文/陳新合
特殊四邊形是中考中重要的知識點,綜合性比較強,常與直角三角形、等腰三角形和勾股定理等知識搭配。最值問題是中考的??碱}型,以特殊四邊形為背景的最值問題是近兩年中考考查的熱點。下面,老師結合中考題,總結歸納一些求最值的題型,供同學們學習時參考。
例1(2021·四川眉山)如圖1,在菱形ABCD中,AB=AC=10,對角線AC、BD相交于點O,點M在線段AC上,且AM=3,點P為線段BD上的一個動點,則MP+PB的最小值是______。
圖1
解:如圖2,過點P作PE⊥BC于點E。
圖2
∵四邊形ABCD是菱形,AB=AC=10,
∴AB=BC=AC=10,∠ABD=∠CBD,
例2(2021·四川內江)如圖3,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,點A在x軸正半軸上,點D在y軸正半軸上。當點A在x軸上運動時,點D也隨之在y軸上運動,在這個運動過程中,點C到原點O的最大距離為 。
圖3
解:如圖4,取AD的中點H,連接CH,OH。
圖4
∵在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,
∴CD=AB=1,AD=BC=2。
∵點H是AD的中點,
∴AH=DH=1,
∵∠AOD=90°,點H是AD的中點,
在△OCH中,CO<OH+CH,當點H在OC上時,CO=OH+CH,
∴CO的最大值為OH+CH=+1。
例3(2021·山東威海)如圖5,在正方形ABCD中,AB=2,E為邊AB上一點,F為邊BC上一點。連接DE和AF交于點G,連接BG。若AE=BF,則BG的最小值為 。
圖5
解:如圖6,取AD的中點T,連接BT、GT。
圖6
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=AB=2,∠DAE=∠ABF=90°,
在△DAE和△ABF中,