楊 鵬

(中國鐵建昆侖投資集團有限公司 四川成都 610000)

1 引言

當前橋梁有限元模型的建立多以橋梁設計圖紙為依據(jù)，在建模時引入了多種理論假設，并且存在邊界條件近似以及節(jié)點連接剛度模擬不恰當?shù)葐栴}，尤其當橋梁服役若干年之后，構件開裂等病害使得橋梁剛度下降，結構整體的力學性能發(fā)生變化。為了更好地模擬舊橋的力學性能，為日后的監(jiān)測、保養(yǎng)以及加固提供參考依據(jù)，需要依靠模型修正技術來校正按照圖紙建立的理論有限元模型。

對于模型修正問題而言，可以將數(shù)值分析軟件看成一個輸入輸出系統(tǒng)，即作為輸出量的目標函數(shù)和約束函數(shù)可看成是待優(yōu)化參數(shù)的函數(shù)。通過有限元軟件計算一次這個函數(shù)需要很長的時間，不利于很多啟發(fā)式算法的使用。如果可以通過建立一個模型繞過有限元計算，而直接擬合這兩個函數(shù)，則可以大大提高計算效率。Kriging模型作為一種無偏估計模型，具有出色的非線性擬合能力，在特定的隨機過程中，能夠給出最優(yōu)線性無偏估計。在現(xiàn)有研究中，Kriging模型大量應用在地質(zhì)、水文、氣象、航空航天以及飛行器設計領域[1]。

2 Kriging代理模型優(yōu)化算法

2.1 Kriging代理模型

首先在優(yōu)化空間通過抽樣方法，得到n個樣本點:

對這n個樣本點進行有限元分析，得出n個分析結果:

對這些結果進行插值，即:

只需要給出加權系數(shù)ω＝[ω1ω2…ωn]，便可得到任意參數(shù)對應的真實響應值。為此，Kriging模型先將預測值和輸入值之間的關系假設為:

式中，μ為常數(shù)項；z(x)是按N(0，σ2)分布的隨機變量。前者表示預測值的整體趨勢值，后者反映了預測值的局部波動偏差。

在優(yōu)化空間的不同位置處，隨機變量存在一定的相關性，對于隨機過程z(x)，任意兩點隨著距離的接近，將趨于相同的函數(shù)值。Kriging模型將這種相關性表示為:

式中，θk為不同維度上相關性的衰減速率，決定了模型的擬合性能。

基于以上假設來尋找最優(yōu)的加權系數(shù)，使得均方誤差MSE最小[2]:

可以得到未知點x處Kriging模型的預測值為:

采用極大似然估計的方法尋找θk，將問題轉化為尋找θk使式(8)的值最大[3]:

采用全局搜索算法尋找最優(yōu)的θk，θk也隨著樣本庫的更新而更新來獲得更好的性能。

2.2 優(yōu)化加點策略

建立好初始的代理模型之后，下一步就是選擇添加新的樣本點，以較少的樣本點最大程度地提高擬合精度，同時不斷添加樣本點直到優(yōu)化收斂[4]。

目前國際上已經(jīng)發(fā)展出多種基于代理優(yōu)化方法的加點準則，有代理模型最優(yōu)預測準則(MSP準則)、改善期望準測(EI準則)、均方誤差準則(MSE準則)等。

MSP準則尋找的樣本點是可能的最優(yōu)解，可以快速提高最優(yōu)解附近的精度；MSE準則尋找的樣本點是誤差期望值最大的點，可以快速提高全局精度。結合兩種準則的特點，通過計算均方誤差最大的點更新預測誤差最大的區(qū)域，同時計算更新代理模型預測的最優(yōu)解。在迭代的前期，計算預測均方誤差最大的點可以快速改善模型的精度；在迭代次數(shù)足夠多時，可以認為模型擬合的精度已經(jīng)達到要求，這時不再計算均方誤差最大的點而只計算代理模型預測的最優(yōu)解進行加點，加快迭代收斂的速度[5]1716-1718。

2.3 尋找篩選更新點

首先選取好優(yōu)化目標，針對每一個目標，分別建立一個代理模型。根據(jù)兩個加點準則，建立兩個多目標優(yōu)化問題[6]。

本文采用NSGA-Ⅱ方法求解多目標優(yōu)化問題，應用NSGA-Ⅱ算法求解式(9)和式(10)分別得到候選的更新樣本點集H1和H2，為了使Pareto解更加均勻，根據(jù)極大極小距離準則來選擇正式的更新點:

選擇的正式樣本與已有樣本的最小距離，在待更新樣本集中是最大的[7]，即:

式中，x*為選擇的樣本點。

更新樣本集S中，再尋找H1中極大極小距離對應的樣本點，這兩個樣本點就是篩選出的正式更新點。如果沒有求解式(10)，則從求解式(9)得到的樣本集中貫序選擇兩個點作為正式更新點[5]1720。

2.4 代理優(yōu)化方法

多目標優(yōu)化方法具體步驟如下[8]:

(1)首先確定好優(yōu)化計算的迭代次數(shù)Tm，加點時計算預測方差最大點的次數(shù)Tmse和初始樣本數(shù)n，定義優(yōu)化變量、約束條件、優(yōu)化目標。

(2)運用拉丁超立方抽樣進行實驗設計，通過有限元軟件精確求解得到初始樣本集S，從初始樣本集S中篩選出Pareto最優(yōu)解集A。

(3)基于樣本集S構建Kriging代理模型。

(4)如果迭代次數(shù)小于等于Tmse，則使用NSGAⅡ算法分別求解本文定義的式(9)和式(10)，分別得到候選樣本集H1和H2；如果加點個數(shù)大于Tmse，則只求解式(9)，得到候選樣本集H2。

(5)如果有H1，則先篩選H1中的點為樣本點，計算H1中每一個點與已有樣本點之間的距離的最小值，每個候選樣本點都有一個對應的最小值，從這些最小值中選取最大的那個對應的候選點加入樣本集S；再遵循這一準則從H2中選取一個點加入樣本集S和最優(yōu)解集A。如果沒有計算H1，則從H2中選取兩次，得到兩個點加入樣本集S和最優(yōu)解集A。最后維護最優(yōu)解集A，只保留非支配個體。

(6)判斷終止條件，若迭代次數(shù)大于Tm，則輸出A作為最優(yōu)解集合；否則，則轉到步驟(3)繼續(xù)迭代。

3 有限元模型

3.1 工程背景

背景工程上構為5×16 m預制鋼筋混凝土簡支T梁，下部結構為柱式墩、樁柱式臺、樁基礎，如圖1所示。設計荷載:汽車—20級，掛車—100級(1972標準)。

圖1 橋型示意

3.2 建立模型

利用有限元軟件對橋梁第一跨的上部結構建模，主梁、橋面鋪裝以及路緣石等使用實體結構單元模擬，鋼筋采用三維桿系單元模擬[9]，如圖2所示。

圖2 有限元模型(第一跨)

3.3 施加荷載

根據(jù)橋梁檢測報告，橋梁靜載試驗加載車采用290 kN雙后軸車進行加載，如圖3所示。

圖3 軸重及軸距示意

荷載布置如圖4所示。

圖4 荷載布置示意

4 模型修正

4.1 參數(shù)及目標選取

根據(jù)橋梁檢測報告，已知橋梁結構中存在損傷，實際結構與圖紙的理論模型的區(qū)別在于理論模型無法模擬出實際結構由于長期使用而產(chǎn)生的剛度變化，因此選擇4片梁的跨中以及1/4跨撓度(見圖5)和結構整體的一階自振頻率共9個量為修正目標[10]。根據(jù)檢測報告的損傷情況，選取3、4、5號梁(梁編號如圖4所示)跨中混凝土彈性模量e1以及密度ρ1，端部混凝土彈性模量e2以及密度ρ2，1、2、6、7號梁跨中混凝土彈性模量e3以及密度ρ3，端部混凝土彈性模量e4以及密度ρ4，橫隔板混凝土彈性模量e5，共計9個變量的系數(shù)作為修正參數(shù)，其變化區(qū)間設[0.2，2]，據(jù)此可以建立以下最優(yōu)化問題:

圖5 跨中及端部混凝土位置示意

式中，yn(X)為數(shù)值模型計算的撓度以及頻率與檢測結果的殘差；X為修正系數(shù)。

考慮到混凝土中箍筋、架立鋼筋等的布置以及混凝土后期強度的增長，并結合現(xiàn)場觀察橫隔板等結構的損壞情況，各參數(shù)初始取值定為:

對有限元模型進行靜力分析以及特征值分析，得到中梁、邊梁跨中、1/4跨撓度以及結構一階自振頻率[11]，見表 1。

表1 有限元模型修正前結果與檢測結果對比

可以看出，修正前的有限元模型與橋梁的實際靜動力特性存在較大差異。

4.2 修正結果

在進行了76次迭代后，最終得到一個包括15個最優(yōu)解的解集。為評估修正后模型的準確性，選取偏載工況下的位移檢測值與有限元模型計算值進行對比[12]，選取其中一組結果如表2、表3所示。

表2 修正后結果與檢測結果對比

表3 修正后偏載結果與檢測結果對比

結合有限元分析結果以及橋梁檢測報告，第一組修正參數(shù)相較于其他幾組更加符合橋梁實際狀況。

5 結論

(1)修正后的模型計算的最大相對誤差為3%，修正后的模型能夠較為精確地反映該橋的現(xiàn)有狀態(tài)，為后期該橋的加固計算提供了一個基準模型。

(2)改良后的Kriging代理優(yōu)化方法可以通過較少的有限元計算次數(shù)得到較好的修正效果，且能夠忽略檢測數(shù)據(jù)中的奇異值，具有良好的魯棒性。

(3)相較于將多目標問題解決方法轉化為單目標問題進行求解，直接進行多目標優(yōu)化能夠獲得多個可行的修正結果，結果之間具有均勻性、多樣性。能結合工程實際和進一步的檢測結果選擇較合理的參數(shù)，從而保證修正之后的結果不失真。