzB]。移動(dòng)副P始終指向滑軌圓心，末端則通過一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副與刀具連接。

1.2 機(jī)構(gòu)自由度分析

在2-UPR+RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，構(gòu)件的數(shù)目[n=8]，包括定平臺(tái)[A]、動(dòng)平臺(tái)[B]、3對(duì)串聯(lián)桿件的上下部分;機(jī)構(gòu)總運(yùn)動(dòng)副數(shù)[g=9]，包括3個(gè)移動(dòng)副、3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和3個(gè)虎克副。

用修正Grubler-KutzbacH公式計(jì)算該機(jī)構(gòu)自由度，為式（1）。

[M=5（n-g-1）+i=1gfi+v] ?（1）

式中：M為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù);n為包括機(jī)架的構(gòu)件數(shù)目;g為運(yùn)動(dòng)副數(shù)目;fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù);v為并聯(lián)冗余約束數(shù)。

由式（1）可得式（2）。

M=5×（8-9-1）+3×2+3×1+3×1+1=3 ? （2）

對(duì)于整體的混聯(lián)機(jī)構(gòu)，串聯(lián)部分由在滑軌上的滑動(dòng)副、安裝刀具的滑動(dòng)副與轉(zhuǎn)動(dòng)副構(gòu)成3自由度，與并聯(lián)部分的3個(gè)自由度共同構(gòu)成6自由度。

2 混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)可由動(dòng)坐標(biāo)系[OB-xByBzB]相對(duì)于固定坐標(biāo)系[OA-xAyAzA]的旋轉(zhuǎn)矩陣R來描述，如圖3所示。

通過三次有序轉(zhuǎn)動(dòng)來描述當(dāng)前姿態(tài)，先繞[z]軸轉(zhuǎn)[γ]角，再繞[y']軸轉(zhuǎn)[β]角，最后繞[x"]軸轉(zhuǎn)[α]角，即得式（3）。

[ABR=cβcγ ? ? sαsβcγ-cαsγ ? ?cαsβcγ+sαsγcβcγ ? ? sαsβcγ+cαsγ ?  cαsβcγ-sαsγ-sβ ? ? ? ? ? ? ? ? sαcβ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?cαcβ ? ? ? ? ? ]

（3）

為方便計(jì)算，[s]代表[sin]，[c]代表cos，下文不做解釋。式中的[α]、[β]、[γ]為動(dòng)平臺(tái)的歐拉角。

用閉環(huán)矢量法構(gòu)建2-UPR+RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解方程，動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)[OB]的向量[r=（x ? y ? z）T]在坐標(biāo)系[OA-xAyAzA]的表達(dá)式為式（4）。

[r=αi+liωi-Rbio，（i=1，2，3）] ? （4）

式中：[li]、[ωi]分別為支鏈[i]的桿長(zhǎng)及其方向矢量;[bio]為點(diǎn)[Bi]在動(dòng)坐標(biāo)系下的方向矢量;[ai]為點(diǎn)[Ai]在靜坐標(biāo)系下的方向矢量。

[OBBi]可表示為式（5）。

[OBBi=R0 ? ? b ? ?0b ? ? 0 ? ?-b0 ? ? 0 ? ? 0] ? ?（5）

由機(jī)構(gòu)的兩個(gè)約束條件：①在[B1]和[B3]處的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線始終與平面[A1A3B3B1]垂直，②分支2的移動(dòng)副軸線始終被約束在平面[OAA2B2OB]內(nèi)，可以建立三個(gè)約束方程，為式（6）。

[（r-a1）TuB1=0（r-a2）TuB2=0n2y=0] ? ? （6）

整理可得到三個(gè)結(jié)論，即[xz=tanβ]，[y=0]和[γ=0]，因此得出式（7）。

[R=ux ? ? vx ? ? wxuy ? ? vy ? ? wyuz ? ? vz ? ? wz=cβ ? ? sαsβ ? ? cαsβ0 ? ? ? cα ? ? ? -sα-sβ ? ? sαcβ ? ? cαcβ] （7）

將方程寫成閉環(huán)形式為式（8）。

[liwi=r-αi+Rbio] ? ? （8）

對(duì)式兩端取模后平方可得并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解，為式（9）。

[l12=（x+vxb）2+（vyb-a）2+（z+vzb）2l22=（x-a+uxb）2+（z+uzb）2l32=（x-vxb）2+（a-vyb）2+（z-vzb）2] （9）

2.2 串聯(lián)部分正解

連接在動(dòng)平臺(tái)滑軌上的串聯(lián)部分可以采用D-H坐標(biāo)法對(duì)滑動(dòng)副P4、移動(dòng)副P5和轉(zhuǎn)動(dòng)副末端R建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，如圖4所示。

在已知滑軌與機(jī)械臂串聯(lián)點(diǎn)時(shí)，坐標(biāo)系[B]到坐標(biāo)系[4]的轉(zhuǎn)換需要先在[x]軸平移[x4]和[y]軸平移[y4]，此時(shí)分兩種情況。

①當(dāng)[y4≥0]時(shí)，繞[z4]旋轉(zhuǎn)[-σ]，其中[tanσ=x4/y4]。

②當(dāng)[y4<0]時(shí)，繞[z4]旋轉(zhuǎn)其中[σ-π][tanσ=-x4/y4]。

此后，再繞[y4]旋轉(zhuǎn)-90°;由坐標(biāo)系[4]到[P]的D-H轉(zhuǎn)換參數(shù)如表1所示，其中[θ]是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量，[Δd]是滑動(dòng)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量。

根據(jù)上述各連桿參數(shù)，可建立各坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣[B4T]、[45T]、[5PT]，令[φ=-σ，y4≥0σ-π，y4<0]，則機(jī)械臂末端相對(duì)于動(dòng)平臺(tái)的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣為[BTP]。

此為串聯(lián)部分RP的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，分析可得：從末端坐標(biāo)系[p]到動(dòng)坐標(biāo)系[p]，再到靜坐標(biāo)系[A]的轉(zhuǎn)變，即[T=ARB×BTP]。

由于末端刀具采用小尺寸轉(zhuǎn)動(dòng)副，對(duì)機(jī)構(gòu)理論分析的影響不大，故下文為簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型。

令[ε]、[dp]、[θp]為0，使其更貼合實(shí)際樣機(jī)，且有利于計(jì)算，規(guī)定各轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)范圍為[-45°≤α≤45°];[-45°≤β≤45°];[-85°≤φ≤85°]。

求解矩陣T得式（10）。

[T=cαsβ ? ? sαsβsφ+cβcφ ? ? sαsβcφ-cβsφ ? ?Xp-sα ? ? ? ? ? ? ? ?cαsφ ? ? ? ? ? ? ? ? cαcφ ? ? ? ? ? ? ? ? ?Ypcαcβ ? ? cβsαsφ-cφsβ ? ? sβsφ+sαcβcφ ? ?Zp0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1]

（10）

[Xp=cβx4+sφ（d+Δd）+zcαsβ+zsβ+sαsβ ? ? y4-cφ（d+Δd）]

[Yp=cαy4-cφ（d+Δd）-zsα]

[Zp=zcαcβ-sβx4+sφ（d+Δd）-zsβtβ+sαcβy4-cφ（d+Δd）]

其中，X、Y、Z為末端點(diǎn)P的位置參數(shù)。

2.3 混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

在對(duì)混聯(lián)機(jī)構(gòu)求逆解時(shí)，機(jī)構(gòu)特性參數(shù)已知，未知變量為[l1]、[l2]、[l3]、串聯(lián)轉(zhuǎn)角[φ]、[θp]和伸縮桿長(zhǎng)度[Δd]，其中三根桿的長(zhǎng)度又可以通過動(dòng)平臺(tái)的位姿變量[α]、[β]、[z]求得。

由串聯(lián)機(jī)構(gòu)幾何關(guān)系得式（11）。

[x4=bsφ，y4=-bcφ] ? ?（11）

由式（11）通過末端姿態(tài)解耦求得[α、β、φ]。

[Xp=zsβ+x4cβ-r13（d+Δd）+sαsβy4+zr11] （12）

[Yp=cαy4-r23（d+Δd）+r21z] ? ? ?（13）

[Zp=-x4sβ+cβsαy4-zsβtβ-（d+Δd）r33+zr31]

（14）

聯(lián)立可得式（15）。

[z=yp-cαy4+r23（d+Δd）r21] ? （15）

代入得式（16）。

[Δd=]

[Xp-cβx4-sαsβy4-（sβ+r11）（yp-cαy4）/r21r23（sβ+r11）/r21-r13-d]

（16）

至此便得到所有未知變量α、β、[z]、[Δd]和[φ]，為驗(yàn)證所得解的正確性，將其代入式（10）與已知的[rij]以及[X]、[Y]、[Z]值對(duì)比，如果相同則說明求解正確，將α、β、[z]代入式（12）得式（16），便可得到三根桿長(zhǎng)[l1]、[l2]、[l3]以及串聯(lián)桿轉(zhuǎn)動(dòng)角度[φ]和刀桿伸縮長(zhǎng)度[Δd];若不同則說明末端在該位姿下無解。

2.4 混聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解驗(yàn)證

驗(yàn)證的主要思路為通過給末端規(guī)劃軌跡，驗(yàn)證ADAMS得到的仿真曲線與MATLAB理論求解曲線是否一致。在ADAMS中建立虛擬樣機(jī)，給定末端點(diǎn)P驅(qū)動(dòng)，軌跡曲線如圖5，時(shí)間設(shè)置[t=3.15 s]，離散點(diǎn)數(shù)[n=500]，驅(qū)動(dòng)函數(shù)為式（17）。

[Xp=100sin（time）Yp=100cos（time）Zp=100sin（time）] ? ?（17）

設(shè)動(dòng)平臺(tái)半徑[b=300 mm]，靜平臺(tái)半徑[a=500 mm]，單根串聯(lián)桿長(zhǎng)度[d=200 mm]，測(cè)量得到如圖6（a），橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)分別表示串聯(lián)桿長(zhǎng)度、串聯(lián)桿轉(zhuǎn)角與并聯(lián)三根桿桿長(zhǎng)。

把機(jī)構(gòu)軌跡曲線的各離散點(diǎn)的位姿數(shù)據(jù)導(dǎo)出，在MATLAB中編程得到串聯(lián)桿長(zhǎng)度變化、串聯(lián)桿轉(zhuǎn)角變化與三根并聯(lián)桿桿長(zhǎng)變化，如圖6（b）。通過對(duì)比，兩者在初始與結(jié)束時(shí)長(zhǎng)度變化，相同，在1 s處串聯(lián)桿最短;串聯(lián)桿轉(zhuǎn)角大約在1.6 s處歸零，即串聯(lián)桿處于中間位置，三根并聯(lián)桿的伸縮變化一致。由以上結(jié)果可以說明上述求混聯(lián)逆解的方法是正確的。

3 結(jié)語

本研究提出了一種基于2-UPR+RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的混聯(lián)機(jī)構(gòu)，基于逆解建立了整體混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型，仿真驗(yàn)證了模型的正確性。研究過程及結(jié)論驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)的可行性，為后續(xù)研究提供了理論依據(jù)。

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