蒲明輝，羅 祺，張金皓，艾振軍，蘇 飛，黃 偉

(1.廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西南寧 530004；2.廣西制造系統(tǒng)與先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西大學(xué)，廣西南寧 530004；3.湖南科技大學(xué)智能制造研究院，湖南湘潭 411201)

0 引言

電容式傳感器是通過(guò)電容器的電容變化實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)量信號(hào)檢測(cè)的儀器。電容式傳感器具有分辨率高、重復(fù)度好、噪聲低、功耗低等優(yōu)點(diǎn)，在力檢測(cè)[1-2]、位移檢測(cè)[3]、加速度測(cè)量[4]等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

由于電容式傳感器輸入輸出關(guān)系的非線性，對(duì)其測(cè)量精度有著較大的影響[5]。針對(duì)這一問(wèn)題，一些研究者采用非線性擬合的方式規(guī)避了非線性誤差這一問(wèn)題[6-7]，但此方式不適用于需要線性擬合的場(chǎng)景，如多維耦合型電容式傳感器的線性解耦[8-9]。為有效降低電容式傳感器線性擬合過(guò)程中的非線性誤差，有些研究者采用差動(dòng)式電容器結(jié)構(gòu)來(lái)減小電容式傳感器的非線性誤差，賈伯年[10]等應(yīng)用變極距平行極板電容器，構(gòu)建了一種二維差動(dòng)電容式傳感器，并通過(guò)有限元法從理論上分析了輸出特性及其與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系；于曉光[11]等開發(fā)了一種差動(dòng)式電容載荷傳感器，利用差動(dòng)式、等位環(huán)、圓柱型電容器結(jié)構(gòu)消除了非線性誤差和邊緣效應(yīng)的影響。在此基礎(chǔ)上，劉沁[5]、張玲[12]等計(jì)算出差動(dòng)式電容組合在理論上與極距變化完全線性相關(guān)的表達(dá)式；袁有臣[13]等使用電路對(duì)電容的非線性關(guān)系進(jìn)行補(bǔ)償，將非線性誤差由25%降至0.6%，但復(fù)雜的電路結(jié)構(gòu)增加了系統(tǒng)的復(fù)雜度且通用性較差，應(yīng)用于不同的電容器時(shí)不具有互換性。

應(yīng)用差動(dòng)式電容器結(jié)構(gòu)是降低電容式傳感器非線性誤差的良好方案，但受到加工、裝配誤差的影響，很難保證差動(dòng)的2個(gè)電容器的初始極距嚴(yán)格相等，難以有效減少非線性誤差。本文針對(duì)加工、裝配誤差導(dǎo)致差動(dòng)式平行極板電容器的初始極距不相同的問(wèn)題，提出了一種誤差校正方法。首先，基于差動(dòng)平行極板變極距電容器測(cè)量原理和最小二乘法線性擬合，分析了非線性誤差產(chǎn)生的機(jī)理；建立誤差分析模型，引入差動(dòng)加權(quán)系數(shù)，構(gòu)建誤差校正表達(dá)式，并提出誤差校正的參數(shù)估計(jì)式，進(jìn)而對(duì)傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差校正；最后，通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出方法的準(zhǔn)確性和有效性。

1 測(cè)量原理

1.1 平行極板變極距電容器測(cè)量原理

平行極板變極距電容器測(cè)量原理如圖1所示，當(dāng)傳感器在被測(cè)物理量作用下，動(dòng)極板發(fā)生位移，使得動(dòng)、靜極板間距發(fā)生變化，從而使電容值發(fā)生變化，通過(guò)檢測(cè)電容值的變化實(shí)現(xiàn)被測(cè)物理量檢測(cè)。

在忽略電容邊緣效應(yīng)的情況下，電容計(jì)算公式為

(1)

式中：ε為極板間介質(zhì)的介電常數(shù)；S為兩極板的相對(duì)有效面積，mm2；d為兩極板間距，mm；d0為兩極板初始間距，mm;Δd為動(dòng)極板的位移變化，mm。

將式(1)使用泰勒展開式得到電容C關(guān)于Δd的多項(xiàng)式：

(2)

則電容變化量可以用多項(xiàng)式表示為

(3)

由式(3)可知，理論上，電容變化值的非線性誤差主要來(lái)自于多項(xiàng)式中的高階項(xiàng)，因此，若要降低電容變化的非線性誤差，則需要消除高階項(xiàng)的影響。差動(dòng)式電容器結(jié)構(gòu)可以有效地消去高階項(xiàng)，降低非線性誤差。

1.2 差動(dòng)式電容器測(cè)量原理

差動(dòng)式平行極板變極距電容器結(jié)構(gòu)如圖2所示，由1塊動(dòng)極板和2塊靜極板組成，即2個(gè)平行極板變極距電容器構(gòu)成差動(dòng)結(jié)構(gòu)。其中動(dòng)極板位于2塊靜極板之間，靜極板接入電路，動(dòng)極板接地，極板初始間距d1=d2=d0。當(dāng)動(dòng)極板移動(dòng)時(shí)，靜極板1、2與動(dòng)極板正對(duì)距離發(fā)生變化，變化大小相等方向相反，從而構(gòu)成一組差動(dòng)式電容器[6]。同理，將靜極板設(shè)置在中間，上下動(dòng)極板保持位移一致的時(shí)候，差動(dòng)形式也是和上述的電容變化一致，即差動(dòng)原理一樣。

圖2 差動(dòng)式電容器結(jié)構(gòu)示意圖

根據(jù)式(3)，電容變化量ΔC1和ΔC2可以用多項(xiàng)式表示為：

(4)

(5)

因?yàn)閐1=d2=d0，則差動(dòng)電容變化為

(6)

由式(6)可知，此時(shí)差動(dòng)電容變化中，仍然存在高階項(xiàng)o3(Δd)。當(dāng)Δd<

2 非線性誤差校正方法

2.1 校正方法的基本流程

基于以上差動(dòng)式平行極板變極距電容式傳感器測(cè)量原理和電容變化值計(jì)算公式，在考慮加工、裝配誤差的情況下，利用泰勒展開式，構(gòu)造非線性誤差模型，根據(jù)最小二乘法線性擬合，進(jìn)行誤差參數(shù)估計(jì)，引入差動(dòng)加權(quán)系數(shù)的方法對(duì)誤差進(jìn)行校正，其基本流程如圖3所示。

圖3 誤差校正流程圖

2.2 非線性誤差分析與建模

根據(jù)式(4)～式(6)，在差動(dòng)式電容器滿足Δd<

(7)

(8)

通過(guò)差動(dòng)結(jié)構(gòu)計(jì)算差動(dòng)電容，可以抵消二階項(xiàng)帶來(lái)的非線性誤差的干擾，提高電容值ΔC與變量Δd之間的線性度。然而，在實(shí)際過(guò)程中，由于加工、裝配帶來(lái)的誤差，會(huì)使得差動(dòng)式電容器中的極板初始極距不相等，即d1≠d2，從而使二階項(xiàng)無(wú)法被消除，此時(shí)差動(dòng)電容變化量ΔCc可以表示為

(9)

顯然，由于d1≠d2，二階項(xiàng)無(wú)法消除，從而導(dǎo)致非線性誤差無(wú)法有效被抵消。因此，直接相減的差動(dòng)方法在d1≠d2時(shí)將不適用。

為了有效消除高階項(xiàng)對(duì)差動(dòng)電容變化量ΔCc的影響，借鑒加權(quán)平均思路，引入差動(dòng)加權(quán)系數(shù)ρ，同時(shí)，差動(dòng)結(jié)構(gòu)可以認(rèn)為成倍提高電容總變化量，綜上，引入差動(dòng)加權(quán)系數(shù)ρ的ΔCc表達(dá)式為

(10)

展開式(10)得：

(11)

2.3 誤差參數(shù)估計(jì)與校正

假設(shè)動(dòng)極板對(duì)稱地向兩側(cè)移動(dòng)了n次，產(chǎn)生n組位移Δdi(i=1,2,…,n)，靜極板1和靜極板2分別產(chǎn)生n組電容變化量ΔC1i和ΔC2i。根據(jù)最小二乘法，對(duì)電容變化量ΔC1和ΔC2，即式(7)和式(8)進(jìn)行線性擬合，令Δdi=xi(i=1,2,…,n)，ΔCm=ym(m=1,2),可得：

ym=kmxi

(12)

式中：xi(i=1,2,…,n)為第i動(dòng)極板發(fā)生位移Δdi；km為擬合后的直線斜率。

根據(jù)最小二乘法線性擬合中的殘差平方和，得到誤差估計(jì)式：

(13)

由式(7)、式(8)和式(12)可知，Qm是關(guān)于km的二次函數(shù)，則存在一個(gè)km滿足Qm取得極小值。對(duì)Qm關(guān)于km求一階導(dǎo)為：

(14)

(15)

令一階導(dǎo)數(shù)為0，得到關(guān)于km的表達(dá)式：

(16)

(17)

(18)

(19)

根據(jù)式(11)、式(18)和式(19)，可得關(guān)于差動(dòng)加權(quán)系數(shù)ρ的參數(shù)估計(jì)式：

(20)

根據(jù)以上推導(dǎo)，由式(12)求解k1和k2，確定差動(dòng)加權(quán)系數(shù)ρ的取值，再使用式(10)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行校正，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)差動(dòng)電容測(cè)量值的非線性誤差校正。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

3.1 仿真分析

為驗(yàn)證本文所提出的誤差校正方法的準(zhǔn)確性和有效性，采用COMSOL Multiphysics多物理場(chǎng)仿真軟件進(jìn)行仿真分析，利用所得仿真數(shù)據(jù)對(duì)校正方法進(jìn)行驗(yàn)證，仿真模型見圖4。

圖4 仿真模型

在仿真分析中，設(shè)計(jì)2組差動(dòng)式電容器模型的參數(shù)，如表1所示，物理場(chǎng)選擇為靜電場(chǎng)，通過(guò)參數(shù)化掃描的方式實(shí)現(xiàn)極板位移的變化。

表1 模型參數(shù)

圖5為2組不同的模型參數(shù)下的仿真電容變化值。

(a)模型一電容變化

(b)模型二電容變化圖5 仿真模型電容變化圖

根據(jù)式(13)，分別對(duì)2組仿真電容變化值進(jìn)行最小二乘法線性擬合，得到2組仿真數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的線性擬合下的直線斜率。

模型一：

k1=11.635

k2=-21.506

模型二：

k1=21.352

k2=-31.894

根據(jù)式(21)，可求得2組差動(dòng)加權(quán)系數(shù)此時(shí)分別為：

ρ1=0.398

ρ2=0.548

進(jìn)一步，分別使用直接差動(dòng)法，即式(6)，得到直接差動(dòng)法處理的仿真數(shù)據(jù)；使用誤差校正法，即式(10)，得到誤差校正法處理的仿真數(shù)據(jù)，將兩者進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示。同時(shí)，求解2種方法處理的仿真數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的非線性誤差：

(21)

式中：X，Y分別對(duì)應(yīng)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)；Ymax、Ymin分別為縱坐標(biāo)的最大值與縱坐標(biāo)的最小值。

(a)模型一對(duì)比

(b)模型二對(duì)比圖6 差動(dòng)電容誤差校正前后對(duì)比

針對(duì)模型一，直接差動(dòng)法得到的數(shù)據(jù)的非線性誤差為8.58%，使用差動(dòng)加權(quán)系數(shù)校正后的數(shù)據(jù)的非線性誤差為1.68%；針對(duì)模型二，直接差動(dòng)法得到的數(shù)據(jù)的非線性誤差為8.06%，使用差動(dòng)加權(quán)系數(shù)校正后的數(shù)據(jù)的非線性誤差為2.45%。采用差動(dòng)加權(quán)系數(shù)誤差校正后的仿真測(cè)量數(shù)據(jù)非線性誤差相對(duì)于直接差動(dòng)的方法明顯降低，證明了所提出的誤差校正方法的有效性。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證計(jì)算出的差動(dòng)加權(quán)系數(shù)對(duì)應(yīng)的非線性誤差值最小，根據(jù)式(10)代入不同大小的差動(dòng)加權(quán)系數(shù)對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，然后使用式(21)計(jì)算對(duì)應(yīng)的非線性誤差，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)為該組電容變化數(shù)據(jù)下的最小非線性誤差所對(duì)應(yīng)的差動(dòng)系數(shù)，圓點(diǎn)為誤差校正方法所求出的差動(dòng)加權(quán)系數(shù)。

(a)模型一非線性誤差分析

(b)模型二非線性誤差分析圖7 非線性誤差分析

由圖7結(jié)果可知，所求出的差動(dòng)加權(quán)系數(shù)與最小非線性誤差下的差動(dòng)加權(quán)系數(shù)具有較好的吻合度，考慮到仿真過(guò)程中的網(wǎng)格精度等原因，兩者之間的誤差是可以接受的。

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

利用本實(shí)驗(yàn)室已有的一款差動(dòng)電容式六維力傳感器[14]，對(duì)其中的一對(duì)差動(dòng)電容器進(jìn)行了數(shù)據(jù)采集，并使用誤差校正方法對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行了誤差校正。傳感器實(shí)物如圖8所示，差動(dòng)電容器由上下動(dòng)極板和中間靜極板組成，其中CIN10通道測(cè)量電容C1變化，CIN11通道測(cè)量電容C2的變化。

圖8 差動(dòng)式電容六維力傳感器實(shí)物

為了獲得有效穩(wěn)定的數(shù)據(jù)，在沒有振動(dòng)、沖擊、加速度的環(huán)境下進(jìn)行靜態(tài)力加載，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖9所示，將傳感器固定在固定臺(tái)上，通過(guò)加載法蘭添加砝碼，使用電容檢測(cè)芯片AD7147配套的評(píng)估板采集電容數(shù)據(jù)并傳輸?shù)缴衔粰C(jī)上進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

圖9 力加載實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

設(shè)置好實(shí)驗(yàn)平臺(tái)后，對(duì)傳感器進(jìn)行靜態(tài)力加載，對(duì)Fz正方向添加5 kg砝碼，再每次遞減1 kg砝碼至0 kg，多次讀取砝碼變化時(shí)所選差動(dòng)電容器對(duì)應(yīng)的通道讀數(shù)，取其平均值；對(duì)Fz負(fù)方向添加5 kg砝碼，再每次遞減1 kg砝碼至0 kg，同樣多次讀取每次砝碼變化時(shí)所選差動(dòng)電容器對(duì)應(yīng)的通道讀數(shù)，取其平均值。實(shí)驗(yàn)中所得電容變化測(cè)量數(shù)據(jù)如圖10所示。

圖10 電容變化測(cè)量數(shù)字量

根據(jù)式(12)，對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，分別得到CIN10和CIN11的線性擬合直線斜率：k1=11.635，k2=-21.506，則ρ=4.955。進(jìn)一步，根據(jù)式(10)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差校正，并使用式(21)計(jì)算直接差動(dòng)法和誤差校正法處理的實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的非線性誤差，結(jié)果如圖11所示。

圖11 差動(dòng)電容比較

從圖11可以看出，相較于直接差動(dòng)的方法，利用所提出的誤差校正方法對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差校正，其非線性誤差從9.80%降為2.79%，非線性誤差下降了71.53%。

根據(jù)式(10)和式(21)，求解不同差動(dòng)系數(shù)下對(duì)應(yīng)的非線性誤差，并與差動(dòng)系數(shù)加權(quán)法求解的差動(dòng)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比。如圖12所示，橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不同的差動(dòng)加權(quán)系數(shù)，縱坐標(biāo)表示不同差動(dòng)系數(shù)處理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的非線性誤差。三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)下的最小非線性誤差所對(duì)應(yīng)的差動(dòng)加權(quán)系數(shù)，圓點(diǎn)為誤差校正方法所求出的差動(dòng)加權(quán)系數(shù)。

圖12 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)非線性誤差

圖12結(jié)果表明，最小非線性誤差為2.70%，對(duì)應(yīng)的差動(dòng)加權(quán)系數(shù)為3.825，使用誤差校正法求解的差動(dòng)加權(quán)系數(shù)為4.955，對(duì)應(yīng)的非線性誤差為2.79%，兩點(diǎn)之間較為吻合。

為了進(jìn)一步分析兩點(diǎn)產(chǎn)生偏差的原因，分析了測(cè)量數(shù)據(jù)線性擬合的殘差和對(duì)應(yīng)的擬合多項(xiàng)式。線性擬合的殘差可以表示為

εm=ΔCm-ym

(22)

式中：ΔCm為極板電容變化測(cè)量值數(shù)字量；ym為測(cè)量值數(shù)字量的線性擬合值(m=1,2)。

圖13為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)線性擬合殘差，橫坐標(biāo)表示載荷大小，縱坐標(biāo)表示電容變化測(cè)量值數(shù)字量的線性擬合的殘差。三角點(diǎn)實(shí)線表示CIN10的電容變化測(cè)量值數(shù)字量的線性擬合殘差，虛線表示CIN10對(duì)應(yīng)殘差擬合多項(xiàng)式；圓點(diǎn)實(shí)線表示CIN11的測(cè)量電容變化數(shù)據(jù)的線性擬合殘差，點(diǎn)劃線表示CIN11對(duì)應(yīng)的擬合多項(xiàng)式。

圖13 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)線性擬合殘差

圖13表明，線性擬合殘差未能與其擬合多項(xiàng)式重合，說(shuō)明殘差曲線不夠光滑，這主要是在實(shí)驗(yàn)測(cè)量的過(guò)程中，由于摩擦、裝載誤差等原因產(chǎn)生的測(cè)量誤差，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有一定的干擾，進(jìn)而影響了對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差校正，使得最小非線性誤差的差動(dòng)加權(quán)系數(shù)未能與誤差校正法所求得差動(dòng)加權(quán)系數(shù)完全重合。

4 結(jié)果討論

(1)在差動(dòng)式電容器結(jié)構(gòu)中，差動(dòng)電容兩初始極距嚴(yán)格相等時(shí)，直接差動(dòng)法可以消除差動(dòng)電容表達(dá)式中的高階項(xiàng)，有效降低非線性誤差，而當(dāng)加工、裝配等誤差存在時(shí)，初始極距不相等，此時(shí)直接差動(dòng)法無(wú)法有效消除差動(dòng)電容表達(dá)式中的高階項(xiàng)。在仿真分析中，通過(guò)建立差動(dòng)式電容器的極板初始極距不相等的差動(dòng)電容模型，計(jì)算了2組仿真電容變化數(shù)據(jù)，與直接差動(dòng)法相比，誤差校正法有效降低了差動(dòng)電容的非線性誤差，減少了因?yàn)槌跏紭O距不相等所產(chǎn)生的非線性誤差。仿真結(jié)果證明了所提出的模型準(zhǔn)確性及校正方法的有效性。

(2)誤差校正法得到的校正測(cè)量數(shù)據(jù)，其非線性誤差為2.79%，相比直接差動(dòng)法的非線性誤差9.80%，非線性誤差降低了71.53%。證明了誤差校正法有效降低了差動(dòng)電容器初始極距不同導(dǎo)致的非線性誤差的影響。

(3)利用參數(shù)估計(jì)式求解得到的差動(dòng)系數(shù)與最小非線性誤差對(duì)應(yīng)的差動(dòng)系數(shù)有一定的偏差。線性擬合的殘差與其擬合多項(xiàng)式未能完全重合，這是由于實(shí)驗(yàn)條件的局限性，文中所測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可能受到了一些實(shí)驗(yàn)過(guò)程誤差的干擾，使得測(cè)量數(shù)據(jù)有一些不規(guī)則的波動(dòng)，從而對(duì)誤差校正方法有一定的影響，使得校正方法得到的差動(dòng)系數(shù)與最小非線性誤差點(diǎn)有一定的偏差。

5 結(jié)束語(yǔ)

傳統(tǒng)的差動(dòng)式電容器在電容求解過(guò)程中，沒有考慮到電容傳感器加工、裝配等導(dǎo)致差動(dòng)電容器極板初始極距不一致的問(wèn)題，無(wú)法有效降低差動(dòng)電容的非線性誤差。針對(duì)這一問(wèn)題，本文提出了一種誤差校正方法，與傳統(tǒng)的直接差動(dòng)法相比，該方法根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的線性擬合，引入差動(dòng)加權(quán)系數(shù)，以抵消高階項(xiàng)，降低非線性誤差，實(shí)現(xiàn)了差動(dòng)電容器在極距不一致情況下的測(cè)量數(shù)據(jù)誤差校正。仿真分析證明了誤差校正方法所建立的模型和校正方法的準(zhǔn)確性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，采用誤差校正法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行修正后，非線性誤差為2.79%，相比直接差動(dòng)法的非線性誤差9.80%，非線性誤差降低了71.53%，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出的誤差校正方法的有效性。所提出的誤差校正方法，針對(duì)差動(dòng)式平行極板變極距電容器，可以有效解決加工、裝配誤差導(dǎo)致的差動(dòng)極板初始極距不同的問(wèn)題，降低加工、裝配誤差所產(chǎn)生的非線性誤差。