靳偉江，張思瑩，汶曉強(qiáng)，石煥文

（長安大學(xué) 理學(xué)院，西安710064）

地鐵因其快速便捷、大運(yùn)量、綠色低能耗等優(yōu)點(diǎn)而受到歡迎，但其在帶給人們便利的同時，也產(chǎn)生了環(huán)境振動問題[1]。對地鐵軌道的振動特性及鋼軌支座反力進(jìn)行研究是城市軌道交通減振降噪和環(huán)境振動影響分析的前提。目前，研究車輛-軌道之間相互作用的方法已相當(dāng)成熟，且在普通列車和高鐵方面得到了大量應(yīng)用，但在地鐵方面的研究還有著很大的發(fā)展空間[2－6]。由于整體式道床軌道具有經(jīng)濟(jì)性好、施工方便、整體性好等優(yōu)點(diǎn)，成為了地鐵軌道的首選型式，而針對地鐵整體式道床軌道振動特性的研究現(xiàn)在多是零散的，在系統(tǒng)性方面尚有欠缺。

對于地鐵軌道振動特性的研究，現(xiàn)場實(shí)測是最可靠的，但往往由于受到經(jīng)濟(jì)原因和客觀條件的限制，不能每次都進(jìn)行現(xiàn)場實(shí)測，因此采用仿真模擬研究地鐵的振動特性很有工程價值?；诖?，本文針對地鐵整體式軌道，在美國五級譜、美國六級譜、德國高干擾譜軌道不平順激勵下，通過二維數(shù)值分析法和三維有限元法對不同車速下的整體式道床軌道的振動響應(yīng)進(jìn)行了系統(tǒng)研究。其中，基于二維的車輛-軌道耦合動力學(xué)數(shù)值模型通過MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，三維有限元模型通過ABAQUS 和SIMPACK 軟件聯(lián)合仿真實(shí)現(xiàn)。本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于通過建立基于二維的車輛-軌道耦合動力學(xué)數(shù)值分析模型和三維有限元模型分別計算了不同車速、不同軌道不平順激勵下的整體道床式軌道鋼軌的振動加速度、振動速度、垂向位移、鋼軌支座反力、時域輪軌力等振動響應(yīng)，系統(tǒng)分析了其振動特性和變化規(guī)律，并對兩種模型的計算結(jié)果進(jìn)行了對比。結(jié)果可為整體式道床軌道振動特性研究和地鐵線路減振降噪設(shè)計及研究提供參考。

1 計算模型

1.1 基于二維的車輛-軌道耦合動力學(xué)數(shù)值分析模型

鋪設(shè)地鐵軌道時，在大多路段是將預(yù)制好的軌道板置于混凝土基礎(chǔ)上，之后澆筑混凝土，使得軌道板和基礎(chǔ)連結(jié)成為一個整體。這種軌道型式的軌下質(zhì)量很大，軌道板和混凝土基礎(chǔ)之間幾乎沒有彈性，簡化后可以當(dāng)作連續(xù)彈性離散點(diǎn)支承的單層梁考慮，如圖1所示[7]。

圖1 列車-整體道床式軌道系統(tǒng)垂向振動模型

建立二維數(shù)值分析模型時，本文將整個車輛-軌道耦合大系統(tǒng)拆分為上部車輛結(jié)構(gòu)和下部軌道結(jié)構(gòu)兩部分。上部車輛結(jié)構(gòu)部件之間連接考慮為彈簧、阻尼元件連接；對于下部軌道結(jié)構(gòu)采用連續(xù)彈性離散點(diǎn)支承上的無限長Timoshenko梁模型，扣件系統(tǒng)用離散分布的黏滯阻尼和線性彈簧表示[8]。上部車輛結(jié)構(gòu)和下部系統(tǒng)結(jié)構(gòu)之間通過幾何相容條件和車輛-軌道之間相互作用力的平衡建立聯(lián)系，在考慮幾何相容條件時，可添加軌道不平順激勵[9]。確定車輪和鋼軌之間的相互作用力時,采用Hertz非線性彈性接觸模型。上部車輛結(jié)構(gòu)和下部軌道結(jié)構(gòu)的具體振動微分方程參見文獻(xiàn)[3]，可表示為如式（1）所示的統(tǒng)一形式。

式中：[M]、[C]、[K]表示上部車輛結(jié)構(gòu)和下部軌道結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣表示上部車輛系統(tǒng)和下部軌道系統(tǒng)的廣義加速度矢量、廣義速度矢量、廣義位移矢量；{P}為上部車輛系統(tǒng)和下部軌道系統(tǒng)的廣義載荷矢量。

根據(jù)Hertz非線性彈性理論，輪軌之間垂向作用力如式（2）所示。

式中：G為輪軌接觸常數(shù)；δZ(t)為輪軌間的彈性壓縮量（m）。

本文的車輪型式為磨耗型踏面車輪，G=3.86R-0.115×10-8，R是車輪半徑。輪軌間的彈性壓縮量包括車輪靜壓縮量在內(nèi)，可由輪軌接觸點(diǎn)處車輪和鋼軌的位移確定，其表達(dá)式見(3)。

式中：Zwj(t)為t時刻第j位車輪的位移（m）；Zr(xwj,t)為t時刻第j位車輪下鋼軌的位移（m）；當(dāng)輪軌界面存在位移不平順Z0(t)輸入時，輪軌相互作用力的表達(dá)式如式（4）所示。

由于二維數(shù)值分析模型的系統(tǒng)自由度龐大，使用一般方法解算困難，故使用MATLAB 編程求解。采用無條件穩(wěn)定的Newmerk-β法分別對上部車輛結(jié)構(gòu)和下部軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行交叉迭代求解，計算時間步長取為0.000 2 s[4-5,7-9]。

1.2 三維有限元模型

三維有限元模型的建立通過ABAQUS 和SIMPACK聯(lián)合仿真實(shí)現(xiàn)。在系統(tǒng)模型中，軌道部分是關(guān)注的重點(diǎn)，所以可將車輛系統(tǒng)視為多剛體系統(tǒng)，其彈性變形可以不予考慮，由于計算條件的限制，車輛的計算長度取為一節(jié)車廂。下部鋼軌模型在ABAQUS中建立，在ABAQUS 中完成鋼軌模態(tài)分析后，為提高模型在SIMPACK中的解算速度，用GuYan縮減法將鋼軌的模態(tài)縮減到主節(jié)點(diǎn)處。鋼軌三維有限元模型中，在鋼軌頂端間隔0.3 m 設(shè)置一個主節(jié)點(diǎn)，在鋼軌底端間隔0.6 m 設(shè)置一個主節(jié)點(diǎn)，鋼軌長度取為27 m。進(jìn)行SIMPACK和ABAQUS聯(lián)合仿真時，先在ABAQUS中生成鋼軌的*.fbi文件，之后在SIMPACK中用建立的*.ftr文件調(diào)用*.fbi文件，即可將ABAQUS中建立的柔性體軌道導(dǎo)入到SIMPCK 中。在SIMPACK 內(nèi)置的對于輪軌接觸作用的計算方法中，輪軌豎向接觸力采用推薦的Hertz接觸理論，計算時間步長取為0.005 s。SIMPACK中剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)計算模型如圖2所示。

圖2 SIMPACK中的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)計算模型

1.3 軌道隨機(jī)不平順激擾模型

輪軌系統(tǒng)激擾是引起車輛-軌道耦合系統(tǒng)振動的根源，而輪軌系統(tǒng)中典型的非確定性激勵當(dāng)屬軌道隨機(jī)不平順[3]。軌道隨機(jī)不平順通常采用功率譜密度函數(shù)表示，陳果等[10]構(gòu)造了一種基于頻域功率譜等效新算法，可以由頻域中的軌道不平順功率譜得到時域軌道不平順。本文用到了3 種軌道不平順，分別是美國五級譜、美國六級譜、德國高干擾譜。美國五級譜、六級譜軌道高低不平順功率譜密度函數(shù)如式（5）所示，模擬得到美國五級譜軌道高低不平順如圖3所示。

圖3 軌道隨機(jī)不平順時域樣本

式中：Ω是空間頻率，rad/m；Ωc是截斷頻率，rad/m，五級線路和六級線路均取為0.824 5；Sv(Ω)是軌道不平順功率譜密度(cm2·m/rad)；Av是粗糙度系數(shù)，cm2·rad/m，五級線路取為0.209 5，六級線路取為0.033 9，k一般取0.25。

德國高干擾譜軌道高低不平順功率譜密度如式（6）所示：

式中：Sv(Ω)是軌道高低不平順功率譜密度(m2·m/rad)；Ωc是截斷頻率，取為0.824 6；Ω為空間頻率，rad/m；Av是粗糙度系數(shù)，m2·m/rad，取為1.08×10-6；Ωr為截斷頻率，rad/m，取為0.020 6。

SIMPACK中軌道不平順的生成有兩種方式，一種是利用實(shí)測軌道不平順數(shù)據(jù)建立*.tre 文件，SIMPACK 可以直接識別該種軌道不平順；另一種是通過設(shè)置功率譜密度得到時域軌道不平順激勵，本文采用的是后一種方法[11]。

1.4 計算參數(shù)

本文以地鐵B 型車為研究對象，扣件選常用的DTVI2 扣件，扣件間距取為0.6 m[12]。B 型車的車輛參數(shù)和扣件參數(shù)見文獻(xiàn)[13]，本文取動車參數(shù)進(jìn)行計算。鋼軌參數(shù)如表1所示。

表1 鋼軌參數(shù)

1.5 模型驗(yàn)證

楊尚福對深圳某地鐵進(jìn)行了實(shí)測，得到了鋼軌的位移數(shù)據(jù)[14]。本文根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的工況和參數(shù)，建立了二維數(shù)值分析模型，采用美國六級譜軌道高低不平順，得到了兩扣件跨中處鋼軌的垂向位移。文獻(xiàn)[14]的計算結(jié)果和本文計算結(jié)果如圖4 所示。計算得到扣件跨中鋼軌最大位移在0.5 mm 左右波動，文獻(xiàn)中的實(shí)測扣件跨中鋼軌最大位移在0.45 mm到0.52 mm之間波動，本文計算結(jié)果和文獻(xiàn)中的實(shí)測數(shù)據(jù)吻合良好，驗(yàn)證了本文中所建立的基于二維的車輛-軌道耦合動力學(xué)數(shù)值分析模型是正確的。

圖4 鋼軌位移的對比驗(yàn)證

曲翔宇利用ABAQUS 和SIMPACK 建立了車輛-軌道耦合聯(lián)合仿真模型，得到了鋼軌支座反力數(shù)據(jù)，并與頻域理論解析模型的計算結(jié)果進(jìn)行了對比，結(jié)果基本吻合[13]。本文根據(jù)文獻(xiàn)[13]中的工況及計算結(jié)果對鋼軌支座反力進(jìn)行了驗(yàn)證。文獻(xiàn)[13]的結(jié)果和本文計算結(jié)果如圖5所示。文獻(xiàn)中計算得到的最大支座反力在21 kN到25 kN之間波動，本文計算得到的最大支座反力約為20 kN。兩者在數(shù)值上有差異，可能的原因有以下幾點(diǎn)：文獻(xiàn)[13]中同時考慮了實(shí)測的車輪不圓順和鋼軌粗糙度，本文采用美國六級譜；文獻(xiàn)[13]中有6 節(jié)車廂，本文由于計算條件的限制，只取了1節(jié)車廂；所以本文的驗(yàn)證條件和文獻(xiàn)[13]并不完全相同。但在支座反力的總體結(jié)果和呈現(xiàn)的規(guī)律性上，本文和文獻(xiàn)[13]是相一致的，這表明本文通過ABAQUS和SIMPACK聯(lián)合仿真建立的三維有限元模型是正確的。

圖5 鋼軌支座反力的對比驗(yàn)證

2 計算結(jié)果與分析

在實(shí)際中地鐵并不是理想勻速運(yùn)行，其速度變化情況復(fù)雜，為簡化模型，本文假定在試驗(yàn)區(qū)間地鐵列車是勻速通過的。通過基于二維的車輛-軌道耦合動力學(xué)數(shù)值分析模型和三維有限元模型，以隨機(jī)軌道不平順和車輛運(yùn)行速度為研究參數(shù)，探究了：

（1）車速不同、軌道不平順相同時整體式道床軌道的振動特性；

（2）車速相同、軌道不平順不同時的整體式道床軌道的振動特性；

（3）對二維模型和三維模型的計算結(jié)果進(jìn)行了比較和分析。

具體計算結(jié)果如表2 和圖6 所示。從表2 中鋼軌最大振動加速度數(shù)據(jù)可知，運(yùn)行車速為60 km/h時，在德國高干擾譜、美國六級譜、美國五級譜激勵下，鋼軌最大振動加速度逐漸增大。當(dāng)運(yùn)行車速為80 km/h 和100 km/h 時，在美國六級譜、德國高干擾譜、美國五級譜激勵下，鋼軌的最大振動加速度逐漸增大。同種軌道不平順激勵下，鋼軌振動加速度有隨車速增大而增大的趨勢。由三維有限元法計算得到的最大鋼軌振動加速度總體上比根據(jù)二維數(shù)值分析法得到的最大鋼軌振動加速度數(shù)值大。相同車速下，鋼軌振動加速度的取值隨軌道不平順波動范圍的增大而增大。車速一定時，美國五級譜激勵下的鋼軌振動加速度取得最大值。

圖6 運(yùn)行車速為80 km/h的時域輪軌力

表2 隨機(jī)不平順激勵下整體道床式軌道的振動響應(yīng)

由表2 中鋼軌最大振動速度數(shù)據(jù)可知，運(yùn)行車速為60 km/h時，在美國五級譜、美國六級譜、德國高干擾譜激勵下，鋼軌最大振動速度逐漸遞增。運(yùn)行車速為80 km/h和100 km/h時，在美國六級譜、德國高干擾譜、美國五級譜激勵下，鋼軌最大振動速度逐漸增大。車速越大，模擬的軌道不平順截止頻率范圍越大，同種軌道不平順譜激勵下鋼軌的最大振動速度也越大，軌道不平順截止頻率范圍與鋼軌最大振動速度呈現(xiàn)出了一定的相關(guān)性。運(yùn)行車速在80 km/h及以上時，鋼軌的最大振動速度與軌道不平順的波動范圍相關(guān)，軌道不平順波動范圍越大，鋼軌的最大振動速度越大。相同條件下，由二維數(shù)值分析法得到的鋼軌最大振動速度大于三維有限元法的計算結(jié)果，這是由于三維有限元法中考慮了輪軌蠕滑力，且采用的柔性鋼軌計算長度較短，自振頻率相對較高。車速為60 km/h、80 km/h、100 km/h 時，在美國五級譜激勵下，根據(jù)二維數(shù)值仿真模型和三維有限元模型計算得到的最大鋼軌垂向振動速度分別為：4.918 mm/s、6.972 mm/s、9.183 mm/s，3.88 mm/s、6.13 mm/s、7.42 mm/s。

從表2 中鋼軌最大垂向位移數(shù)據(jù)可知，在同一計算模型、同一速度條件下，在美國六級譜、德國高干擾譜、美國五級譜激勵下，鋼軌的垂向最大位移逐漸增大，由不同激勵譜得到的鋼軌最大位移在數(shù)值上的最大差異在5%以內(nèi)。同種軌道不平順激勵下鋼軌最大垂向位移隨車速的增大而增大。車速越大，所模擬的軌道不平順的截斷頻率范圍的越大，因此在實(shí)際工程中需要注意防范軌道的中短波不平順，特別是波長1 m以下的不平順。相同車速時，鋼軌最大垂向位移隨軌道不平順波動范圍的增大而增大，軌道不平順條件越差，鋼軌最大垂向位移越大。由二維數(shù)值分析法計算得到的鋼軌最大垂向位移大于由三維有限元法得到的結(jié)果，因?yàn)樵谌S有限元模型中DTVI2扣件被簡化為線性彈簧連接著鋼軌和道床，鋼軌位移的監(jiān)測點(diǎn)置于鋼軌底部，鋼軌自身的彎曲和剪切都未計算在內(nèi)；二維數(shù)值分析模型中采用的是Timoshenko梁，其振動微分方程中包含了梁的剪切和彎曲，計算得到的鋼軌垂向位移不是鋼軌底部的位移，因此在數(shù)值上略大。車速為60 km/h、80 km/h、100 km/h時，在美國五級譜激勵下，由二維數(shù)值仿真模型和三維有限元模型得到的鋼軌垂向最大位移分別為0.279 0 mm、0.287 1 mm、0.290 2 mm，0.262 mm、0.264 mm、0.269 mm。

從表2中鋼軌最大支座反力數(shù)據(jù)可知。在同一計算模型、相同車速條件下，在美國六級譜、德國高干擾譜、美國五級譜作用下，最大鋼軌支座反力逐漸變大，數(shù)值上的最大差異在4.5%以內(nèi)，這與軌道不平順在時域中的波動范圍相關(guān)，軌道不平順在時域范圍內(nèi)波動越大，鋼軌的最大支座反力越大；在同種軌道不平順激勵下，鋼軌最大支座反力隨車速增大而增大，數(shù)值上的最大差異在3%以內(nèi)，模擬軌道不平順時，車速越大，軌道不平順的截斷頻率范圍越大，這可能是造成鋼軌最大支座反力隨車速增大而增大的原因；鋼軌支座反力是計算值，因此其變化規(guī)律也與鋼軌垂向位移的變化規(guī)律有關(guān)。根據(jù)二維數(shù)值分析模型所得的計算結(jié)果比根據(jù)三維有限元模型的所得計算結(jié)果大。車輛-軌道系統(tǒng)在靜平衡狀態(tài)下，單個車輪承受的靜載為57 408 N。在不同車速、不同軌道不平順激勵下，由二維數(shù)值模型計算得到的最大鋼軌支座反力約占單個車輪靜載的38.28%到40.46%；由三維有限元模型計算得到的最大鋼軌支座反力約占單個車輪靜載的35.48%到37.44%。車速為60 km/h、80 km/h、100 km/h 時，在美國五級譜激勵下，由二維數(shù)值分析模型和三維有限元模型計算所得的最大鋼軌支座反力分別為：22 663 N、23 006 N、23 234 N，20 961 N、21 182 N、21 493 N。

從表2和圖6中的時域輪軌力數(shù)據(jù)可知，車輛運(yùn)行速度為60 km/h時，德國高干擾譜激勵下時域輪軌力的波動范圍最小，美國五級譜激勵下的時域輪軌力波動范圍最大。車速在80 km/h以上時，同一車速下，美國六級譜、德國高干擾譜、美國五級譜激勵下的時域輪軌力波動范圍逐漸增大。時域輪軌力的波動范圍有隨著車速增大而增大的趨勢。當(dāng)車速大于80 km/h 時，軌道不平順波動范圍越大，計算得到的時域輪軌力變化范圍越大。車速相同時，由兩種方法計算得到的時域輪軌力最大波動范圍都是在美國五級譜軌道不平順激勵下得到的，因此在利用時域輪軌力計算地鐵軌道振動響應(yīng)時，在缺乏實(shí)測軌道不平順時，為保守起見，建議采用美國五級譜軌道不平順譜進(jìn)行激勵。

3 結(jié)語

本文采用基于二維的車輛-軌道耦合動力學(xué)數(shù)值分析模型和三維有限元模型，系統(tǒng)研究了3 種運(yùn)行車速和3種軌道不平順激勵條件下地鐵整體道床式軌道的振動特性及鋼軌支座反力的規(guī)律，得到了如下結(jié)論：

（1）車速一定時，鋼軌的最大振動加速度、最大垂向位移和最大支座反力隨軌道不平順波動范圍的增大而增大；同種軌道不平順激勵下，鋼軌的最大振動加速度、最大振動速度、最大垂向位移和最大支座反力隨車速的增大而增大，這與模擬軌道不平順譜時截斷頻率的范圍有關(guān)，車速越大，截斷頻率的范圍越大，故在實(shí)際中要注意防范鋼軌表面的中短波不平順，特別是波長1 m以下的軌道不平順；在設(shè)置的工況中，計算得到的鋼軌最大振動加速度為29.59 m/s2，最大振動速度為9.183 mm/s，最大垂向位移為0.290 2 mm，鋼軌最大支座反力為23 230 N，這些均是在運(yùn)行速度為100 km/h、美國五級譜激勵條件下得到的。

（2）由二維數(shù)值分析法計算得到的鋼軌支座反力約占單個車輪所受靜載的38.28%到40.46%；由三維有限元法計算得到的鋼軌支座反力約占單個車輪所受靜載的35.48%到37.44%。時域輪軌力的波動范圍隨著車速的增大而有所增大；當(dāng)車速大于80 km/h時，美國六級譜激勵條件下的時域輪軌力波動范圍是相對最穩(wěn)定的；3種車速條件下，美國五級譜激勵時的時域輪軌力波動范圍是最大的。

（3）在鋼軌的最大振動速度、最大振動位移、最大支座反力方面，二維數(shù)值分析法的計算結(jié)果大于三維有限元法的計算結(jié)果。車速一定時，鋼軌的最大振動加速度、最大位移、最大支座反力、時域輪軌力最大波動范圍均是在美國五級譜激勵條件下得到的，故在實(shí)際工程中需要定期對軌道進(jìn)行檢修，維持良好的軌道條件，最大可能地降低軌道不平順造成的不利影響；在模擬實(shí)際工程時，采用美國五級譜軌道不平順激勵所得到的預(yù)測結(jié)果偏保守。