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        “變換”視角下的例題探析

        2022-04-19 08:54:40文/孫
        初中生世界 2022年19期
        關(guān)鍵詞:變換平分對角線

        文/孫 凱

        初中數(shù)學(xué)教材上的例題有著非常重要的學(xué)習(xí)價值。但在平時的學(xué)習(xí)中,受到課堂時間的限制,我們可能只解決了例題中提出的問題,對于例題背后蘊(yùn)涵的價值挖掘不夠,造成了寶貴資源的浪費(fèi)。因此,同學(xué)們可以從“變換”的視角對例題進(jìn)行進(jìn)一步探析。

        一、改變某個條件

        改變某個條件是指將例題中的某個關(guān)鍵條件變更為另一個條件,在新的條件下探析結(jié)論是否成立,以實(shí)現(xiàn)對知識的橫向關(guān)聯(lián),加深對所學(xué)知識的理解。

        例1(蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第68頁例2)已知:如圖1,在?ABCD中,點(diǎn)E、F分別在AD、BC上,且AE=CF。求證:四邊形BFDE是平行四邊形。

        圖1

        【分析】例題中給出的條件是——四邊形ABCD是平行四邊形和AE=CF,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)我們可以獲得更多的條件,那么哪些條件可以用來判定四邊形BFDE是平行四邊形呢?這就涉及判斷的依據(jù)問題。思路1:由?ABCD、AE=CF,證明DE=BF,DE∥BF,根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”實(shí)現(xiàn)證明的目的(證明過程見教材);思路2:證明△ABE≌△CDF,從而證得BE=DF,易證DE=BF,根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”從而證得結(jié)論。

        【變換】已知:如圖2,在?ABCD中,BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC,與AD、BC分別交于點(diǎn)E、F。求證:四邊形BFDE是平行四邊形。

        圖2

        【評析】將例題中的條件“AE=CF”變換為“BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC”,生成了一個新的問題。根據(jù)題目中的條件,有不同的思路證明四邊形BFDE是平行四邊形,其中根據(jù)定義“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”實(shí)現(xiàn)證明的方法比較簡捷。

        二、條件結(jié)論互換

        條件結(jié)論互換是指將例題中的條件與結(jié)論互相替換,由此生成一個新的問題情境,新問題與原問題之間是一種“互逆”的邏輯關(guān)系。

        例2(蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第69頁例3)已知:如圖3,在?ABCD中,點(diǎn)E、F分別在AC上,且AE=CF。求證:四邊形EBFD是平行四邊形。

        圖3

        【分析】例題中給出的條件是——四邊形ABCD是平行四邊形和AE=CF,由此我們聯(lián)想到對角線互相平分可以判定平行四邊形,即連接BD,根據(jù)“平行四邊形的對角線互相平分”,由AE=CF,易證四邊形EBFD的對角線互相平分,實(shí)現(xiàn)證明的目的(證明過程見教材)。

        【變換】已知:如圖3,在四邊形ABCD中,E、F是AC上兩個不同的點(diǎn),四邊形EBFD是平行四邊形,且AE=CF。求證:四邊形ABCD是平行四邊形。

        【評析】將例題中的條件與結(jié)論互換,形成新的問題情境。新問題和例題是一種互逆的關(guān)系,解題思路基本一致,都是通過構(gòu)造“對角線互相平分”來實(shí)現(xiàn)證明。這種變換處理實(shí)現(xiàn)了正向和逆向的雙向探究,有利于更深入地理解平行四邊形的判定。

        三、強(qiáng)化或弱化條件

        強(qiáng)化或弱化條件是指在例題原有條件基礎(chǔ)上增加或減少一個條件,以豐富例題內(nèi)涵的一種變換探究的方法。

        例3(蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第87頁例題)已知:如圖4,在四邊形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證:四邊形EFGH是菱形。

        圖4

        【分析】例題主要研究的是四邊形的四邊中點(diǎn)依次連接所形成四邊形(簡稱“中點(diǎn)四邊形”)的形狀,根據(jù)三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半”,可證四邊形EFGH為平行四邊形,再由AC=BD,證得四邊形EFGH為菱形(證明過程見教材)。

        【變換1】已知:如圖5,在四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證:四邊形EFGH是平行四邊形。

        圖5

        【變換2】已知:如圖6,在四邊形ABCD中,AC=BD且AC⊥BD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證:四邊形EFGH是正方形。

        圖6

        【評析】變換1是對例題中的條件進(jìn)行弱化,減少條件“AC=BD”,探究任意四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀特征;變換2是對例題中的條件進(jìn)行強(qiáng)化,增加了條件“AC⊥BD”,探究特殊四邊形(對角線互相垂直且相等)的中點(diǎn)四邊形的形狀特征,最終形成完整的探究結(jié)論。

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