徐 平 徐戍廷 沈佳興,2 于英華

1.遼寧工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，阜新，1230002.遼寧工程技術(shù)大學(xué)礦產(chǎn)資源開發(fā)利用技術(shù)及裝備研究院，阜新，123000

0 引言

近年來，我國航空航天、軌道交通、船舶制造、核電等領(lǐng)域發(fā)展迅速，進(jìn)而要求我國機(jī)床設(shè)備應(yīng)具有更優(yōu)越的加工性能[1-3]。玄武巖纖維樹脂混凝土(basalt fiber polymer concrete，BFPC)材料是一種高阻尼、熱穩(wěn)定的礦物復(fù)合材料，用于制造機(jī)床能夠有效提高機(jī)床減振抗振性能。經(jīng)過機(jī)械加工的BFPC表面是粗糙的[4-5]，因此結(jié)合面的實際接觸面積只是名義接觸面積的一部分[6]，導(dǎo)致機(jī)床中不同零部件間接觸表面的接觸剛度等性能明顯區(qū)別于實體材料。對于BFPC機(jī)床而言，鋼-BFPC結(jié)合面的接觸性能對整機(jī)性能有重要影響，因此研究BFPC機(jī)床結(jié)合面接觸剛度等性能具有重要意義。

采用理論分析結(jié)合面接觸剛度的核心問題是確定結(jié)合面的實際接觸面積，結(jié)合面的實際接觸面積的傳統(tǒng)計算方法是通過分形理論計算得到[7-8]，但需要確定最大接觸點(diǎn)的面積，該面積往往難以獲得，給接觸剛度的理論計算帶來困難。為解決這一問題，本文建立了一種基于離散法的實際接觸面積計算方法，并將該方法與結(jié)合面接觸剛度理論模型結(jié)合，建立了一種新的鋼-BFPC結(jié)合面接觸剛度計算方法。

1 鋼-BFPC結(jié)合面實際接觸面積計算

1.1 BFPC試件制造及參數(shù)獲取

采用實驗法獲取BFPC材料參數(shù)及結(jié)合面拓片。玄武巖纖維樹脂混凝土是由膠黏劑、骨料、填料以及玄武巖纖維組成。本文所選用的膠黏劑為環(huán)氧樹脂E44和E51，二者比例為40∶60；骨料為玄武巖碎石骨料，其中骨料顆粒按照粒徑大小分為五個等級，玄武巖骨料粒徑分別為0.55～0.85 mm、0.85～1.2 mm、1.2～2.5 mm、2.5～5 mm、5～10 mm，質(zhì)量比分別為7%、10%、20%、56.7%、6.3%；填料為粉煤灰；固化劑為T-31；增韌劑為鄰苯二甲酸二丁脂；玄武巖纖維直徑為0.015 mm。BFPC的最佳質(zhì)量配比為：玄武巖礦物骨料80%、粉煤灰填料9%、環(huán)氧樹脂6.5%、增韌劑1.5%、固化劑2.6%、玄武巖纖維0.4%[8]。采用澆筑的方法制造實驗試件，試件為100 mm×100 mm×100 mm的立方體，如圖1所示。在BFPC試件的接觸表面采用車削的方式進(jìn)行機(jī)械加工，經(jīng)過機(jī)械加工的BFPC表面是粗糙的，如圖2所示。

圖1 BFPC試件

圖2 粗糙表面

采用粗糙度測試儀測得試件表面的粗糙度為6.3 μm。將實驗試件的機(jī)械加工表面涂覆上一層涂料，再通過YAM-2000C微機(jī)控制電液伺服壓力機(jī)分別施加0.2 MPa、0.4 MPa、0.6 MPa、0.8 MPa和1.0 MPa的壓力，并保留涂料印記拓片，如圖3所示。利用ANS-CMT5205微機(jī)控制電子萬能試驗機(jī)以及配備的延伸儀器進(jìn)行軸向壓縮試驗，將試件水平放置到液壓機(jī)的載物臺上，調(diào)整好其位置，設(shè)置液壓機(jī)的活動壓頭以0.5 mm/min的加載速度進(jìn)行加載，與試驗機(jī)連接的電腦就可直接測得BFPC材料的抗壓基本參數(shù)，壓縮試驗如圖4所示，鋼、BFPC材料基本參數(shù)如表1所示。

圖3 預(yù)載荷為0.8 MPa時BFPC結(jié)合面拓片

圖4 軸向壓縮試驗

表1 材料參數(shù)

1.2 實際接觸面積的離散數(shù)值法計算

基于結(jié)合面的印記拓片，采用離散法計算實際接觸面積。該方法是將鋼-BFPC接觸面積的問題轉(zhuǎn)化為離散單元類型判斷問題[9]。假設(shè)目標(biāo)區(qū)域面積共有N2個離散單元，名義接觸面積為An，每個離散單元面積為(Δx)2。如圖5a所示，離散接觸點(diǎn)分為兩類：內(nèi)接觸點(diǎn)Ni，該點(diǎn)上、下、左、右相鄰點(diǎn)均為接觸點(diǎn)；邊界接觸點(diǎn)Nb，該點(diǎn)上、下、左、右相鄰點(diǎn)存在非接觸點(diǎn);其中接觸點(diǎn)的數(shù)量Na等于內(nèi)接觸點(diǎn)的數(shù)量Ni與邊界接觸點(diǎn)的數(shù)量Nb之和。對于數(shù)值法，一般認(rèn)為N→∞時，計算精度最高。假設(shè)離散單元數(shù)量N2趨于無窮大，則實際接觸面積Ar與名義接觸面積An之比為

(1)

即

式中，β為接觸邊界修正系數(shù)，0<β<1。

離散單元的接觸邊界周長ld=MΔx與邊界接觸點(diǎn)的數(shù)量直接相關(guān)，其中M是在水平或豎直方向與接觸區(qū)域相鄰的白色格點(diǎn)的邊的數(shù)量；Δx為離散單元的邊長。離散化處理時，為提高計算精度，應(yīng)將接觸區(qū)域和非接觸區(qū)域之間的矩形邊界用光滑曲線邊界代替，如圖5b所示。故接觸邊界周長ld和平滑邊界周長l之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系為

(a)離散化處理 (b)曲線轉(zhuǎn)化

(2)

所以，實際接觸面積與名義接觸面積之比可按下式估算：

(3)

式中，Aa為離散化后的接觸面積。

1.3 接觸邊界修正系數(shù)

對于過渡接觸區(qū)，假設(shè)接觸分割線將單個離散單元劃分為非接觸區(qū)和接觸區(qū)，如圖6所示，圖中白色區(qū)域為非接觸區(qū)，陰影區(qū)域為接觸區(qū)，A為接觸單元內(nèi)接觸面積；t為接觸分割線與單元下邊線交點(diǎn)到單元格角點(diǎn)的距離；θ為接觸分割線與單元邊的夾角。有t∈[0,Δx]，θ∈[0,π]；且假設(shè)t與θ均為均勻分布。綜上可得

圖6 離散單元接觸面積

A=

(4)

A(t,θ)函數(shù)結(jié)果如圖7所示，因t與θ均為均勻分布，可以得出針對單個過渡接觸單元，A的積分均值即為β：

圖7 函數(shù)彩虹圖

(5)

結(jié)合式(3)可以進(jìn)一步得到

Ar≈Aa-0.1181ldΔx

(6)

根據(jù)實驗獲得的結(jié)合面拓片，統(tǒng)計出拓片中邊界接觸點(diǎn)面積和內(nèi)接觸點(diǎn)面積,再根據(jù)式(6)計算可得不同面壓下結(jié)合面實際接觸面積。

根據(jù)式(6)，采用MATLAB軟件結(jié)合圖像判別技術(shù)，開發(fā)適用于三維粗糙面的接觸面積數(shù)值分析程序，流程如圖8所示。首先將拓片圖像導(dǎo)入MATLAB中生成圖像矩陣數(shù)據(jù)，利用程序判別是否為接觸位置、哪種接觸類型，然后對各種類型的接觸點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計，最后將數(shù)據(jù)代入公式求解。

圖8 粗糙面接觸面積數(shù)值分析流程圖

分別對接觸區(qū)域和非接觸區(qū)域的數(shù)據(jù)點(diǎn)的個數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，經(jīng)過統(tǒng)計得到在結(jié)合面面壓為0.2 MPa、0.4 MPa、0.6 MPa、0.8 MPa和1.0 MPa時的邊界接觸點(diǎn)數(shù)量、內(nèi)接觸點(diǎn)數(shù)量以及總的數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量。利用程序計算得到的鋼-BFPC結(jié)合面實際接觸面積如表2所示。

表2 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量統(tǒng)計

根據(jù)表2繪制出結(jié)合面實際接觸面積隨法向載荷增大的變化曲線，如圖9所示。

圖9 實際接觸面積隨法向載荷變化曲線

2 結(jié)合面的法向接觸剛度分形模型

研究表明,經(jīng)機(jī)械加工的人造礦物表面微觀輪廓具有分形特征[10],故本節(jié)采用分形理論建立粗糙表面的接觸模型。通過對地形學(xué)的研究，MANDELBROT[11]發(fā)現(xiàn)海洋中島嶼的面積分布符合冪函數(shù)規(guī)律，即

N′(A′>a′)=(a′)-D/2

(7)

式中,N′(A′>a′)為面積A′大于面積a′的島嶼總數(shù)量;D為島嶼海岸線的分維。

假設(shè)最大接觸點(diǎn)的面積為al，數(shù)量為1，代入式(7)中,有

(8)

因此接觸點(diǎn)的面積分布密度為

(9)

臨界接觸面積為

(10)

k=H/σyφ=σy/E

式中,H為較軟材料的硬度，本文中即BFPC材料的硬度，H=45 MPa；σy為BFPC材料的屈服強(qiáng)度；E為復(fù)合彈性模量[12]；G為特征長度尺度參數(shù)。

當(dāng)BFPC和金屬形成結(jié)合面時，可以視作粗糙表面和剛性平滑表面相接觸，如圖10a所示。對于粗糙表面上的單個微凸體，可以將其近似等效為球體，等效曲率半徑為R。當(dāng)球體在法向載荷作用下與剛性平滑平面保持接觸時，將產(chǎn)生法向接觸變形δ，接觸狀態(tài)如圖10b所示[13]。

(a)接觸示意圖(b)微凸體接觸狀態(tài)

若接觸區(qū)域半徑為r，則有

(11)

(12)

(13)

式中，p′為微凸體上的法向載荷；δ為法向接觸變形；E1、E2和ν1、ν2分別為鋼和BFPC材料的彈性模量和泊松比。

根據(jù)式(11)和式(12)，單個微凸體與平面接觸的法向接觸剛度kn可以由下式表示：

kn=2Er

(14)

由于接觸區(qū)域的接觸面積a可以表示為

永磁同步電機(jī)矢量控制實驗系統(tǒng)調(diào)試及故障分 析 ………………………………………… 徐 婷，戴 怡（27）

a=πr2

(15)

于是有

(16)

假設(shè)粗糙表面上各微凸體之間的相互作用忽略不計[14]，則結(jié)合面法向接觸剛度可由下式計算：

(17)

將式(16)、式(9)代入式(17)得

(18)

整理得

(19)

(20)

對圖2所示的實驗試件利用圖11所示NANOVEAP550非接觸式三維表面形貌測試儀觀測表面形貌，得到粗糙表面的分形參數(shù)D=1.169，G=2.78×10-13。

圖11 微觀形貌數(shù)據(jù)采集實驗現(xiàn)場圖

表3 法向接觸剛度理論計算

3 實驗驗證

本實驗通過測定鋼-BFPC結(jié)合面固有頻率來推導(dǎo)出結(jié)合面剛度。鋼和BFPC試件受到法向載荷作用擠壓形成結(jié)合面，如圖12a所示。結(jié)合面剛度由結(jié)合面間相互接觸的微凸體的接觸特性決定，每一組相互接觸的微凸體都可視為一組彈簧阻尼單元，因此鋼-BFPC結(jié)合面模型可以表示為圖12b的理論模型。

(a)組件結(jié)合面示意圖 (b)等效動力學(xué)模型

通過電子秤測得BFPC試件的質(zhì)量為m1，設(shè)BFPC試件自身與地面接觸形成的總剛度為k1；鋼試件的質(zhì)量為m2，因為鋼試件的剛度遠(yuǎn)大于鋼-BFPC結(jié)合面的接觸剛度,故忽略鋼試件的剛度，設(shè)鋼-BFPC結(jié)合面剛度為k2。由機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)可知，阻尼對系統(tǒng)固有頻率影響較小，因此忽略其影響,將此模型看作兩自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)。根據(jù)圖12b可得鋼-BFPC試件的振動微分方程:

(21)

式(21)的特征方程為

(22)

k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2

式中，ωn為系統(tǒng)角頻率。

展開此行列式得

(23)

(24)

式中，f為系統(tǒng)頻率；K為系統(tǒng)剛度；m為系統(tǒng)質(zhì)量。

所以，通過實驗測得式(23)中的ωn、m1、m2后即可求得鋼-BFPC結(jié)合面剛度k2。

采用力錘激振系統(tǒng)測試鋼-BFPC結(jié)合面的法向接觸剛度，實驗原理如圖13所示。首先通過力錘對鋼試件施加一個法向的脈沖激勵，兩個加速度傳感器分別用于檢測鋼試件和BFPC試件的振動曲線，將加速度傳感器檢測的實時數(shù)據(jù)傳遞到DH5922N動態(tài)信號測試系統(tǒng)中進(jìn)行記錄，最后在計算機(jī)終端對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。實驗裝置如圖14所示。應(yīng)用錘擊法對試件進(jìn)行激振,當(dāng)結(jié)合面的面壓為0.4 MPa時組件的模態(tài)響應(yīng)測試結(jié)果如圖15所示。

圖13 實驗原理示意圖

圖14 結(jié)合面實驗實物圖

圖15 預(yù)載為0.4 MPa時的振動曲線

根據(jù)實驗測得的數(shù)據(jù)利用MATLAB軟件求解式(23),得到鋼-BFPC結(jié)合面剛度k2，然后通過實驗測得不同面壓時的振動曲線，再通過同樣方法計算不同面壓時的鋼-BFPC結(jié)合面剛度，結(jié)果見表4。根據(jù)式(20)中理論計算的量綱一結(jié)合面法向接觸剛度與有量綱接觸剛度的關(guān)系，推導(dǎo)出有量綱的理論法向接觸剛度，結(jié)果見表4。因為二者皆為同單位制下的剛度所以具有可比性，對比得到圖16所示的法向接觸剛度與接觸載荷之間的關(guān)系。

表4 結(jié)合面法向接觸剛度實驗數(shù)據(jù)

圖16 預(yù)載荷對結(jié)合面剛度的影響規(guī)律

由表4和圖16可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)合面法向接觸剛度隨著預(yù)載荷的增大而增大。這是因為隨著法向載荷的增大，結(jié)合面間的實際彈性接觸面積增大。理論值和實驗值之間的誤差來源主要有兩點(diǎn)：①在獲得結(jié)合面拓片的過程中，由于人為因素與環(huán)境因素的干擾，導(dǎo)致獲取的拓片不準(zhǔn)確，比實際的接觸面積??；②在對試件施加預(yù)載荷時，預(yù)載荷的大小存在一定誤差，導(dǎo)致獲取的拓片不能很好地反映實際接觸面積。通過理論計算和實驗得到的不同預(yù)載荷下鋼-BFPC結(jié)合面剛度的相對誤差均小于6.0%。

4 結(jié)論

(1)提出了一種計算結(jié)合面實際接觸面積的新方法，并通過MATLAB軟件與粗糙面三維數(shù)據(jù)開發(fā)了適用于三維粗糙表面的接觸面積數(shù)值分析程序，計算得到在結(jié)合面面壓為0.2 MPa、0.4 MPa、0.6 MPa、0.8 MPa和1.0 MPa時鋼-BFPC結(jié)合面的實際接觸面積分別為471.21、562.13、738.15、912.28、970.73 mm2。

(2)將實際接觸面積計算方法與結(jié)合面分形接觸剛度理論結(jié)合，得到新的結(jié)合面接觸剛度計算模型，并通過實驗檢驗理論結(jié)果，得到實驗和理論兩種方法的相對誤差均小于6.0%，證明了該計算方法的正確性和有效性。